Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Serie de Taylor

1 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma. TaylorEjemplosMatem aticas Avanzadas para Ingenier a: Serie de TaylorDepartamento de Matem aticasMA3002 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma. TaylorEjemplosIntroSuponga una Serie de potencias k=0ak(z zo)kPara un valor dez?que pertenezca al interior del c rculo deconvergencia de dicha Serie , el valor l mite de la serieLes unn umero complejo perfectamente definido a partir dez?(aunqueel c alculo deLsea un dolor de cabeza!). En este sentido, setiene una funci on matem atica de variable compleja: el dominioes el interior del c rculo de convergencia de la Serie y cuya reglade asociaci on es el c alculo del valor l mite de la Serie para elz?

2 En el dominio. En este mundo de funciones matem aticasdefinidas por series de potencias, Cu ales son sus propiedades? Tendr a su contraparte eneste mundouna funci on tradicional?Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma. TaylorEjemplosSuponga quef(z) es la funci on definida por la Serie depotenciasf(z) = k=0ak(z zo)kque tiene como c rculo de convergencia|z zo|=R, paraR6= 0. Diremos que su dominioDes|z zo|<R. Entonces f(z) es una funci on continua enD: Es decir, que siz1yz2son puntos en el dominio entonces|f(z1) f(z2)| 0 cuando|z1 z2| 0 f(z) tiene derivada en todo punto deD. No s olo eso, hayuna funci on cuyo dominio es tambi enDy que da laderivada def(z), y m as a un tal funci on derivada estambi en una funci on definida como una Serie de potencias(ouch!)

3 Y todav a m as (y para felicidad nuestra!):f (z) = k=1k ak(z zo)k 1 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma. TaylorEjemplosM as a un, hay una relaci on entre los coeficientes de la Serie depotencias que define la funci on y las derivadas de la funci on enel centro del c rculo de convergencia:ak=f(k)(zo)k! of(k)(zo) =k! akparak 0 Por tanto, la Serie de potencias debe tener la forma:f(z) = k=0f(k)(zo)k!(z zo)kEsta Serie de llama Serie de Taylor . Cuandozo= 0 la Serie sellama Serie de Maclaurin:f(z) = k=0f(k)(0)k!zkMatem aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma.

4 TaylorEjemplos Integraci on de series de potenciasSi se tiene definida una funci on de variable complejaf(z)por medio de una Serie de potencias en su c rculo deconvergenciaf(z) = k=0ak(z zo)k,entoncesf(z) admite una funci on primitivaF(z) (es decir,una funci on que cumpleF (z) =f(z)); y m as a unF(z) estambi en una funci on definida por Serie de potencias enz zo(ouch!) que puede ser calculada integrando t erminoa t ermino la Serie def(z) (aaah!).Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma. TaylorEjemplos Unicidad de las series de potenciasSi dos series de potencias enz zo: k=0ak(z zo)ky k=0bk(z zo)ktienen en mismo radio de convergencia y coinciden en losvalores l mite en todo punto del interior del c rculo deconvergencia, entoncesak= aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma.

5 TaylorEjemplosTeorema de TaylorSeaf(z) una funci on anal tica con dominioDy un puntozoenel interior deD. Entonces,f(z) tiene una representaci on enserie de potencias enz zo:f(z) = k=0f(k)(zo)k!(z zo)kque es v alida para el c rculo m as grande con centro enzoy queest a contenido de coincidencia def(z) y la serieMatem aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma. TaylorEjemplosEjemplo 1 Determine la Serie de Maclaurin y su radio de convergenciapara la funci on dada por la f ormula:f(z) =11 +zObtengamos la Serie por el m etodo que da la definici on, paraello calculemos la f ormula de las derivadas:f (z) =ddz(1 +z) 1= ( 1)11!

6 (1 +z) 2f (z) =ddz( 1)11! (1 +z) 2= ( 1)22! (1 +z) 3f (z) =ddz( 1)22! (1 +z) 3= ( 1)33! (1 +z) 4en general,f(k)(z) = ( 1)kk! (1 +z) (k+1)y por tanto,f(k)(0) = ( 1)kk! ak=f(k)(0)k!=( 1)kk!k!= ( 1)kMatem aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma. TaylorEjemplosPor tanto,f(z) = k=0akzk= k=0( 1)kzk= 1 z+z2 z3+z4+ Y su radio de convergencia se obtiene de:1R= limk k |ak|= limk k |( 1)k|= limk k 1 = 1por tantoR= 1 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma. TaylorEjemplosOtra forma de obtener la Serie es recordando que11 z= k=0zkComo11 +z=11 ( z)Basta usar el desarrollo de11 zpara sustituirzpor zyobtener:11 +z=11 ( z)= k=0( z)k= k=0( 1)kzkMatem aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma.

7 TaylorEjemplosOtra manera para calcular el radio de convergencia de la seriede Maclaurin que representa af(z) = 1/(1 +z) es la siguiente:como Maclaurin tiene como centrozo= 0 y el unico punto deindefinici on de 1/(1 +z) esz1= 1 entonces el radio se puedecalcular obteniendo la distancia dezo= 0 az1= 1:R=d(zo,z1) =|zo z1|=|0 ( 1)|=|1|= 1 Observe que si se tratara de desarrollar en Serie de Maclaurinf(z) =1(z 1)(z 1/2)entonces se debe buscar en qu e puntos hay indefinici on (z1= 1yz2= 1/2) y se debe obtener la menor distancia a ellos (dezo= 0 az1, que es 1, y dezo= 0 az2que es 1/2). En estecaso ser aR= Min{d(zo,z1),d(zo,z2)}= Min{1,1/2}= 1/2 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma.

8 TaylorEjemplosEjemplo 2 Determine la Serie de Maclaurin y su radio de convergenciapara la funci on dada por la f ormulaf(z) =1(1 z)2 Tenemos que:ddz(11 z)=1(1 z)2,por lo tanto,1(1 z)2=ddz( k=0zk)= k=1k zk 1 Los radios de convergencia de ambas series son iguales; esdecir,R= aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma. TaylorEjemplosEjemplo 3 Determine la Serie de Maclaurin y su radio de convergenciapara la funci on dada por la f ormula:f(z) =z1 +zTenemos quef(z) =z1 +z=z 11 +z=z ( k=0( 1)kzk)Por lo tanto:f(z) = k=0( 1)kzk+1El radio de convergencia es el de la Serie de 1/(1 +z), que esR= 1 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma.

9 TaylorEjemplosEjemplo 4 Determine la Serie de Maclaurin y su radio de convergenciapara la funci on dada por la f ormula:f(z) =14 2zTenemos quef(z) =14(1 z2)=14 ( k=0(z2)k)Por lo tanto:f(z) = k=014 2kzkEl radio de convergencia es doble del radio de la Serie de1/(1 z), que es 1; por tanto, el radio de nuestra Serie deMacluarin es aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma. TaylorEjemplosEjemplo 5 Determine la Serie de Taylor enzo= 1 y su radio deconvergencia para la funci on dada por la f ormula:f(z) =1zPrimero obtengamos la Serie usando la definici (z) =ddzz 1= ( 1)11!z 2f (z) =ddz( 1)11!z 2= ( 1)22!z 3f (z) =ddz( 1)22!

10 Z 3= ( 1)33!z 4en general,f(k)(z) = ( 1)kk!z (k+1)y por tanto,f(k)(zo= 1) = ( 1)kk! ak=f(k)(zo)k!=( 1)kk!k!= ( 1)kMatem aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma. TaylorEjemplosPor tanto,f(z) = k=0ak(z zo)k= k=0( 1)k(z 1)k= 1 (z 1) + (z 1)2 (z 1)3+ (z 1)4+ Y su radio de convergencia se obtiene de:1R= limk k |ak|= limk k |( 1)k|= limk k 1 = 1por tanto,R= 1 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma. TaylorEjemplosUna forma alternativa es la siguiente:1z=1zo+ (z zo)=1zo(1 +z zozo)=1zo (11 +z zozo)As 1z=1zo k=0( 1)k(z zozo)k= k=0( 1)kzk+1o(z zo)kEl radio de convergencia se obtiene al calcular:1R= limk k ( 1)kzk+1o =1|zo|por tanto,R=|zo|que corresponde a la distancia dezoal polo de 1/zque esz1= aticasAvanzadasparaIngenier a: Serie deTaylorDepartamentodeMatem aticasSucesi onPropiedadesTma.