Logika Matematika - Perpustakaan UT

1 Modul 1. Logika Matematika Drs. Sukirman, PEN D A HU L UA N. L ogika merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari prinsip- prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah yang bersifat deduktif maupun yang bersifat induktif. Logika Matematika merumuskan hukum-hukum yang dapat digunakan sebagai alat untuk menilai, apakah hasil suatu pemikiran benar/absah. Hukum-hukum itu akan digunakan pada proses pemikiran itu sendiri. Kita dapat memperbaiki cara berpikir dengan jalan mempelajari Logika dalam rangka menertibkan cara berpikir. Dalam modul ini Anda akan mempelajari Logika Matematika yang mencakup materi bahasan sebagai berikut. 1. Pernyataan (kalimat deklaratif). 2. Negasi (ingkaran) suatu pernyataan. 3. Konjungsi dan disjungsi. 4. Implikasi dan biimplikasi. 5. Ingkaran konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. 6. Tautologi. 7. Argumen. Setelah mempelajari mata kuliah ini Anda diharapkan memiliki dasar- dasar dalam penalaran logis.

2 Secara rinci Anda diharapkan memiliki kemampuan-kemampuan sebagai berikut. 1. Membedakan pernyataan dan kalimat yang bukan pernyataan. 2. Membuat contoh pernyataan dan contoh kalimat yang bukan pernyataan. 3. Menentukan negasi suatu pernyataan. 4. Menentukan nilai kebenaran konjungsi dan disjungsi dua pernyataan. 5. Menentukan negasi dari konjungsi dan negasi dari disjungsi. 6. Menentukan nilai kebenaran implikasi dua pernyataan. Matematika . 7. Menentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari suatu implikasi dan menentukan nilai-nilai kebenarannya. 8. Menentukan negasi dari suatu implikasi. 9. Menentukan nilai kebenaran dari suatu biimplikasi. 10. Memberikan contoh suatu tautologi dan suatu kontradiksi. 11. Menentukan keabsahan suatu argumen. 12. Menarik kesimpulan dari premis-premis yang diberikan. Penguasaan kemampuan-kemampuan tersebut sangat penting bagi mereka yang akan mempelajari Matematika , karena banyak mata kuliah Matematika yang menggunakan prinsip-prinsip tersebut untuk menurunkan teorema atau untuk pemecahan masalah.

3 Hampir setiap modul berikutnya. nanti menggunakan penalaran tersebut, baik untuk membuktikan teorema maupun untuk memecahkan soal-soalnya. Untuk membantu Anda dalam menguasai kemampuan tersebut, dalam modul ini disajikan uraian materi dan contoh-contohnya, latihan memecahkan soal dan tes pada tiap kegiatan belajar. Modul ini terdiri dari 3. kegiatan belajar, yaitu sebagai berikut. Kegiatan Belajar 1 : Konjungsi dan Disjungsi Kegiatan Belajar 2 : Implikasi dan Biimplikasi Kegiatan Belajar 3 : Argumen Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul ini, ikutilah petunjuk belajar berikut ini. 1. Bacalah dengan cermat Pendahuluan ini, sehingga Anda memahami gambaran secara global isi modul, untuk apa dipelajari, dan bagaimana mempelajarinya. 2. Bacalah dengan saksama uraian materi dan contoh-contohnya, jika perlu carilah contoh lain. Berilah tanda-tanda pada bagian-bagian yang Anda anggap penting. 3. Kunci utama agar berhasil dalam belajar Matematika adalah kesanggupan untuk berlatih memecahkan soal-soal.

4 Oleh karena itu, kerjakanlah soal-soal latihan baik secara individual, dalam kelompok kecil atau dalam tutorial, untuk pemantapan. PDGK4108/MODUL 1 Kegiatan Belajar 1. Konjungsi dan Disjungsi A. PERNYATAAN. Setiap kumpulan kata yang berarti yang disusun menurut aturan tata bahasa disebut kalimat. Kalimat yang dibicarakan dalam Logika Matematika adalah kalimat-kalimat yang menerangkan (indicative sentences/declarative sentences). Contoh-contoh kalimat yang menerangkan antara lain: 1. Jakarta adalah ibukota negara Republik Indonesia. 2. 7 adalah bilangan prima. 3. 12 kurang dari 8. Dalam Logika Matematika tidak akan membicarakan kalimat-kalimat seperti contoh-contoh berikut ini, misalnya: 1. Apakah Siti berada di rumahmu? (Kalimat tanya). 2. Alangkah indahnya lukisan ini! (Kalimat yang mengungkapkan suatu perasaan). 3. Tutuplah pintu itu! (Kalimat perintah). 4. Mudah-mudahan tak ada aral melintang. (Kalimat yang berisi harapan). Perhatikan contoh-contoh kalimat yang menerangkan di atas.

5 Kalimat- kalimat 1 dan 2 bernilai benar, sedangkan kalimat 3 bernilai salah. Kalimat- kalimat 4, 5, 6 dan 7 tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya. Nilai benar di sini diartikan adanya kesesuaian antara apa yang dikatakan atau dituliskan dalam kalimat itu dengan keadaan sesungguhnya, atau benar dalam arti Matematika . Kalimat yang mempunyai nilai kebenaran, yaitu nilai benar atau nilai salah, tetapi tidak kedua-duanya disebut pernyataan. Sekarang akan dibicarakan perbedaan antara pernyataan (statement) dan proposisi (proposition). Beberapa penulis, kedua istilah itu dianggap sama, bahkan dipakai secara bergantian. Beberapa penulis lain hanya menyebutkan pernyataan, dan tidak menyebut-nyebut proposisi. Beberapa penulis lainnya Matematika . lagi membedakan antara kedua istilah tersebut. Bagi kelompok pertama, yaitu penulis-penulis yang menganggap sama antara proposisi dan pernyataan (kalimat deklaratif) menyimpulkan bahwa istilah-istilah itu didefinisikan sebagai kalimat yang mempunyai nilai benar atau nilai salah, tetapi tidak kedua-duanya.

6 Sedangkan kelompok terakhir, yang membedakan antara proposisi dan pernyataan dijelaskan dengan contoh-contoh sebagai berikut: 1. 17 adalah bilangan prima. 2. 15 adalah bilangan prima. 3. Napoleon adalah bilangan prima. 4. 5 memukul 2. Menurut kelompok ini, keempat contoh ini memenuhi definisi kalimat. Mereka mendefinisikan kalimat sebagai kumpulan kata-kata yang disusun menurut aturan tata bahasa. Kalimat-kalimat itu masing-masing mengungkapkan suatu pernyataan. Kalimat-kalimat 8 dan 9 masing-masing mempunyai makna, walaupun kalimat 9 mengungkapkan hal yang bernilai salah, sebab tidak benar bahwa 15 adalah bilangan prima. Sedang kalimat-kalimat 10 dan 11 tidak mempunyai makna, kalimat- kalimat ini tidak bernilai benar maupun bernilai salah. Sebab nilai benar atau nilai salah hanya diperuntukkan bagi kalimat-kalimat yang bermakna saja. Pernyataan yang diungkap oleh suatu kalimat bermakna disebut proposisi. Sehingga proposisi adalah suatu pernyataan, tetapi sebaliknya suatu pernyataan belum tentu merupakan suatu proposisi.

7 Menurut kelompok ini, nilai benar atau nilai salah hanya dikenakan pada proposisi-proposisi saja. Sebagai tambahan penjelasan dikatakan bahwa Buku ini tebal dan This book is thick adalah kalimat-kalimat yang berbeda, tetapi mengungkapkan suatu makna yang sama. Sehingga kalimat-kalimat itu menyatakan proposisi yang sama. Dalam buku ini tidak membedakan istilah-istilah pernyataan dan proposisi. Dua istilah ini digunakan secara bergantian. Selanjutnya untuk menyingkat suatu penulisan maupun penyelesaian yang berhubungan dengan proposisi, maka proposisi-proposisi tersebut diberi simbol dengan huruf alfabet kecil: a, b, c, . Sedang untuk nilai Benar dan nilai Salah berturut-turut disingkat dengan B dan S. Perhatikan contoh berikut ini. 1. a menyatakan 15 terbagi habis oleh 3 . 2. p menyatakan 5 kurang dari 3 . PDGK4108/MODUL 1 Pada contoh ini, a bernilai B (benar) dan p bernilai S (salah). Ikhtisar: Benar Pernyataan (Proposisi) Salah Kalimat Bukan Pernyataan Contoh : Apakah kalimat-kalimat berikut ini suatu pernyataan?

8 Jika pernyataan, tentukan nilai kebenarannya? 1. 8 adalah bilangan asli. 2. 14 adalah bilangan prima. 3. Napoleon habis dibagi 13. 4. Yono sakit keras. 5. Berapakah hasil 9 ditambah 7? 6. Siti tertabrak mobil. 7. Semoga Anda selamat dalam perjalanan. 8. Pergilah dari tempat ini! Jawab: 1. Pernyataan, bernilai benar. 2. Pernyataan, bernilai salah. 3. Bukan kalimat, karena tidak memenuhi definisi. 4. Pernyataan faktual, artinya untuk nilai kebenarannya perlu diadakan penyelidikan. 5. Bukan pernyataan. 6. Pernyataan faktual. 7. Bukan pernyataan. 8. Bukan pernyataan. Matematika . LAT IH A N 1 . 1. Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Apakah kalimat-kalimat berikut suatu pernyataan? Jika ya, tentukan nilai kebenarannya? 1) 8 + 3 = 12. 2) 9 + 13 < 10. 3) Apakah 5 bilangan prima? 4) Jakarta terletak di pulau Jawa. 5) Astaga! 6) 3 membenci 7. 7) Siti adalah anak pak Karto. 8) Siapakah nama bapakmu? 9) Dilarang parkir kendaraan bermotor di sini.

9 10) Bajunya berwarna biru. B. PERNYATAN MAJEMUK. Pada pembicaraan ini dan seterusnya kita hanya membicarakan pernyataan-pernyataan saja. Pernyataan-pernyataan sederhana digandengkan menjadi pernyataan majemuk (tersusun) dengan menggunakan kata-kata perangkai (penghubung). Kata-kata perangkai itu dapat dilihat pada Tabel Tabel Lambang (Simbol) Kata Pengubung Kata Penghubung Lambang dan . atau . jika - maka . jika dan hanya jika . Agar dalam membahas pernyataan majemuk menjadi lebih lengkap, sebelumnya dibahas lebih dulu tentang negasi (ingkaran/sangkalan) suatu pernyataan. PDGK4108/MODUL 1 1. Negasi (Sangkalan/Ingkaran). Contoh : Jika a menyatakan Ida suka mangga , maka negasi a disimbolkan dengan ~a menyatakan Tidak benar bahwa Ida suka mangga . Dengan bahasa sehari-hari dapat dikatakan Ida tidak suka mangga . Definisi : Negasi suatu pernyataan ialah suatu pernyataan yang bernilai salah apabila pernyataan semula bernilai benar, atau bernilai benar apabila pernyataan semula bernilai salah.

10 Definisi ini dapat dinyatakan dalam suatu tabel yang disebut tabel kebenaran untuk negasi suatu pernyataan sebagai berikut: Tabel Tabel Nilai Kebenaran Negasi Suatu Pernyataan a a ~a ~(~a). B S B. S B S. Contoh : 1. Misalkan a menyatakan Tembok itu berwarna hitam , maka negasi a, yaitu ~a menyatakan Tidak benar bahwa tembok itu berwarna hitam . Lebih ringkas dikatakan Tembok itu tidak berwarna hitam . Apabila b menyatakan Tembok itu berwarna putih , maka b bukan negasi dari a. Sebab apabila kenyataannya tembok itu berwarna hijau, maka baik a maupun b kedua pernyataan bernilai salah. Hal ini bertentangan dengan Definisi 2. Jika p dan q keduanya bilangan real, maka negasi dari p q adalah tidak benar bahwa p q . Tidak benar bahwa p q tidak berarti bahwa p q, sebab jika kenyataannya p = q, maka baik p q maupun p q keduanya bernilai salah. Sehingga negasi dari p q adalah p q . Catatan: Pernyataan dan negasinya mempunyai nilai-nilai kebenaran yang selalu berlainan, artinya jika suatu pernyataan diketahui bernilai B, maka negasinya bernilai S dan sebaliknya jika suatu pernyataan diketahui bernilai S, maka negasinya bernilai B.