Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal

1 Universidad de Sonora Divisi n de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matem ticas. Problemas Resueltos de Desigualdades y Programaci n Lineal Para el curso de C lculo Diferencial de Qu mico Bi logo Dr. Jos Luis D az G mez Segunda versi n. 2003 1 Desigualdades Contenido I. 0. Introducci 1. Propiedades de las 2. 3. Problemas de Desigualdades 4. Valor 5. Propiedades del valor absoluto:..19 6. Desigualdades y valor 7. Desigualdad Lineal en Dos 8. Desigualdades lineales simult 9. Soluci n Gr fica a Problemas de Programaci n II. Problemas para Bibliograf a:..44 Ind 2I. Desigualdades . 0. Introducci n. Resolver ecuaciones, por ejemplo, 6x + 17 = 8 o x2 - 2x - 5 = 0 es una de las tareas tradicionales de las matem ticas. Pero es casi de la misma importancia en c lculo saber resolver una desigualdad por ejemplo 2x + 6 <70 5 o x2 -2x 46 0 Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los n meros reales que la hacen verdadera.

2 En contraste con una ecuaci n, cuyo conjunto soluci n, en general, consta de un n mero o quiz un conjunto finito de n meros, el conjunto soluci n de una desigualdad por lo com n consta de un intervalo completo de n meros o, en algunos casos, la uni n de tales intervalos. 1. Propiedades de las Desigualdades . Dados dos n meros reales, siempre podemos compararlos y decidir si son iguales o cu l es m s grande. Escribimos a < b para decir que a es menor que b y a b para decir que a es menor o igual que b. En la recta, a < b significa que el punto correspondiente a a est a la izquierda del que corresponde a b. ab El orden en los n meros reales tiene las siguientes propiedades: 1. Si a y b son n meros reales, sucede una y s lo una de las siguientes relaciones (propiedad de tricotom a): i) a = b; ii) a > b; iii) a < b 2.

3 Si a < b y b < c, entonces a < c (propiedad transitiva). abc 3. Si a < b y c IR, entonces a + c < b + c. aba+cb+ccc 4. Si a < b, y c > 0 entonces ac < bc abacbc 5. Si a < b, y c < 0 entonces ac > bc. Podemos tener los tres casos siguientes. ab-bc-ac0 -bc < -ac bcac-a-b0 bc < ac bac-bc-a0 -bc < ac 2. Intervalos. Definici n: Dados dos n meros a, b en IR, con a menor que b, el intervalo definido por a y b es el conjunto de n meros x en IR que est n entre a y b. Los puntos a y b pueden o no pertenecer al intervalo, entonces podemos tener los siguientes casos: 1. Si a y b pertenecen al intervalo, ste se llama intervalo cerrado y escribimos: [a, b] = {x IR a x b}. 3[]ab 2. Si a y b no pertenecen al intervalo, ste se llama intervalo abierto y escribimos: (a, b) = {x IR a < x < b} ab() 3. Si alguno de los extremos, pero no ambos, pertenece al intervalo tenemos estos dos casos (intervalos semiabiertos o semicerrados): ab)[ ab(] La noci n de intervalo se puede extender, para denotar al conjunto de las x IR que son m s grandes o m s chicas que un n mero dado.

4 Por ejemplo, para denotar al conjunto { x IR x > a} escribimos (a, + ). Los siguientes conjuntos son intervalos: (a, + ) = { x IR x > a} + a( [a, + ) = { x IR x a} a[+ ( - , b) = {x IR x < b } )b- ( - , b] = {x IR x b } - ]b ( - , + ) = IR - + 3. Problemas de Desigualdades Resueltos . 1. Completa la tabla llenando los espacios con la notaci n adecuada. Intervalo Desigualdad Grafica en la recta. [-3, 5) -3 x < 5 (- , -5] x -5 [3, 8] 3 x 8 (-5, 4) -5 < x < 4 Resolver una desigualdad significa determinar el conjunto de n meros x para los cuales la desigualdad es cierta. A este conjunto de n meros se le llama conjunto soluci n. 4 2. Resuelva la desigualdad 2 + x < 9 x + 6 y dibuje la gr fica de la soluci n en la l nea recta. Soluci n. La desigualdad es v lida para algunos valores de x, pero para otros no.

5 Para encontrar los valores para los cuales es v lida utilizaremos las propiedades mostradas en los apartados 1 y 2. Para ello despejaremos la x en la parte izquierda de la desigualdad. En primer lugar restamos -2 a ambos lados de la desigualdad (usando la propiedad 3 con c = -2): 2 -2 + x < 9x + 6 -2 x < 9 x + 4 Luego se resta 9x de ambos miembros (usando la propiedad 3 con c = - 9x): x -9x < 9x 9x + 4 -8x < 4 Ahora multiplicamos ambos miembros por (-1/8) (propiedad 5 con c = -1/8). Observa que al multiplicar por el n mero negativo cambiamos el orden de la desigualdad. Por lo tanto el conjunto soluci n est formado por todos los n meros mayores que -1/2. En otras palabras, la soluci n de la desigualdad es el intervalo ()()1-18> 488x 1,2 + . La representaci n gr fica de la soluci n se muestra a la derecha.

6 -4>8x o bien -1>2x 3. Hallar la soluci n de la desigualdad 3x + 5 -7x + 8 y repres ntela gr ficamente en la l nea recta. Soluci n: Trataremos de despejar la x en la parte izquierda de la desigualdad utilizando las propiedades de las Desigualdades mostradas en los apartados 1, y 2 de este documento. Primero sumamos 7x a ambos lados, usando la propiedad 3. 3x + 7x + 5 - 7x + 7x + 25 10x + 5 25 Ahora sumamos -5 a ambos lados utilizando la propiedad 3. 10x + 5 -5 25 5 10x 20 Enseguida multiplicamos por 1/10. De esta manera tenemos que la soluci n est formada por todos los n meros menores o iguales que 2. En otros t rminos, la soluci n est dada por el intervalo (- , 2]. La representaci n gr fica de este intervalo se muestra a la derecha.)

7 ()()1110 201010x x 2 5 4. Hallar el conjunto de soluciones de la desigualdad 2 + 3x < 5x + 8 e ilustrarlo en la l nea recta. Soluci n: Las siguientes Desigualdades son equivalentes: Sumando -2 a ambos lados de la desigualdad. 2 + 3x < 5x + 8 2 + 3x -2< 5x + 8-2 3x < 5x + 6 Sumando -5x a ambos lados de la desigualdad. 3x 5x < 5x -5x + 6 -2x < 6 Multiplicamos por (-1/2) los dos lados de la desigualdad. Observa que cambiamos el orden de la desigualdad. Por consiguiente, el conjunto de soluciones es el intervalo (-3, + ), que se ilustra en la gr fica de la derecha. (-1/2)(-2x) > (-1/2)(6) = -6/2 x > 3 5. Resolver la desigualdad 2x + 3 3x +7 y representar la soluci n en la l nea recta. Soluci n: Despejaremos la variable x en la parte izquierda de la inecuaci n.

8 Sumando -3 a ambos lados de la desigualdad. 2x + 3 3x +7 2x + 3 - 3 3x +7 3 2x 3x + 4 Sumando -3x a ambos lados. 2x -3x 3x -3x + 4 -x 4 Multiplicamos por (-1) ambos lados para dejar x con signo positivo, (f jate que cambiamos el orden de la desigualdad) y as tenemos que la soluci n es el intervalo (-4, + ). La gr fica del intervalo se muestra a la derecha. (-1)(-x) (-1)(4) x -4 6. Hallar la soluci n de la desigualdad 7 < 3x 2 13 e ilustrarla en la recta de los n meros reales. Soluci n: En este caso tenemos una doble desigualdad en la que s lo en la parte intermedia aparece la variable x. La soluci n consta de todos los valores de x que satisfacen las dos Desigualdades . Para resolverla despejaremos la variable x en la parte media de la desigualdad aplicando las propiedades dadas en los p rrafos 1 y 2.

9 Primero sumamos 2 a toda la desigualdad, usando la propiedad 3. 7 < 3x 2 13 7 + 2 < 3x 2 + 2 13 + 2 9 < 3x 15 6 Enseguida multiplicamos por (1/3) toda la desigualdad utilizando la propiedad 5. De esta manera tenemos que la soluci n est formada por todos los n meros x mayores que 3 y menores o iguales a 5. En otros t rminos, la soluci n est dada por el intervalo (3, 5]. La representaci n gr fica de este intervalo se muestra a la derecha. 1119 < 3x15333 3 < x 5 7. problema : Un estudiante debe mantener un promedio num rico final en cinco ex menes de 80% a 89%, para obtener una nota final de B en el curso de c lculo. Si en los primeros cuatro ex menes obtuvo calificaciones de 96%, 70%, 81% y 95%, qu calificaci n deber obtener en el examen final para obtener una nota de B?)

10 Dejemos que x(0 x 100) sea la calificaci n que debe obtener el estudiante en el examen final. Un promedio se busca sumando las notas y dividiendo entre el n mero de notas. As , el promedio del estudiante se calcular de la siguiente manera: 96 + 70 + 81 + 95 + x5 Queremos que el promedio final quede entre 80% y 90%, inclusive el 80. Luego, al simplificar la expresi n anterior, tenemos: 342580x+ <90 Si resolvemos la desigualdad anterior: 400 342 + x < 450 58 x < 108 El resultado anterior significa que, el estudiante no puede sacar menos de 58% en el examen final si desea una calificaci n de B en dicho curso. Otras consecuencias del resultado anterior son que si obtiene una calificaci n menor de 58% en dicho examen final, su nota final ser menos de B y que no hay modo de que el estudiante obtenga una nota final de A, pues 0 x 100 y el resultado obtenido implica que tendr a que obtener una calificaci n mayor o igual a 108 para obtenerla.