LOI UNIFORME - EXERCICES CORRIGES - Maurimath

1 Loi UNIFORME - EXERCICES corrig s document disponible sur LOI UNIFORME - EXERCICES CORRIGES . Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page rubrique math matiques) a t con u pour aider tous ceux qui d sirent travailler sur les lois uniformes. Il contient 9 EXERCICES corrig s int gralement, class s par th mes et/ou par niveaux. La page tant en constante volution (ajout de nouveaux EXERCICES , am liorations), il est conseill de r guli rement la visiter pour y t l charger la nouvelle version de ce fichier. Pour toute remarque, merci de vous rendre sur la page o vous trouverez mon adresse lectronique (qui est la date du 14/01/2018). Egalement disponible une page facebook Montpellier, le 14/01/2018. Jean-Guillaume CUAZ, professeur de math matiques, Lyc e Clemenceau, Montpellier depuis 2013. Lyc e Militaire de Saint-Cyr, de 2000 2013. Loi UNIFORME - EXERCICES corrig s Page 1/8 version du 14/01/2018.

2 Loi UNIFORME - EXERCICES corrig s document disponible sur LOI UNIFORME . EXERCICES CORRIGES . Exercice n 1 (correction). X est une variable al atoire qui suit la loi UNIFORME sur l'intervalle I. D terminer la fonction de densit de probabilit , puis calculer p (1 X 3) lorsque : a) I = [1;5] b) I = [ 2;3]. Exercice n 2 (correction). X est une variable al atoire qui suit la loi UNIFORME sur l'intervalle [-2;2]. a) Calculer p ( X < 1) et p ( X 0,5 ). b) Calculer p( X >0) ( X < 1). c) Donner l'esp rance de X. Exercice n 3 (correction). Caroline a dit qu'elle passerait voir Julien un moment quelconque entre 18h30 et 20h45. Quelle est la probabilit qu'elle arrive pendant le feuilleton pr f r de Julien qui dure de 19h . 19h30 ? Exercice n 4 (correction). La commande rand (ou NbrAl at) permet d'afficher un nombre al atoire de l'intervalle [0;1[. X est la variable al atoire gale au nombre affich avec cette commande.]]

3 A) Calculer p ( 0,33 X 0,59 ). b) Sachant que X<0,3, quelle est la probabilit de l' v nement E : "Son chiffre des centi mes est 1"? c) Calculer l'esp rance de X. Exercice n 5 (correction). On choisit un nombre au hasard dans l'intervalle [-1;3]. Sachant qu'il est sup rieur 0, quelle est la probabilit qu'il soit inf rieure 2 ? Loi UNIFORME - EXERCICES corrig s Page 2/8 version du 14/01/2018. Loi UNIFORME - EXERCICES corrig s document disponible sur Exercice n 6 (correction). On choisit un nombre r el au hasard dans l'intervalle [0;2]. 1) Quelle est la probabilit qu'il soit solution de l'in quation 9 x 2 33 x + 10 > 0. 2) Quelle est la probabilit qu'il soit solution de l' quation 9 x 2 33 x + 10 =. 0. Exercice n 7 (correction). La dur e d'une communication t l phonique entre Claire et Alice ne d passe jamais 1h. On suppose que sa dur e en heures est un nombre al atoire entre 0 et 1.

4 Claire appelle Alice au t l phone. D terminer la probabilit que la dur e de communication soit : a) de 30 min b) d'au plus 3 quarts d'heure c) d'au moins 10 min d) comprise entre 20 min et 40 min. Exercice n 8 (correction). Une horloge s'arr te de fa on al atoire. X est la variable al atoire donnant l'heure indiqu e au moment o l'horloge s'arr te (entre 0h et 12h). 1) Donner la fonction densit de probabilit de X et la repr senter dans un rep re. 2) Quelle est la probabilit que l'aiguille des heures s'arr te entre 3h et 7h ? 3) Calculer E(X). Exercice n 9 (correction). Le plan est muni d'un rep re orthonorm . C est le cercle de centre O et de rayon 2 et D la droite d' quation y = x . M est le point d'abscisse de la droite D. On choisit une valeur de au hasard dans l'intervalle [-1;3]. a) Quelle est la probabilit que le point M ait une ordonn e positive ? b) Quelle est la probabilit que le point M soit situ l'int rieur du cercle C ?

5 Loi UNIFORME - EXERCICES corrig s Page 3/8 version du 14/01/2018. Loi UNIFORME - EXERCICES corrig s document disponible sur LOI UNIFORME . CORRECTION. Correction de l'exercice n 1 (retour l' nonc ). 1 1. a) La fonction de densit de probabilit de la loi UNIFORME sur I = [1;5] est : f =. ( x) = et 5 1 4. 3 1 2 1. p (1 X 3) = = =. 4 4 2. 1 1. b) La fonction de densit de probabilit de la loi UNIFORME sur I = [ 2;3] est =. : f ( x) =. 3 ( 2 ) 5. 3 1 2. et p (1 X 3)= =. 5 5. Correction de l'exercice n 2 (retour l' nonc ). 1 1. La fonction de densit de probabilit de la loi UNIFORME sur I = [ 2;2] est=. : f ( x) = et : 2 ( 2 ) 4. 1 ( 2 ) 3. a) p ( X < 1) = p ( 2 X < 1) = =. 4 4. 1 0,5 0,5 1. p ( X 0,5 )= p ( 0,5 X < 1)= = =. 4 4 8. b) On a : 1 0. p ( ( X > 0 ) ( X < 1) ) p ( 0 < X < 1) p ( 0 < X < 1) p ( 0 < X < 1) 1. 0) (. p( X >= X < 1) = = = = = 4. p ( X > 0) p ( X > 0) p ( X > 0) p ( 0 < X 2) 2 0 2.

6 4. 2 + 2. =. c) E (X ) = 0. 2. Loi UNIFORME - EXERCICES corrig s Page 4/8 version du 14/01/2018. Loi UNIFORME - EXERCICES corrig s document disponible sur Correction de l'exercice n 3 (retour l' nonc ). On note X la variable al atoire d signant l'heure de visite de Caroline. X suit la loi UNIFORME sur I = [18,5;20,75]. La fonction de densit de probabilit de la loi UNIFORME sur I = [18,5;20,75] est : 1 1 1 4. f ( x=. ) = = = et : 20,75 18,5 2, 25 9 9. 4. La probabilit pour que Caroline arrive entre 19h 19h30 est gale : 1. 19,5 19 2 1 4 2. p (19 X 19,5 ) = = = =. 9 9 2 9 9. 4 4. Correction de l'exercice n 4 (retour l' nonc ). X suit la loi UNIFORME sur I = [ 0;1[ . Sa densit de probabilit est la fonction d finie sur I = [ 0;1[ par 1. ( x). f= = 1 et : 1 0. 0,59 0,33. a) p ( 0,33 X =. 0,59 ) = 0, 26. 1. 1. b) Les nombres de I = [ 0;1[ dont le chiffre des centi mes est 1 repr sentent de l'ensemble des 10.]]]]]]

7 R els de I = [ 0;1[ . Si on impose de plus que ces nombres soient strictement inf rieurs 0,3, ce la repr sente une 1 3. proportion gale 0,3 = de l'ensemble des r els de I = [ 0;1[ . 10 100. 3. p ( ( X < 0,3) E ) 100 1. Autrement dit, p( X <0,3) (=. E) = =. p ( X < 0,3) 3 10. 10. 0 +1 1. c) E (=. X) =. 2 2. Loi UNIFORME - EXERCICES corrig s Page 5/8 version du 14/01/2018. Loi UNIFORME - EXERCICES corrig s document disponible sur Correction de l'exercice n 5 (retour l' nonc ). Si on note X le nombre choisi au hasard dans l'intervalle [-1;3], X suit la loi UNIFORME sur I = [ 1;3]. 1 1. Sa densit de probabilit est la fonction d finie sur I = [ 1;3] par=. f ( x) = et : 3 ( 1) 4. 2. p (( X > 0) ( X < 2)) p ( 0 < X < 2) 4 2. On a alors p( X >0) ( X < 2 ) = = = =. p ( X > 0) p ( 0 < X < 3) 3 3. 4. Correction de l'exercice n 6 (retour l' nonc ). Si on note X le nombre choisi au hasard dans l'intervalle [0;2], X suit la loi UNIFORME sur I = [ 0;2].]]]]

8 1 1. Sa densit de probabilit est la fonction d finie sur I = [ 0;2] par f=. ( x) = . 2 0 2. 1) Si on note P ( x ) = 9 x 2 33 x + 10 , le calcul de son discriminant donne = ( 33) 4 9 10 = 729 , 2. d'o l'existence de deux racines r elles distinctes b ( 33) 729 33 27 1 ( 33) + 729 33 + 27 20. =x1 = = = = et x2 = = . 2a 2 9 18 3 2 9 18 3. Puisque a= 9 > 0 , le tableau de signes de P ( x ) est : Les solutions dans l'intervalle [0;2] de l'in quation 9 x 2 33 x + 10 > 0 appartiennent l'intervalle 1 . 0; 3 . Si on choisit un nombre au hasard, la probabilit qu'il soit solution de l'in quation 1. 0. 1 3 1. 9 x 33 x + 10 > 0 est gale : p 0 X < =. 2. =. 3 2 6. 2) Comme l' quation 9 x 2 33 x + 10 =. 0 n'admet qu'un nombre fini de solutions (deux solutions 1 20. x1 = et x2 = , la probabilit pour qu'un nombre choisi au hasard dans l'intervalle I = [ 0;2] soit 3 3. solution de l' quation 9 x 2 33 x + 10 =.

9 0 est nulle. Loi UNIFORME - EXERCICES corrig s Page 6/8 version du 14/01/2018. Loi UNIFORME - EXERCICES corrig s document disponible sur Correction de l'exercice n 7 (retour l' nonc ). On note X la variable al atoire d signant la dur e de la communication t l phonique entre Claire et Alice. X suit la loi UNIFORME sur I = [ 0;1]. 1. La fonction de densit de probabilit de la loi UNIFORME sur I = [ 0;1] est : f =. ( x) = 1 et : 1 0. 0,75 0 3. ( X 0,5. a) p= = ) 0 b) p ( 0 X 0,75. = ) =. 1 4. 1 2 1. 1 . 1 1 6= 5 1 2 3 3 1. c) p X = p X 1 = d) p X =. =. 6 6 1 6 3 3 1 3. Correction de l'exercice n 8 (retour l' nonc ). On note X la variable al atoire d signant l'heure indiqu e au moment o l'horloge s'arr te (entre 0h et 12h). X suit la loi UNIFORME sur I = [ 0;12]. 1 1. 1) La fonction de densit de probabilit de la loi UNIFORME sur I = [ 0;12] est : =. f ( x) =. 12 0 12. Sa repr sentation dans un rep re est : 2) Quelle est la probabilit que l'aiguille des heures s'arr te entre 3h et 7h ?

10 L'aiguille des heures s'arr te entre 3h et 7h pour des heures comprises entre 3h00 et 7h59. Ainsi : 8 3 5. p ( 3 X < 8=. ) =. 12 12. 0 + 12. (X ). 3) E= = 6. 2. Loi UNIFORME - EXERCICES corrig s Page 7/8 version du 14/01/2018. Loi UNIFORME - EXERCICES corrig s document disponible sur Correction de l'exercice n 9 (retour l' nonc ). a) X suit la loi UNIFORME sur I = [ 1;3]. Puisque M est le point d'abscisse de la droite D d' quation y = x , on en d duit que M aura une ordonn e positive si et seulement si son abscisse est positive. p ( 0 3) 3. p ( 0 ). On calcule alors = =. 3 ( 1) 4. 2 2 2 2 . b) Les deux points d'intersection de D et de C sont A ; et B ; correspondant 2 2 2 2 . 3 . respectivement aux angles et . 4 4. 2. Le point M sera situ l'int rieur du cercle C si et seulement si 1 <. 2. 2 2. ( 1) +1. 2 2+2. On calcule donc p 1 < = . 2 = 2=. 2 3 ( 1) 4 8. Loi UNIFORME - EXERCICES corrig s Page 8/8 version du 14/01/2018.