Limiti e forme indeterminate - lorenzoroi.net

1 Limiti e formeindeterminateLORENZO ROIE dizioni H ALPHAc Edizioni H ALPHA. Ottobre immagine frattale di copertina rappresenta un particolare dell insieme di Mandelbrotcentrato nel punto ( , ) e ingrandito 5218 :Schizzo di funzioni razionali fratte.. 21)limx 2x2 x 6x3+ 5x2+ 8x+ 42)limx 2x4 8x2+ 16x3 83)limx 2x3 3x2+ 4x3 2x2 4x+ 84)limx 1x2 1x3 15)limx 1xp 1xq 16)limx 3x3+ 4x2+x 1x47)limx 4x5+ 7x4+ 12x5+ 78)limx x3+ 1x 1 Limiti di funzioni irrazionali.. 59)limx 1 x 1x 110)limx 2 x+ 2 2x x 211)limx 13 x+ 1x+ 112)limx 1x+ 1 2 x(x 1)213)limx + x+ x2 x+x14)limx + 3x 2 4x 1 + x+ 115)limx + 3 1x x2+ 116)limx + x2+ 5x+ 6 x17)limx + x( x 1 +x)18)limx + 8 x8+ 1 +4 x4 15 1 +x5+3 1 +x319)limx + x 1x2+x 220)limx 0 x+ 4 2x21)limx 1 x+ 1 2 x2+ 3 222)limx 813 4 x9 xLimiti indeterminati coinvolgenti funzioni goniometriche.

2 1023)limx 0sen 3xx24)limx 01 cosxx225)limx 0sen 5xsen 2x26)limx xsen1x27)limx asen2x sen2ax a28)limx 01 cosx+ senx1 cosx senx29)limx 0sen4x(1 cosx)230)limx 0sen4x(1 cosx)331)limx 01 cos 2xsen23x32)limx 03x+ tgxsenx+ tg2x33)limx 0+ 1 cosxx34)limx 1 + senx 1 senxsen2x35)limx 0x3tgx senx36)limx 0+lnx ln sen 2x37)limx 2tgx(1 senx)38)limx 4(1 tgx) tg 2xLimiti di funzioni esponenziali e logaritmiche.. 1639)limx + ln( x2+ 1 x)40)limx 0+expln2x 2lnx 241)limx 0xlga(1 +x)42)limx 0ax 1x43)limx 0ex 1senx44)limx 01 cosx(ex 1)245)limx 1x11 x46)limx 0+x1ln 3x47)limx 0ex e xe2x e 2x48)limx 0eax ebxx49)limx (x1 +x)2x50)limx 0(cosx)1/x2 Limiti fondamentali e importanti.. 22 esercizi risoltiRequisiti necessari per affrontare gli esercizi presentatidi seguito:conoscenza dei teoremi sulle operazioni tra Limiti e sul limite di una funzione com-posta,continuit`a delle funzioni, in particolare delle deilimiti brevi note riguardano le tecniche di risoluzione di quei Limiti che ad un primoapproccio conducono a forme di indeterminazione e che si possono trattare senza laconoscenza del teorema di De L H opital.

3 Le diverse tipologie che si presentano si possonoricondurre a 4 forme principali che solo per comodit`a di scrittura e senza alcun significatooperativo, verranno individuate nel seguito come00, ,0 ,+ .Ad ogni modo tutte le volte che il calcolo del limite conduce adelle forme indeter-minate, si dovr`a cercare di trasformare identicamente la funzione in modo adeguatosenza ovviamente modificare il limite e allo scopo di rimuovere, nella nuova forma,l esempio il limitelimx 2x3 2x2 x+ 2x 2d`a luogo alla forma 0/0. Difatti ricordando la continuit`a delle funzioni polinomiali,limx 2x3 2x2 x+ 2 =f(0) = 0 e limx 2x 2 = 2 2 = 0. Se tuttavia riduciamola frazione ai minimi termini, si ottienex3 2x2 x+ 2x 2=x2(x 2) (x 2)x 2=(x 2)(x2 1)x 2=x2 1 x6= segue che l ultima espressione coincide con la funzione di partenza solo sex6= 2,condizione questa che permette di scriverelimx 2x3 2x2 x+ 2x 2= limx 2x2 1 = 3e quindi risolvere l risolti sulle forme indeterminate1.

4 Limiti di funzioni razionali fratteUna funzione di questo tipo si indica conf(x) =A(x)B(x)conA(x) eB(x) Limiti di queste funzioni o sono immediati per la continuit`a della funzionef(x), o ingenere danno luogo alle forme 0/0, / .Caso0/0 Limiti di questo tipo si hanno quandoxtende ad un valore finito. L indeterminazioneviene eliminatariducendo la frazione ai minimi termini. A tale scopo si scompone inprodotto di fattori sia il numeratore che il denominatore e si semplificano i fattori esempio si voglia calcolare illimx 2A(x)B(x)= limx 2x2 3x+ 2x2+x eA(2) =B(2) = 0 la forma `e indeterminata ma per lo stesso motivo, i duepolinomirisultano divisibili per 2, cio`ex= 2 `e uno zero dei polinomiA(x) eB(x). Scomponendoallora con il metodo di Ruffini si ottienelimx 2x2 3x+ 2x2+x 6= limx 2(x 2)(x 1)(x 2)(x+ 3)= limx 2x 1x+ 3=15,rimuovendo in tal modo l `u in generale, quando il limx A(x)B(x)=00, vuol dire chex= `e uno zero sia diA(x)che diB(x).

5 In tal caso scomposti i due polinomi nei fattoriA(x) = (x )Q1(x)B(x) = (x )Q2(x)il limite originario divienelimx A(x)B(x)= limx (x )Q1(x)(x )Q2(x)= limx x x Q1(x)Q2(x)e poich e il termine `e tale che limx x x = 1 il limite si riduce alimx A(x)B(x)= limx Q1(x)Q2(x).Nell eventualit`a che il limite precedente sia ancora indeterminato si pu`o iterare il proce-dimento: in tal caso la radicex= possiede un ordine di molteplicit`a maggiore di esempio nel polinomioA(x) =x5 2x4+ 5x3 13x2+ 14x 5 = (x 1)3(x2+x+ 5)la soluzionex= 1 possiede una molteplicit`a pari a 1limx 2x2 x 6x3+ 5x2+ 8x+ 4. Il limite rientra nella forma 0/0 per cui scompo-nendo numeratore e denominatore si trovalimx 2 x2 x 6x3+ 5x2+ 8x+ 4= limx 2 (x+ 2)(x 3)(x+ 2)2(x+ 1)= limx 2 x 3(x+ 2)(x+ 1)=.

6 esercizi risolti sulle forme indeterminate3 Infatti risulta limx 2 1x+2= e limx 2x 3x+1=f( 2) = 2limx 2x4 8x2+ 16x3 8. Poich e risulta limx 2x4 8x2+ 16 =f(2) = 0 elimx 2x3 8 =f(2) = 0 il limite `e indeterminato. Scomponendo numeratore edenomi-natore si trovalimx 2x4 8x2+ 16x3 8= limx 2(x 2)2(x+ 2)2(x 2)(x2+ 2x+ 4)= 0in quanto limx 2(x 2) = 0 e limx 2(x+2)2x2+2x+4=f(2) = 4 3limx 2x3 3x2+ 4x3 2x2 4x+ 8. Scomponendo ancora il numeratore e il denomi-natore si giunge alimx 2x3 3x2+ 4x3 2x2 4x+ 8= limx 2(x 2)2(x+ 1)(x 2)2(x+ 2)=34in quanto limx 2(x 2)2(x 2)2= 1 e limx 2x+1x+2=f(2) = 4limx 1x2 1x3 1. Ricordando le scomposizioni elementari di binomi in fattori,il limite si riscrivelimx 1x2 1x3 1= limx 1(x 1)(x+ 1)(x 1)(x2+x+ 1)= limx 1x+ 1x2+x+ 1= 5limx 1xp 1xq 1.

7 Questo limite `e la generalizzazione del precedente. Quindi,per le formule della scomposizione in fattori di un binomio,si pu`o scriverelimx 1xp 1xq 1= limx 1(x 1)(xp 1+xp 2+ +x+ 1)(x 1)(xq 1+xq 2+ +x+ 1).Va quindi risolto il limitelimx 1xp 1+xp 2+ +x+ 1xq 1+xq 2+ +x+ 1che, data la continuit`a inx= 1 della funzione a suo argomento, si calcola sfruttando talepropriet`a ossialimx 1xp 1+xp 2+ +x+ 1xq 1+xq 2+ +x+ 1=f(1) = p11 q11= / Per funzioni razionali fratte questo caso si verifica quandoxtende all infinito. L indeter-mi nazione viene eliminata mettendo in evidenza, sia al numeratore che al denominatore,la potenza dixcon esponente massimo. Per esempio si voglia calcolare il limite seguente:4 esercizi risolti sulle forme indeterminatelimx A(x)B(x)= limx a0xn+a1xn 1+ +an 1x+anb0xm+b1xm 1+ +bm 1x+bm= conn,minteri positivi.

8 Il numeratore `e di gradoned il denominatore di gradom. Siproceda nel modo metta in evidenza al numeratore e al denominatore ottiene cos` illimx xn(a0+a1x+ +an 1xn 1+anxn)xm(b0+b1x+ +bm 1xm 1+bmxm) questo punto si tenga presente che i Limiti di funzioni del tipop/xqconq >0valgono limx pxq= 0. Quindi tutti gli addendi con una potenza positiva dixal denominatorexq, passando al limite, si annullano. Rimane da considerare, allimite, il terminea0xnb0xm. I casi che possono presentarsi sono 3 e dipendono dai < m:limx A(x)B(x)= limx a0xnb0xm= limx a0b0xm n= 0; : limx A(x)B(x)=a0b0uguale al rapporto dei coefficienti di grado massimo; > m:limx A(x)B(x)= limx a0xn mb0= .Esercizio 6limx 3x3+ 4x2+x 1x4.

9 Raccogliendo la potenzax3al numeratore di-scendelimx 3x3+ 4x2+x 1x4= limx x3(3 +4x+1x2 1x3)x4= limx 3 +4x+1x2 1x3x= 0in quanto limx 4x= limx 1x2= limx 1x3= 7limx 4x5+ 7x4+ 12x5+ 7. In modo analogo, fattorizzandox5sia al numeratoreche al denominatore si giunge alimx 4x5+ 7x4+ 12x5+ 7= limx x5(4 +7x+1x5)x5(2 +7x5)= 2in quanto i termini del tipo7x,1x5,7x5hanno limite nullo e limx x5/x5= 8limx x3+ 1x 1. Con le medesime modalit`a dei precedenti esercizi racco-gliamox3al numeratore exal denominatore:limx x3+ 1x 1= limx x3(1 +1x3)x(1 1x)= limx x2(1 +1x3)(1 1x)= + avendo limx x2= + . esercizi risolti sulle forme indeterminate52. Limiti di funzioni irrazionaliIn base al tipo di funzione irrazionale, il limite pu`o essere immediato o dare luogo alleforme di indeterminazione del tipo 0/0, / , + , 0.

10 Difatti gli esempi seguenti(successivamente risolti) 1 x 1x 2 x+ 2 2x x + x+ x2 x+ + x2+ 5x+ 6 + 3x 2 4x 1 + x+ + 3 1x x2+ 1risultano tutti indeterminati. I primi due riportano al caso 0/0, il terzo e il quinto a+ /+ , il quarto a + , mentre l ultimo a 0 .Si tenga presente che tanto le funzioni razionali, quanto leirrazionali che, al limite, dannoluogo a forme indeterminate diverse dalle 0/0, / , + , si possono manipolareper ricondurle alle precedenti tre forme di indeterminazione. L ultimo esempio infatti sipu`o scrivere perx >0 comelimx + 6 (x2+ 1)3x2,forma che ci riconduce all indeterminazione / . Fissiamo quindi l attenzione, nel casodi Limiti di funzioni irrazionali, sulle 3 forme 0/0, / , +.