Transcription of PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA PARÁBOLA
1 5 - 29 Unidad 5 La par bola y su ecuaci n cartesiana PROBLEMAS DE aplicaci N DE LA PAR BOLA En esta unidad nos hemos interesado en los puntos que est n en la par bo-la, como (-5,25) (1,1), (3,9), )5,5(),2,2( , etc. Sin embargo podemos considerar el conjunto de puntos que est n dentro de la par bola como una segunda regi n del plano y a los que est n fuera de la par bola como una tercera regi n. 1. El problema de adentro o afuera Puedes decir, sin ver una gr fica, si el punto (2,5) est dentro o fuera de la par bola y = x2 ?
2 Una par bola vertical como y = x2 divide al plano en tres regiones. Describirlas D e n t r o F u e r a D e n t r o F u e r a En Unidad 5 La par bola y su ecuaci n cartesiana 5 - 30 Ejercicio 7 3. Deducir la relaci n que hay entre las coordenadas x y y que cumplen todos los puntos que est n dentro de la par bola. 4. Localizar algunos puntos que est n en la regi n que definimos como fuera de la par bola y escribir sus coordenadas. 5. Deducir la relaci n que hay entre las coordenadas x y y, que cumplen to-dos los puntos que est n fuera de la par bola. 6. Resolver el problema planteado al iniciar esta secci n.
3 7. Deducir la relaci n que hay entre las coordenadas x y y, que cumplen to-dos los puntos que est n tanto dentro como fuera de la par bola y = - x2. 2. El problema de la intersecci n Encontrar las coordenadas de los puntos donde la recta x 2y + 4 = 0 corta a la par bola x2 2y 2 = 0. Qu se hace para encontrar las coordenadas del punto o puntos donde se intersectan dos curvas cualesquiera? Desde luego, resolver el sistema formado por las ecuaciones de tales curvas. Por lo tanto tenemos que resolver el sistema formado por las ecuaciones x 2y + 4 = 0 .. (1) y x2 2y 2 = 0 .. (2) De la ecuaci n (1) despejamos y: Sustituimos y en la ecuaci n (2), tenemos: 022422 xx, Eliminando el par ntesis y el denominador: 1.
4 Trazar la gr fica de la par bola y = x2 2. Localizar algunos puntos que est n en la regi n que defi-nimos como dentro de la par bola y escribir sus coordenadas. 5 - 31 Unidad 5 La par bola y su ecuaci n cartesiana 022422 xx 02142 xx 0242 xx 062 xx Resolviendo esta ecuaci n: , ( )( ) , de donde x1 = 3 y x2 = -2 Por lo tanto: Las coordenadas de los puntos de intersecci n son: P1( ) P2( ) La gr fica siguiente muestra ambos lugares geom tricos y los puntos de in-tersecci n, verificar los resultados: 3. El problema del t nel Un t nel en forma de arco parab lico vertical, tiene una altura m xima de 10 metros y sus puntos de apoyo en el suelo est n separados 24 metros.
5 El foco de la par bola est arriba del suelo o por debajo de l?, a qu distancia del suelo se encuentra? Colocando la par bola que re-presenta al t nel en un sistema de coordenadas, como se ilustra en la figura, vemos que su ecuaci n es de la forma (x h)2= 4p (y k) con v rtice V(0,10), por lo que h = 0 y k = 10. Unidad 5 La par bola y su ecuaci n cartesiana 5 - 32 La ecuaci n de esta par bola es x2 = 4p (y 10) Conocemos dos puntos por donde pasa la par bola: (-12,0) y (12,0), por lo tanto, sus coordenadas deben satisfacer la ecuaci n: 122 = 4p (0 10); 144 = - 40 p; p Entonces, el foco es el punto F(h, k + p) = F(0,10 - ) = F(0, ) Por lo tanto el foco est metros arriba del suelo.
6 Ejercicio 8 3. Una antena parab lica mide 16 m de ancho a una distancia de 6 m del v r-tice, qu ancho tiene esa antena a la altura del foco? 4. Un t nel en forma de arco parab lico tiene una altura m xima de 20 m y un ancho de 36 m en la base. A qu altura de la base el t nel tiene un ancho de 18 m, para colocar una trabe? 1. Qu condici n deben cumplir los puntos que est n den-tro de la par bola x2 + 2x y + 1 = 0? 2. Encuentra las coordenadas de los puntos donde se cortan la recta 2x 3y 3 = 0 y la par bola y2 4x + 2y + 9 = 0.
