Pythagoras’ sætning - matematiksider.dk

1 1 pythagoras s tning I denne note skal vi give tre forskellige beviser for pythagoras s tning: pythagoras s tning I en retvinklet trekant ABC, hvor den rette vinkel betegnes med C, g lder: 222ab c+= Bevis 1 Lad os tegne et stort kvadrat med sidel ngden ab+. Fire kopier af trekanten omtalt i s tningen anbringes nu i hvert hj rne af kvadratet, som angivet p figuren. I midten bliver herved dannet en lille firkant, hvor alle siderne har l ngden c. acaDBcvvaabbbbCx90v90vEA 2 For at vise, at den lille firkant er et kvadrat mangler vi at vise, at dens vinkler alle er rette. S t CBA v =. Da vinkelsummen i en trekant er 180 f s 90 CABv = . Da ADE og ABC er kongruente, f s DAEv = og 90 DEAv = . Eftersom 180 CAD = f s 180(90)1809090xvv vv= = += . Tilsvarende f s at alle de andre vinkler i firkanten er rette. Arealet af hver af de fire trekanter er 1122hGab =.

2 Da det store kvadrats areal er lig med summen af de fire trekanters areal og det lille kvadrats areal, s f s: 2222222212()4( )2 2ababca b ababca bc+= + ++=+ += som beviser det nskede. , Bevis 2 Tegn h jden fra den rette vinkel C ned p siden c og kald fodpunktet for D. S t ADx= og DBy=. S t endvidere CBDv =. P grund af vinkelsummen i en trekant f s derefter de vrige vinklers st rrelser, som angivet p figuren nedenfor. Dette viser, at trekanterne ABC , ACD og BCD alle er ensvinklede. Vi drejer og spejler de to sm trekanter og tegner dem under den store: abcCABxyDBCDayCDAbxvv90v90v 3 Da trekanterne er ensvinklede m ensliggende sider derfor have samme forhold. Spe-cielt f r vi: 22xbbxbccyaayacc= == = Heraf f s 222222 2babacxyabccc c+=+=+= +=. , Bevis 3 F r vi begynder med det egentlige bevis vil vi lige formulere en hj lpes tning: Hj lpes tning Hvis man sk vvrider et rektangel som p figuren, s ndres figurens areal ikke.

3 HG Bevis for hj lpes tning: Da et parallelograms areal er lig med h jde gange grund-linje og disse st rrelser ikke ndrer sig ved sk vvridningen, s er arealet bevaret. NB! Man kan ogs argumentere med, at parallelogrammet har mistet en trekant , men modtaget en lige s stor trekant , s arealet er u ndret! Nu til det egentlige bevis: Vi kan omformulere pythagoras s tning til en s tning om arealer: Hvis vi tegner kvadrater ud fra hver af siderne i trekanterne ligesom p figuren p n ste side, s svarer pythagoras s tning til den p stand, at arealerne af de to sm kvadrater er lig med arealet af det store kvadrat. 4 abcAreal: a2 Areal: b2 Areal: c2 For at bevise udsagnet om kvadraternes arealer skal vi gennem en tegneserie vise, hvordan de to kvadrater uden at ndre areal kan deformeres til to rektangler og hvor-ledes disse rektangler ved en flytning kan bringes til pr cist at d kke det store kvad-rat.

4 P figur 1 i tegneserien p n ste side ser vi, at kvadratet h rende til siden a kan deformeres over i det markerede parallelogram, hvor siden BE er vinkelret p AB. If lge hj lpes tningen er det sket uden at figuren har ndret areal. P figur 2 vises hvordan kvadratet h rende til siden b p tilsvarende m de kan sk vvrides over i det med m rk farve markerede parallelogram, igen uden at areal-et ndres. P figur 3 omdannes de to parallelogrammer fra figur 2 til rektangler, igen ved en sk vvridning, som n vnt i hj lpes tningen. Arealet er igen bevaret. P figur 4 parallelforskydes de to rektangler ned i det store kvadrat. Tilbage er blot at redeg re for, at rektanglerne netop passer ned i kvadratet. Det er tilstr kkeligt at argumentere for, at h jden af de to rektangler fra figur 3 er lig med c. Jeg vil n jes med at g re det for det venstre rektangel forklaringen for det h jre rektangel fore-g r p analog vis.

5 H jden af venstre rektangel er lig med BE. Dette fremg r af m den, hvorp figuren er sk vvredet p . At BEc=f r man ved at vise, at ABC og BDE er kongruente. Er de det, vil specielt hypotenuserne nemlig v re lige store, dvs. BEc=. At trekanterne er kongruente f r man ved at kigge p figur 1 igen: S t ABCv = og argument r som tidligere for, at de vrige vinkler er som angivet p figuren. Det viser, at de to trekanter er ensvinklede. At forst rrelsesfaktoren er lig med 1 fremg r af, at siden overfor vinklen 90v i begge tilf lde er lig med a. Dette afslutter vores bevis! , abcaACBEDcvvAnimationFigur 1 Figur 2 Figur 490v90v90vFigur 3