Progresi aritmetice si geometrice - matematic.eu

1 Progresii aritmetice i geometrice Virgil Mihail Zaharia 1 Progresii 1. Progresii aritmetice Defini ia. Se nume te progresie aritmetic un ir de numere a1, a2, a3, ..,an, .. n care fiecare termen, ncep nd cu a2, se ob ine din cel precedent prin ad ugarea unui num r constant numit ra ia progresiei. Se noteaz a1, a2, a3, ..an, .. Dac a1 este primul termen, an cel de!al n!lea termen (termenul general), r ra ia, n num rul termenilor i Sn suma celor n termeni, atunci avem: an = an!1 + r, n 2 defini ie an = a1 + (n 1)r, n 2 termenul general 11, 22kkkaaak ++= media aritmetic 1, 1kkr aa k+= ob inerea ra iei Sn = a1 + a2 +.

2 + an, Sn = 1( )2na a n+, 12 ( 1)2na n rSn+ = Termenii echidistan i de extremi. ntr!o progresie aritmetic suma termenilor echidistan i de extremi este egal cu suma termenilor extremi: ak + an k+1 = a1 + an. Observa ie. Dac num rul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci exist un termen n mijloc, am+1, astfel nc t 2am+1 = a1 + a2m+1. Condi ia necesar i suficient pentru ca trei termeni a,b,c, luate n aceast ordine, s formeze o progresie aritmetic , este s avem 2b = a + c. 2. Progresii geometrice Defini ia. Se nume te progresie geometric un ir de numere b1,b2,b3,..,bn,.. n care fiecare termen, ncep nd cu b2, se ob ine din cel precedent prin nmul irea acestuia cu un acela i num r q (q 0) numit ra ie.

3 Se noteaz b1,b2,b3,..bn,.. Dac b1 este primul termen, bn cel de!al n!lea termen (termenul general), q ra ia, n num rul termenilor i Sn suma celor n termeni, atunci avem: bn = qbn!1, n 2 defini ie bn = b1qn!1, n 2 termenul general 1, 1kkbqkb+= ob inerea ra iei 1 1, 2kkkbb b k += media geometric Sn = b1 + b2 + ..+ bn, Sn = 111nqbq ; Sn = 1, 11nb b qqq Progresii aritmetice i geometrice Virgil Mihail Zaharia 2 Termeni echidistan i de extremi. ntr!o progresie geometric , produsul a doi termeni echidistan i de extremi este egal cu produsul termenilor extremi: bpbn p+1 = b1bn.

4 Observa ie. Dac num rul termenilor este impar (n=2m+ 1) atunci exist un termen la mijloc, bm+1, astfel nc t 21 1 2 1mmbb b++=. Condi ia necesar i suficient ca trei numere a,b,c, luate n aceast ordine, s formeze o progresie geometric este s avem b2 = ac. Progresii aritmetice i geometrice Virgil Mihail Zaharia 3 Probleme propuse 1. S se determine al zecelea termen al irului 1, 7, 13, 19, .. 2. S se calculeze suma primilor 5 termeni ai unei progresii aritmetice (an)n 1, tiind c a1 =1 i a2 = 3. 3. S se determine al patrulea termen al unei progresii geometrice , tiind c ra ia este egal cu 13 i primul termen este 27.

5 4. S se calculeze suma 2 3 41 1 1 113 3 3 3+ + + +. 5. S se determine num rul real x, tiind c x 3, 4, x+3 sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice . 6. S se calculeze suma 1+3+5+..+19 . 7. Se consider progresia aritmetic (an)n 1 n care a3 = 5 i a6 =11. S se calculeze a9 . 8. S se calculeze suma 1+2+22+23+..+27. 9. Se consider progresia aritmetic (an)n 1 n care a1 =1 i a5 =13. S se calculeze a2009 . 10. S se determine ra ia unei progresii aritmetice (an)n 1 , tiind c a10 a2=16 . 11. Se consider progresia aritmetic (an)n 1 , n care a1 = 2 i a2 = 4 . S se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei. 12. Se consider progresia geometric (bn)n 1 n care b1 = 2 i b2 = 6.

6 S se calculeze b5. 13. S se determine num rul real x , tiind c irul 1, 2x +1, 9,13,.. este progresie aritmetic . 14. Se consider progresia aritmetic (an)n 1 n care a1 = 6 i a2 = 5. S se calculeze a7. 15. Se consider progresia aritmetic (an)n 1 n care a2 = 5 i r = 3. S se calculeze a8. 16. Se consider progresia geometric (bn)n 1 n care b1 =1 i b2 = 3. S se calculeze b4 . 17. Se consider progresia aritmetic (an)n 1 n care a1 = 7 i a7 = 37. S se calculeze suma primilor zece termeni ai progresiei. 18. Se consider progresia aritmetic (an)n 1 n care a1 = 3 i a3 = 7. S se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei. 19. S se calculeze suma 1+11+21+31+.

7 +111 . 20. S se determine num rul real x tiind c numerele x + 1, 2x 3 i x 3 sunt termini consecutivi ai unei progresii aritmetice . 21. S se determine suma primilor 6 termeni ai progresiei aritmetice (an)n 1, n care a1 = 2 i a2 = 5. 22. S se determine valorile reale ale num rului x tiind c numerele 5 x; x + 7 i 3x +11 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice . 23. S se determine primul termen al unei progresii aritmetice cu ra ia 4, tiind c suma primilor doi termeni este 10. 24. ntr!o progresie geometric , al doilea termen este 3 i raportul dintre primul i al patrulea termen este 18. S se determine primul termen al progresiei. Progresii aritmetice i geometrice Virgil Mihail Zaharia 4 25.

8 S se determine suma primilor trei termeni ai unei progresii geometrice , tiind c suma primilor doi termeni ai progresiei este egal cu 8, iar diferen a dintre al doilea termen i primul termen este egal cu 4. 26. S se calculeze al cincilea termen al unei progresii aritmetice , tiind c primul termen al progresiei este 7 i al doilea termen este 9. 27. S se determine ra ia progresiei geometrice (bn)n 1, tiind c b1 = 3 i b2 b1=3. 28. S se determine num rul real x, tiind c irul 1, x, x+ 2, 7,.. este progresie aritmetic . 29. S se determine x R, tiind c numerele x 1, x+1 i 2x 1 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice . 30. Se consider func ia f :R R, f(x) = 2x+3.

9 S se arate c numerele f(1), f(0) i f( 3) sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice . 31. S se determine al patrulea termen al unei progresii geometrice care are primul termen egal cu 16 i ra ia 12. 32. S se determine termenul al patrulea al unei progresii aritmetice , tiind c primul termen este 2 i ra ia este 3. 33. S se determine ra ia unei progresii aritmetice n care primul termen este 10 i al patrulea termen este 19. 34. S se calculeze suma 1+2+22+..+26. 35. S se calculeze suma S=1+5+9+..+25 . 36. S se calculeze produsul primilor trei termeni ai unei progresii geometrice , care are primul termen 2 i ra ia egal cu 2 . 37. S se determine num rul real x tiind c numerele x 1, 2x 2 i x + 3 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice .

10 38. S se determine num rul real x tiind c numerele x 1, x+1 i 2x +5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice . 39. S se determine produsul primilor trei termeni ai unei progresii geometrice tiind c primul termen este egal cu 1 i ra ia este egal cu 2. 40. Se consider func ia f :R R, f (x)=x+5. S se calculeze f(2)+f(22)+..+f(25). 41. Se consider func ia f :R R, f (x)=x+3. S se calculeze f(2)+f(22)+..+f(27). 42. Se consider func ia ( )1:,2xff x = R R. S se calculeze f(0)+f(1)+..+f(4).