LEZIONI DI STATISTCA APPLICATA Statistica …

1 LEZIONI DI STATISTCA APPLICATA Parte 2 Statistica inferenziale Variabili continue per categoriali _____ Alessandro Valbonesi SARRF di Scienze ambientali Anno accademico 2010-11 CAPITOLO 4 - TEST STATISTICI CHE COINVOLGONO VARIABILI CONTINUE PER CATEGORIALI - Nei test statistici che coinvolgono variabili continue per categoriali, la variabile continua, che pu essere anche discreta, rappresenta le misurazioni (o i conteggi, nel caso di variabile discreta) eseguite sui soggetti1, mentre quella categoriale rappresenta la variabile di raggruppamento perch indica il criterio che ci ha consentito di dividere le osservazioni in due o pi distinte categorie. I test pi usati sono il t-test, detto anche t-di Student, che si basa sul confronto tra medie, e l F di Fisher che si basa sul confronto tra varianze, per cui si parla di analisi della varianza (in inglese abbreviato con l acronimo ANOVA, analysis of variance).

2 Il primo limitato al solo confronto tra due medie, oppure tra il valore di una osservazione (un dato) ed una media (ottenuta da pi dati). Il secondo test una derivazione del primo, anche dal punto di vista algebrico dato che t2 = F ma non limitato al confronto tra due gruppi per cui quello maggiormente pi usato. Entrambi i test, essendo dei test parametrici ovvero basati su dei parametri (media, varianza) di popolazione hanno comunque dei presupposti che devono essere soddisfatti, se ci no avviene bisogna ricorre a test non parametrici. Abbiamo gi detto che quando si esegue un test inferenziale occorre formulare un ipotesi iniziale e l ipotesi pi semplice l ipotesi zero, ovvero che le due medie ottenute dai due gruppi di dati, siano statisticamente uguali in quanto rappresentano la stima di un'unica popolazione, H0: x1= x2 = 0 . L aggettivo statisticamente sta ad indicare che le medie non saranno mai matematicamente uguali a causa di un errore statistico dovuto alla variabilit intrinseca dei componenti dei due gruppi.

3 Pertanto, quello che dobbiamo verificare se questa differenza sia dovuta solo alla componente stocastica (casuale) oppure alla variabile di raggruppamento, ci al fatto che le medie sono state ottenute a partire da due categorie distinte e quindi sono stime di due popolazioni differenti, H1: (x1= 1) (x2 = 2 ) . INFERENZA SU UNA O DUE MEDIE CON IL TEST t DI STUDENT Questo test si basa su una estensione del teorema centrale: le differenze delle medie dalla media parametrica (Y- ), come pure la relativa standardizzazione ([x- ), una curva simmetrica. La nuova distribuzione di probabilit pi ampia della corrispondente distribuzione normale standardizzata, in quanto il denominatore l errore standard delle medie campionarie invece che l errore standard parametrico (della popolazione), per cui sar a volte pi piccolo, a volte pi grande rispetto al valore atteso. Questa distribuzione di probabilit quella studiata da Gosset (conosciuto sotto lo pseudonimo di Student): t = media del campione - media della popolazione = errore standard del campione 1 In inglese si usa il termine generico items (elementi di un gruppo) 50 Quando si considerano due medie campionare2, ottenute da campioni aventi la stessa numerosit (n), la precedente formula pu essere scritta nel seguente modo3: Nel caso che i campioni abbiano numerosit diverse la formula diventa: ts = 2221212121)()(nsnsYY Si noti che al denominare c l errore standard delle medie (es = ns2 = s/n) e che quando si voglia testare H0, il secondo membro del numeratore diventa uguale a 0 in quanto indicano la stessa media parametrica: 1 = 2.]

4 E' condizione di validit della distribuzione t di Student, e quindi dei test che la utilizzano, che: - la distribuzione dei dati sia normale; - le varianze siano omogenee; - le osservazioni siano raccolte in modo indipendente. Rispetto alla condizione di normalit la distribuzione t robusta. Con tale termine tecnico si intende affermare che rimane approssimativamente valida, anche quando le distribuzioni di dati non rispettano esattamente la condizione dalla normalit . La seconda condizione vincolante, per cui se non soddisfatta bisogna cercare di ovviare operando una trasformazione dei dati e nel caso che non si riesca ad ottenere varianze omogenee con questo artefatto bisogner ricorrere a test non parametrici. I test che verificano l omogeneit della varianza saranno illustrati successivamente quando si illustrer l F-test. La terza condizione dipende dalla modalit di organizzazione della raccolta dei dati.

5 Ad esempio, le osservazioni non sono indipendenti se entro un gruppo di persone delle quali si misura il peso esistono pi fratelli; se, in un esperimento sulla conducibilit elettrica di un metallo a temperature diverse, si utilizzano campioni di metallo diversi ma un campione misurato pi volte. Nella Statistica APPLICATA , il test t utilizzato in quattro casi, cio per il confronto tra: 1 - la media di un campione e la media parametrica o una generica media attesa; 2 un singolo dato e la media di un campione, per verificare se possono appartenere alla stessa popolazione; 3 - la media delle differenze di due campioni dipendenti; 4 - le medie di due campioni indipendenti. In ognuno di questi casi si ottiene un valore di t la cui significativit , ovvero la probabilit di ottenere quel valore nel caso H0 sia vera , pu essere ottenuta consultando i valori critici riportati sulle tavole della distribuzione di t.

6 - Nel test ad una coda, la zona di rifiuto solamente da una parte della distribuzione (a sinistra quando il segno negativo, a destra quando positivo), in questo caso il ricercatore si chiede se una media maggiore dell'altra, escludendo a priori che essa possa essere minore, o viceversa. Per esempio se si vuole controllare l effetto di una dieta dimagrante ovvio che ci aspettiamo che i pesi 2 Dato che le formule sono state spesso scannerizzate da testi differenti si possono trovare simboli discordanti. Un esempio la media campionaria che qui figura simbolizzata con Ymentre in quella precedente con x. L autore si scusa per questo inconveniente! 3 In molti testi viene riportata una formula apparentemente pi complessa ma sostanzialmente uguale a quella riportata in queste dispense. 51delle persone, registrati dopo la dieta, siano diminuiti rispetto ai valori iniziali e che questa diminuzione sia imputabile alla dieta H1 e non al caso H0; quindi l ipotesi alternativa H1: xi> xf - nel test a due code, la zona di rifiuto simmetricamente distribuita dalle due parti e vi si ricorre quando non si ha alcuna idea sui possibili risultati, ovvero il ricercatore si chiede se tra le due medie esista una differenza significativa, senza che egli abbia indicazioni su quali sia la maggiore o la minore.

7 E' maggiore la probabilit di dimostrare l'esistenza di una differenza significativa mediante un test ad una coda che con un test a due code. Con un termine tecnico, si dice che il test a due code pi conservativo, mentre quello ad una coda pi potente. Test per la differenza appaiata al livello di significativit ( = 0,05) del 5% con 10 gdl: Test unilaterale Test bilaterale Abitualmente nei testi di Statistica sono riportate due differenti tabelle di valori critici della distribuzione t : quella per test unilaterali e quella per test bilaterali. In queste tabelle, la parte superiore di ogni colonna indica l'area sottesa dalle rispettive code della distribuzione, mentre le righe (v) si riferiscono ai gdl. I valori critici per l'area in una coda al rischio coincidono con quelli del rischio 2 nella distribuzione a due code (per esempio, i valori per =0,05 coincidono con la colonna di = 0,1 nella tabella per test a due code)4 Test valore critico per 10 gdl Unilaterale 0,05 1,8125 bilaterale 0,05 (somma di =0,025 nelle due code) 2,228 Vediamo ora alcuni esempi relativi ai quattro casi di confronti in cui possibile applicare il t-test.

8 4 Se abbiamo invece una tabella con i valori critici di t per test ad una coda, i valori critici per test a due code coincidono con quelli di /2 521 - La media di un campione e una generica media attesa. Disponendo di un campione di 13 individui di Heterocypris incongruens pescati in un fiume, dei quali sono riportate le lunghezze (in mm), si vuole verificare se alla probabilit P = la loro lunghezza media significativamente differente dalla media di 1,25 mm stimata per la stessa specie nei laghi della regione, in varie ricerche precedenti. Dai 13 dati campionari, devono essere calcolati il valore della media e della deviazione standard: X = 1,235; s (deviazione standard) = 0,059; n = 13 2 La domanda dell esempio richiede un test a due code o bilaterale, poich prima della raccolta dei dati ugualmente logico che la media del campione abbia un valore sia significativamente minore sia maggiore della media attesa.

9 Alla probabilit = per un test bilaterale con 12 gdl il valore critico riportato uguale a 3,055. Il valore assoluto di t calcolato (0,900) nettamente inferiore a quello critico sinottica; di conseguenza, non si in grado di rifiutare l ipotesi nulla e quindi si pu affermare che la dimensione media dei 13 individui della specie Heterocypris incongruens pescati nel fiume non significativamente diversa da quella degli individui della stessa specie che vivono nei laghi della regione. Oltre che fornire una risposta mediante l applicazione del test t per un campione, possibile avere anche una risposta attraverso la stima dell intervallo di confidenza della media campionaria, che come abbiamo visto utilizza i valori di t. = 1,235 3,055* 1,235 I limiti inferiori e superiori dell intervallo di confidenza risultano rispettivamente 1,186 e 1,285. La media della popolazione 0 uguale a 1,25 compresa nell intervallo fiduciale della media campionaria.

10 Pertanto, otteniamo un risultato analogo a quello di un t-test bilaterale. Se fosse stata rifiutata l ipotesi nulla, il valore atteso (ovvero quello della popolazione degli altri laghi) risulterebbe escluso dall intervallo fiduciale calcolato. 532 Un singolo dato e la media di un campione Nelle rilevazioni in natura ed in laboratorio, sovente sorge il problema che una certa misura possa essere errata, rispetto alle altre del campione raccolto. Le cause possono essere le pi diverse: l imperizia del nuovo rilevatore rispetto all esperto che ha raccolto gli altri dati, il funzionamento non corretto dello strumento, una condizione ambientale differente, il materiale o i reagenti di qualit diversa, una procedura nuova o APPLICATA in modo non corretto. In altri casi, come in tassonomia, sorge il problema di verificare se l individuo che si sta analizzando possa essere di un altra popolazione rispetto alle unit gi raccolte.