MEF - Centrale Nantes

1 MEF M thode des l ments Finis Polycopi de cours ITII fili re m canique Responsable du cours : Herv Oudin Objectifs : Aborder les notions fondamentales de la m thode des l ments finis partir de l' tude des structures treillis et portiques. Puis g n raliser diff rents probl mes de la physique pour comprendre et savoir utiliser les mod les num riques de type l ments finis dans le cadre de probl mes plus complexes utilisant des mod les de l'ing nieur. Ce cours arbore la notion de mod lisation indispensable pour dimensionner et valider un produit avec un logiciel de calcul industriel.

2 Pr requis : En Math matiques : Alg bre lin aire, g om trie, int gration et quations diff rentielles. En Physique : M canique des solides et m canique des milieux continus. Des connaissances en vibration des structures sont un plus. Supports du cours : Tous les l ments de ce polycopi peuvent tre consult s sur le site Vous y trouverez entre autre les corrig s des exercices de cours mais aussi d'autres supports p dagogiques qui peuvent vous servir pour compl ter votre formation. Les notions abord es : Mod le barre application aux treillis Mod le poutre application aux portiques M thodes variationnelles et m thodes num riques Notion de mod lisation application l'utilisation d'un code l ments finis M thodes et outils d'analyse des r sultats d'un mod le l ments finis D roulement : sur la base de 15 demi-journ es de 4h (les TP & projet en salle informatique) Travail en salle Travail personnel / valuation S 1 C-TD : tude des barres S 2 TD1 / C-TD : tude des portiques TA1 : exercice r diger S 3 TD2 /TD3 : Portiques TA2 : exercice r diger S 4 C-TD.

3 M thodes d'approximation-MEF TA3 : exercice r diger S 5 TD4 /TD5 : Techniques num riques S 6 TP1 - TP2 utilisation de MEFlab : Treillis S 7 TP3 : MEFlab : Portiques DS 2h S 8 TP4 & TP5 MEFlab : NumQ4 CR de TP r diger S 9 TP6 initiation abaqus S10 Cours "mod lisation" / fin du TP support S11-13 Projet abaqus : Support d' tag re CR de projet r diger S14 TA4 : analyse de l' lingage - TA5 : analyse du clip d'habillage S15 DS abaqus analyse et mod lisation d'une pi ce -analyse des r sultats Pour les TD et TP MEFlab : Chaque th me est abord en TD de fa on analytique pour montrer ce qu'il est possible de traiter la main et tablir des solutions de r f rence.

4 Les TP sont bas s sur des exercices simples r aliser avec MATLAB. Ces TP sont l'occasion d'utiliser des outils num riques pour voir comment les calculs sont abord s pour des structures plus complexes. Les TA "Travail en Autonomie" L'objectif est p dagogique, ils vous permettent d'avoir une valuation p dagogique de votre travail et de r soudre vos difficult s au fur et mesure. Ils doivent tre rendus lors de la s ance suivante dans le d roulement du cours. Le TP et le projet abaqus : L'objectif est de savoir analyser les r sultats obtenus pour diff rentes mod lisations d'un m me probl me.

5 Tre capable d'en faire une synth se et de la pr senter dans un rapport. Le dernier TP consistent pr parer une analyse l ments finis en r fl chissant sur la mod lisation de deux probl mes industriels. valuation : Le DS (1h) : des questions de cours et 2 exercices : un treillis, un portique. Document autoris : une page RV de synth se du cours. Le CR de TP (3-4 pages) Le CR de projet (10 pages) Le DS abaqus qui sera r alis par bin me Une importance particuli re est port e la pr sentation des hypoth ses et la synth se des r sultats Table des mati res MISE EN QUATIONS DES 7 Application du Application du quivalence des Bilan & M THODES D'APPROXIMATION APPLIQU ES AUX 11 M thode des r sidus pond r Formulation variationnelle du probl MOD LE L MENTS FINIS POUR L' TUDE DES 17 L l ment fini Mod le l ments finis d'un treillis.

6 20 MISE EN QUATIONS DES POUTRES EN FLEXION 29 Application du Application du quivalence des Bilan & M THODES D'APPROXIMATION APPLIQU ES AUX 35 M thode des r sidus pond r Formulation variationnelle du probl MOD LE L MENTS FINIS POUR L' TUDE DES PORTIQUES 39 L l ment fini de flexion plane ..39 Application aux Statique des portiques plans simples ..45 FORMULATION VARIATIONNELLE & CRITURE MATRICIELLE .. 49 Formulation int grale ..49 criture matricielle du PTV ..51 Application aux mod les de l ing nieur ..52 Exercices : Formulations Variationnelles en physique ..54 M THODES NUM RIQUES DANS LE CADRE DE LA 57 Discr tisation du milieu.

7 57 Approximation nodale ..57 Calcul des matrices l Assemblage et conditions aux Exercice ..66 UTILISATION D'UN LOGICIEL L MENTS 69 Cr ation et v rification des donn es:..69 Ex cution du calcul: ..70 Exploitation des r sultats: ..70 Votre parcours p dagogique ..71 Organigramme d'un logiciel l ments PROCESSUS D ANALYSE & MOD 73 Qu'est-ce qu'un mod le ?..74 Comment estimer les erreurs de discr tisation ?..75 Votre parcours p dagogique ..76 TEXTE DES TP AVEC 77 TP1 : Prise en main des scripts (2h)..Erreur ! Signet non d fini. TP2 : tude num rique des treillis (2h) ..77 TP3 : tude num rique des portiques 2D (2h).

8 78 TP4 : Illustration des m thodes num riques avec ! Signet non d fini. TP5 : Illustration des m thodes num riques avec PR SENTATION DE MEFLAB / 81 Analyse des scripts l ments finis ..81 Description des scripts de donn PREMIERS CALCULS AVEC 89 Prise en main du logiciel ..89 Analyse des r sultats ..91 TP : TUDE DE 91 Pour aller un peu plus SUPPORT D' TAG 95 Position du probl D roulement du TUDE LOCALE D UNE POUTRE SOUMISE UN EFFORT D 97 Position du probl Votre mission, ..98 TUDE D'UN CLIP D' 99 Le produit - les Travail propos ..99 Mise en quations des barres 7/100 7 Mise en quations des barres Les quatre champs inconnus de la MMC sont : Champs vectoriels Champs tensoriels u : D placements f : Forces : D formations : Contraintes Les relations entre ces champs peuvent tre repr sent es par la figure suivante Relat ionsg om t riquesRelat ionsg om t riques( )f u = Tn = ( )E ( ) ( )F f ( )U u < Lois de comport em ent > < Pr incipe de la dynamique >( )D =Lo is de compor t ementg n ralis eFigure 1 : Relations entre les champs de la MMC.

9 Dans le premier document de cours nous avons tabli la loi de comportement g n ralis e du mod le barre. H1 : d placement axial (, )( , ) M tx touux= ==> ,xxxu = H2 : tat de contrainte uni axial xxxxE = D'o la d finition de l'effort normal NES ux= , Pour terminer la mise en quations des barres, nous pouvons crire une des deux formes du principe de la m canique que vous avez vues en MMC : Le PFD : qui donne un syst me d' quations aux d riv es partielles (formulation locale). Le PTV : qui est sa forme int grale ou forme variationnelle et est une forme nerg tique globale des quations du mouvement.

10 Application du PFD Nous allons crire les quations de Newton fma= pour une tranche d paisseurdx de la barre Le bilan des efforts ext rieurs sur cet l ment de mati re (figure ci-contre) fait apparaitre l'effort normal (torseur des efforts de coh sion) L' quation de r sultante dynamique dans la direction x donne : NdNNfdxSdx u + += Soit , xNfS u += Compte tenu de la loi de comportement int gr e, l' quation locale est : ][(),,0, xxxSuESuf = x NdN+dxN f Les conditions aux limites aux extr mit s de la barre peuvent tre, en d placement impos : ( )dtuu=, ou en force impos e : ,( )xdtESuN=.