FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES - maths et tiques

1 Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 1 FONCTIONS TRIGONOM TRIQUES Rappels du cours de 1 re en vid o : I. Rappels 1) D finitions : Dans le plan muni d un rep re orthonorm ( ; , ) et orient dans le sens direct, on consid re un cercle trigonom trique de centre O. Pour tout nombre r el x, consid rons le point N de la droite orient e d abscisse x. ce point, on fait correspondre un point M sur le cercle trigonom trique. On appelle H et K les pieds respectifs des perpendiculaires l axe des abscisses et l axe des ordonn es passant par M. D finitions : - Le cosinus du nombre r el x est l abscisse de M et on note cos x. - Le sinus du nombre r el x est l ordonn e de M et on note sin x. Propri t s : Pour tout nombre r el , on a : 1) 1 cos 1 2) 1 sin 1 3) cos2 x + sin2 x = 1 2) Valeurs remarquables des FONCTIONS sinus et cosinus : x 0 6 4 3 2 p cos 1 32 22 12 0 -1 sin 0 12 22 32 1 0 II.

2 Propri t s des FONCTIONS cosinus et sinus 1) P riodicit Propri t s : 1) cos =cos( +2 ) o k entier relatif 2) sin =sin( +2 ) o k entier relatif Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 2 D monstration : Aux points de la droite orient e d'abscisses x et +2 ont fait correspondre le m me point du cercle trigonom trique. Remarque : On dit que les FONCTIONS cosinus et sinus sont p riodiques de p riode 2 . Cons quence : Pour tracer la courbe repr sentative de la fonction cosinus ou de la fonction sinus, il suffit de la tracer sur un intervalle de longueur 2 et de la compl ter par translation. M thode : R soudre une quation et une in quation trigonom trique Vid o Vid o Vid o 1) R soudre dans l' quation : cos= = >= . 2) R soudre dans [ ; ], l in quation : sin A32 . 1) cos= = >= cos= >= =0 Ccos 22 DCcos + 22D=0 En effet : E>==> ==> = = == == Donc : cos = 22 cos = 22 Soit : I = 4+2 > , > = 4+2 = , = I =3 4+2 L , L = 3 4+2 M , M =O 4+ 2, P 2) sin A32 Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 3 - On commence par r soudre l quation sin =A32 dans [ ; ].

3 Soit : = 3 ou =2 3. - On utilise le cercle trigonom trique pour conclure sur les solutions de l in quation sin A32. Cela correspond la zone du cercle situ es en dessous de la droite passant par les points du cercle correspondant aux valeurs RL et =RL. Ainsi : =S ; 3T V2 3 ; W 2) Parit Propri t s : Pour tout nombre r el x, on a : 1) cos( )=cos 2) sin( )= sin Remarque : On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire. Rappels : Une fonction f est paire lorsque pour tout r el x de son ensemble de d finition D, x appartient D et ( )= ( ). Une fonction f est impaire lorsque pour tout r el x de son ensemble de d finition D, x appartient D et ( )= ( ). Cons quences : - Dans un rep re orthogonal, la courbe repr sentative de la fonction cosinus est sym trique par rapport l'axe des ordonn es. - Dans un rep re orthogonal, la courbe repr sentative de la fonction sinus est sym trique par rapport l'origine.

4 M thode : Etudier la parit d'une fonction trigonom trique Vid o D montrer que la fonction f d finie sur par ( )=sin sin(2 ) est impaire. Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 4 Pour tout x r el, on a : ( )=sin( ) sin( 2 )= sin +sin(2 )= ( ). La fonction f est donc impaire. Sa repr sentation graphique est sym trique par rapport l'origine du rep re. III. D rivabilit et variations 1) D rivabilit Th or me : Les FONCTIONS cosinus et sinus sont d rivables sur et on a : ( ( )) = ( ) et ( ( )) = ( ) Remarque : ( ( )) se note galement cos_( ) 2) Variations x 0 cos_( )= sin 0 0 cos 1 1 x 0 R= sin_( )=cos 1 + 0 1 sin 1 0 0 3) Repr sentations graphiques Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 5 Fonction cosinus Fonction sinus M thode.

5 Etudier une fonction trigonom trique Vid o Vid o Vid o Vid o On consid re la fonction f d finie sur par ( )=cos(2 ) >= . 1) Etudier la parit de f. 2) D montrer que la fonction f est p riodique de p riode . 3) Etudier les variations de f sur S0 ; 2T. 4) Repr senter graphiquement la fonction f sur S0 ; 2T et prolonger de part et d autre la repr sentation par sym trie et par translation. 1) Pour tout x de , on a : ( )=cos( 2 ) >= =cos(2 ) >= = ( ) La fonction f est donc paire. Dans un rep re orthogonal, sa repr sentation graphique est donc sym trique par rapport l'axe des ordonn es. 2) Pour tout x de , on a : ( + )=cos`2( + )a >= =cos(2 +2 ) >= =cos(2 ) >= = ( ) Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 6 On en d duit que la fonction f est p riodique de p riode . 3) On pose : ( )=2 _( )=2 ( )=cos _( )= sin ( )= ` ( )a 12 Donc : ( )= ( ) ` ( )a _( )=2 ( sin(2 ))= 2sin(2 ) Si S0 ; 2T, alors 2 [0 ; ] et donc sin(2 ) 0.

6 Donc si S0 ; 2T, alors _( ) 0. Ainsi f est d croissante sur S0 ; 2T. x 0 R= _( ) 0 0 ( ) >= 32 4) - On commence par tracer la courbe sur l intervalle S0 ; 2T. - La fonction f est paire, donc sa courbe repr sentative est sym trique par rapport l'axe des ordonn es. On peut ainsi prolonger la courbe par sym trie axiale sur l intervalle S 2 ; 0T. - La fonction f est p riodique de p riode , on peut ainsi prolonger la courbe en translatant horizontalement la portion de courbe d j trac e. En effet, la portion d j trac e se trouve sur l intervalle S 2 ; 2T de longueur . Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, m me partielle, autres que celles pr vues l'article L 122-5 du code de la propri t intellectuelle, ne peut tre faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.

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