Maticiuc - ETTI

1 Capitolul VI: Integrala tripl aConf. dr. Lucian MaticiucFacultatea de Hidrotehnic a, Geodezie s i Ingineria MediuluiAnaliza Matematic a II, Semestrul IIConf. dr. Lucian MATICIUCSEMINAR 12 13 Capitolul VI. Integrala tripl 1. (de reducere a integralei triple)Integrala tripl a se noteaz a cu Vf(x,y,z) a,Vare explicitareaV:{(x,y) Dg1(x,y) z g2(x,y), atunci are loc reducerea Vf(x,y,z)dxdydz= D( g2(x,y)g1(x,y)f(x,y,z)dz) 2. (schimbarea de variabil a n integrala tripl a)Presupunem c aVeste dat de ecuat iile parametriceV: x=x( , , )y=y( , , )z=z( , , )unde( , , ) . Vom calcula iacobianulJnot=D(x,y,z)D( , , )def= x y z x y z x y z Atunci are loc schimbarea de variabil a n integrala tripl a Vf(x,y,z)dxdydz= f(x( , , ),y( , , ),z( , , )) |J| d d d (1) )Coordonate sferice (coordonate polare n spat iu)Acestea sunt date de x= sin cos y= sin sin z= cos , [0, ), [0, ], [0,2 ]. In funct ie de domeniulVtrebuie determinate, mai precis, intervalele de variat ie pentru , , , adic a domeniul.]}

2 1 Lucian MaticiucCapitolul VI: Integrala tripl aConf. dr. Lucian MaticiucJacobianul este n acest caz dat deJ= cos sin sin sin cos sin sin cos sin 0 cos cos sin cos sin =(sepot face calcule dezvolt and dup a a doua linie) s i se va obt ineJ= 2sin Deci (1) devine Vf(x,y,z)dxdydz= f(x( , , ),y( , , ),z( , , )) 2sin d d d b)Coordonate sferice generalizate (coordonate polare generalizate n spat iu)Acestea sunt date de x=a sin cos y=b sin sin z=c cos , [0, ), [0, ], [0,2 ]. In funct ie de domeniulVtrebuie determinate, mai precis, intervalele de variat ie pentru , , , adic a domeniul .Iacobianul este n acest caz dat deJ= acos sin bsin sin ccos a sin cos b cos sin 0a cos cos b sin cos c sin =(sepot face calcule dezvolt and dup a ultima linie) s i se va obt ineJ=abc 2sin .Deci (1) devine Vf(x,y,z)dxdydz= f(x( , , ),y( , , ),z( , , ))abc 2sin d d d unui corpVeste dat deV= un corpVde densitate (x,y,z).]

3 Atunci masa este dat a dem= V (x,y,z)dxdydz2 Lucian MaticiucCapitolul VI: Integrala tripl aConf. dr. Lucian Maticiuciar coordonatele centrului de greutateG(xG,yG,zG)sunt date de xG=1m Vx (x,y,z)dxdydzyG=1m Vy (x,y,z)dxdydzzG=1m Vz (x,y,z) 5. (Formula lui Gauss-Ostrogradski)Fie corpulVm arginit de suprafat aScare este fat a exterioar a a luiV, atunci are locurm atoarea formul a de leg atur a dintre intregrala tripl a s i integrala de suprafat a despecia a doua. SPdydz+Qdzdx+Rdxdy= V( P x+ Q y+ R z)dxdydz3 Lucian MaticiucCapitolul VI: Integrala tripl aConf. dr. Lucian MaticiucEnunt urile problemelor:1. S a se calculezeI= Vdxdydz(x+y+z)2,undeV= [1,3] [0,1] [0,2].Indicat ie:I= 31( 10( 201(x+y+z)2dz)dy)dx= 31( 10( 20(x+y+z) 2dz)dy)dx= 31 10 (x+y+z) 1 1 z=2z=0 dy dx= 31( 10((2 +x+y) 1 (x+y) 1)dy)dx2. S a se calculezeI= Vdxdydz(1 +x+y+z)3,undeVeste m arginit de planelex= 0,y= 0,z= 0s i de planulx+y+z= 1 Indicat ie: Explicitarea luiV:{(x,y) D0 z 1 x yunde domeniulDeste dat de placatriunghiular aD:{0 x 1,0 y 1 S a se calculezeI= Vydxdydz ,undeVeste tetraedrul din primul octant m arginit de planele de coordonatex= 0,y=0,z= 0s i de planulx+y+z= ie: Explicitarea luiV:{(x,y) D0 z 2 x yunde domeniulDeste proiect iavolumuluiVpe planulxOy, deci este placa triunghiular aD:{0 x 20 y 2 D( 2 x y0ydz)dxdy= 20( 2 y0( 2 x y0ydz)dy)dx4 Lucian MaticiucCapitolul VI: Integrala tripl aConf.}}}}

4 Dr. Lucian Maticiuc4. S a se calculezeI= Vzdxdydz ,undeVeste jum atatea superioar a a elipsoiduluix2a2+y2b2+z2c2= 1 Indicat ie: Explicitarea luiV: (x,y) D0 z c 1 x2a2 y2b2unde domeniulDeste dat deinteriorul de elips aD:x2a2+y2b2 S a se calculezeI= Vzdxdydz ,undeVeste m arginit de suprafat a conic az2=h2R2(x2+y2),0 z hIndicat ie: Explicitarea luiV:{(x,y) DhR x2+y2 z hunde domeniulDeste disculD:x2+y2 S a se calculezeI= V(x+y+z)2dxdydz ,undeVeste dat deV:{x2+y2 2az(paraboloid)x2+y2+z2 3a2(sfer a)Indicat ie: Mai nt ai determin intersect ia celor dou a corpuri. Decix2+y2= 2azs iintroduc n a doua ecuat ie:2az+z2= 3a2 (z a) (z+ 3a) = 0s i deoarecez 0aleg solut iaz=a. deci obt inx2+y2=(a 2)2care este ecuat ia cercului n care se nt alnes te paraboloidul cu sfera. Explicitarea luiV:{(x,y) Dx2+y22a z 3a2 x2 y2unde domeniulDeste disculD:x2+y2 (a 2) S a se calculezeI= V(x2+y2)zdxdydz ,undeVeste m arginit de paraboloidulz=x2+y2s i de sferax2+y2+z2= 6s i cont ineo parte din port iunea nenegativ a a ie: Explicitarea luiV:{(x,y) Dx2+y2 z 6 x2 y2unde domeniulDesteproiect ia volumuluiVpe planulxOy(se determin a mai nt ai sfereix2+y2+z2= 6cuparaboloidulz=x2+y2), deci este disculD:x2+y2 D( 6 x2 y2x2+y2(x2+y2)zdz) MaticiucCapitolul VI: Integrala tripl aConf.}}}}

5 Dr. Lucian Maticiuc8. S a se determine volumul corpului dat dez2h2 x2+y2,0 z ie: volumul luiVeste dat deV= VdxdydzExplicitarea luiV:{(x,y) Dh x2+y2 z hunde domeniulDeste proiect ia volumuluiVpe planulxOy(se determin a mai nt ai intersect ia planuluiz=h >0cu paraboloidulz2h2=x2+y2), deci este disculD:x2+y2 D( hh x2+y2dz) calculul integralei duble folosim coordonate S a se calculezeI= V(x2+y2+z2)dxdydz ,undeVeste bila nchis a de raz aRcu centrul n ie: Pentru a calcula integrala tripl a vom folosi coordonate sferice cu [0,R], [0, ], [0,2 ],J= 2sin . DeciV= R0( 0( 2 0(( cos sin )2+ ( sin sin )2+ ( cos )2)|J|d )d )d .10. S a se calculezeI= Vdxdydz x2+y2+z2,undeVeste situat n semispat iul superior s i este delimitat de sferelex2+y2+z2= 1,x2+y2+z2= 9s i de conulz= x2+ ie: Pentru a calcula integrala tripl a vom folosi coordonate sferice cu [1,3], [0, /4], [0,2 ],J= 2sin . DeciV= 31 /40 2 01 ( cos sin )2+ ( sin sin )2+ ( cos )2|J|d d d.}

6 6 Lucian MaticiucCapitolul VI: Integrala tripl aConf. dr. Lucian Maticiuc11. S a se calculezeI= V(x2+y2)dxdydzundeVeste coroana circular a m arginit a de cilindrii circularix2+y2= 4,x2+y2= 9s i de planelez= 0s i dez= ie: Pentru a calcula integrala tripl a vom folosi coordonatele cilindrice unde [2,3], [0,2 ],z [0,1],J=.. DeciV= 32( 2 0( 10(( cos )2+ ( sin )2)|J|dz)d )d .12. S a se determine volumul corpului situat n semispat iul superiorz 0s i m arginit desuprafet elex2+y2+z2=a2,x2+y2+z2=b2,x2+y2=z2,a < ie: Pentru a calcula integrala tripl a vom folosi coordonate sferice cu [a,b], [0, /4], [0,2 ],J= 2sin . DeciV= ba( /40( 2 0|J|d )d )d .13. S a se calculezeI= V(x2a2+y2b2+z2c2)dxdydz ,undeVeste dat a de1 x2a2+y2b2+z2c2 ie: Pentru a calcula integrala vom folosi coordonate sferice generalizate cu [1,2], [0, ], [0,2 ],J=abc 2sin . DeciV= 21( 0( 2 0((a cos sin )2a2+(b sin sin )2b2+(c cos )2c2)|J|d )d )d .14. S a se transforme cu ajutorul formulei lui Gauss-Ostrogradski urm atoarea integral a desuprafat a de specia a douaI= Sx2dydz+y2dzdx+z2dxdy ,unde(S)este fat a exterioar a a elipsoiduluix2a2+y2b2+z2c2= ie: Observ c aP=x2,Q=y2,R=z2; pentru a calcula integrala tripl a peinteriorul unui elipsoid folosim coordonatele sferice MaticiucCapitolul VI: Integrala tripl aConf.

7 Dr. Lucian Maticiuc15. S a se calculeze integral a de suprafat a de specia a douaI= Sx3y2dydz+x2y3dzdx+ 3zdxdy ,undeSeste fat a exterioar a a domeniuluiVm arginit de paraboloiziiz=x2+y2,z=6 x2 y2 Indicat ie: Conform formulei lui Gauss-OstrogradskiI= V(3x2y2+ 3x2y2+ 3z)dxdydzundeV:{(x,y) Dx2+y2 z 6 x2 y2iar domeniulDeste proiect ia volumuluiVpeplanulxOy(se determin a mai nt ai intersect ia celor doi paraboloizi), deci este disculD:x2+y2 D( 6 x2 y2x2+y2(3x2y2+ 3x2y2+ 3z)dz)dxdyPentru calculul integralei duble folosim coordonate S a se calculeze volumul unui corp m arginit de suprafat aa)(x2+y2+z2)2=a3z,x,y,z 0b)(x2a2+y2b2+z2c2)2=x2yh3,x,y,z 0 Indicat ie:a)Pentru a calcula volumulV= Vdxdydzaplic Corolarul 1 adic a trec lacoordonate sferice. Suntem n primul octant (x,y,z 0) deci [0, /2], [0, /2].Pentru a determina folosim inegalitatea care-l d a peV:x2+y2+z2 a3z. Deci(( cos sin )2+ ( sin sin )2+ ( cos )2)2 a3 cos ( 2)2 a3 cos a3 cos adic a0 a3 cos.}

8 Deci : 0 a3 cos 0 /20 /2s i evidentJ= 2sin b)Pentru a calcula volumulV= Vdxdydzaplic Corolarul 1 s i trec la coordonatesferice generalizate. Suntem n primul octant (x,y,z 0) deci [0, /2], [0, /2].Pentru a determina folosim inegalitatea care-l d a peV:(x2a2+y2b2+z2c2)2 x2yh3. Deci((a cos sin )2a2+(b sin sin )2b2+(c cos )2c2)2 (a cos sin )2(b sin sin )h3 0 4 a2bh3 3cos2 sin3 sin 8 Lucian MaticiucCapitolul VI: Integrala tripl aConf. dr. Lucian MaticiucDeci : 0 a2bh3sin3 cos2 sin 0 /20 /2s i evidentJ=abc 2sin .17. S a se determine masa s i centrul de greutate al interiorului de sfer ax2+y2+z2 2azdac a densitatea este (x,y,z) =k x2+y2+z2 Indicat ie: Pentru a calcula integralele triple vom trece la coordonate sferice. Observ ammai nt ai c a sfera estex2+y2+z2= 2az x2+y2+z 2az= 0 x2+y2+(z a)2=a2deci are centrul n punctulC(0,0,a)s i razaadeci este situat a deasupra planuluiz= 0(planulX0Y). Deci [0, /2], [0,2 ]. Pentru a determina folosim inegalitateacare-l d a peV:x2+y2+z2 2az.

9 ( cos sin )2+ ( sin sin )2+ ( cos )2 2a cos 2 2a cos 2acos adic a0 2acos . Deci : 0 2acos 0 /20 2 s i evidentJ= 2sin .18. S a se determine momentul de inert ie n raport cu planulyOzal solidului omogen, dedensitate unitate, av and configurat ia domeniuluiVm arginit de planulz=c >0s i deconul elipticz=c x2a2+ ie: Momentul de inert ie n raport cu planulyOzesteIyz= Teorema 1. Explicitarea luiV: (x,y) Dc x2a2+y2b2 z cunde domeniulDesteproiect ia volumuluiVpe planulxOy(se determin a mai nt ai intersect ia planuluiz=c >0cu conul eliptic), deci este discul elipticD:x2a2+y2b2 D( cc x2a2+y2b2x2dz)dxdyPentru calculul integralei duble folosim coordonate polare S a se determine coordonatele centrului de greutate al unui solid omogen m arginit dep anza unui con circular drept, av and unghiul de la v arf egal cu2 s i de o sfer a de raz aRcu centrul n v arful ie: deoarece solidul este omogen centru de greutate se g ases te pe axaOz, decixG,yG= 0.

10 Prin definit iezG=1V Vzdxdydz9 Lucian MaticiucCapitolul VI: Integrala tripl aConf. dr. Lucian MaticiucundeVeste volumul luiV, dat deV= VdxdydzPentru a calcula cele 2 integrale triple vom folosi coordonate sferice cu [0,R], [0, ], [0,2 ],J= 2sin . DeciV= R0( 0( 2 0|J|d )d )d .20. S a se determine momentul de inert ie n raport cu axaOza solidului de configurat iebila de raz aacu centrul n origine, s i densitate (x,y,z) =x2+y2+ ie: Momentul de inert ie n raport cuOzesteIz= V(x2+y2) (x,y,z) V(x2+y2)(x2+y2+z2)dxdydzcare se va calcula folosind coordonatele sferice cu [0,a], [0, ], [0,2 ],J= 2sin . DeciV= a0( 0( 2 0(( cos sin )2+ ( sin sin )2) (( cos sin )2+ ( sin sin )2+ ( cos )2)|J|d )d )d .10 Lucian Maticiuc