RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES …

1 RESOLUCI ON DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESPOR MEDIO DE DESARROLLOS EN SERIEJuan Luis Varona1. SOLUCIONES ANAL ITICASC onsideremos un sistema lineal[L] {x (t) =A(t) x(t) +b(t)x(t0) =x0,dondeA(t) es una matrizn nyb(t) es un vector columnan-dimensional,ambos anal ticos en un intervalo realI= (t0 R, t0+R). Al serA(t) yb(t)continuas, el teorema de Picard-Lindel of asegura que existe una unica soluci onde [L] enI, pero no proporciona un m etodo que permita solucionar el sistemapor medio de embargo, si la soluci on de [L] fuese anal tica, una t ecnica diferentede abordar el problema consistir a en lo siguiente: Al ser la soluci on anal tica,se puede derivar t ermino a t ermino; entonces, sustituyendo en la ecuaci ondiferencial, se igualan los t erminos de igual grado y esto permite encontrarla soluci suposici on de que la ecuaci on [L] tiene soluci on anal tica escierta.}

2 Para comprobarlo, en primer lugar extendamos anal ticamenteA(t) yb(t)aA(z) yb(z) definidas en la bola complejaBR(t0). Entonces, paraz BR(t0)definimos por recurrencia las iteradas de Picard 0(z) =x0, n+1(z) =x0+ zt0[A(t) n(t) +b(t)] funciones n(z) son anal ticas y, adem as, es f acil demostrar que convergenuniformemente sobre compactos deBR(t0) a una funci on que, por lo tanto,deber a ser tambi en anal tica. Se comprueba as mismo sin dificultad que estafunci on es la soluci on de [L].La aplicaci on de este resultado sobre sistemas lineales a la ecuaci ondiferencial lineal de ordennes inmediata. En efecto, seax(n(t) +a1(t)x(n 1(t) +..+an 1(t)x (t) +an(t)x(t) =b(t)1conai(t) yb(t) desarrollables en series de potencias. Entonces, utilizandoel m etodo est andar para transformar ECUACIONES DIFERENCIALES de ordennensistemas DIFERENCIALES se sigue que sus soluciones son desarrollables en serie depotencias en, al menos, el mismo intervalo queb(t) y lasai(t).))

3 En la pr actica, el m etodo a seguir para encontrar soluciones de ecua-ciones DIFERENCIALES por medio de series de potencias consiste en tomarx(t) = n=0antn, derivar formalmente t ermino a t ermino las veces necesarias, susti-tuir en la ecuaci on diferencial e igualar coeficientes. Las derivaciones t erminoa t ermino est an plenamente justificadas ya que hemos demostrado que existensoluciones expresables mediante series convergentes. Tales funciones son deriv-ables y su derivada coincide, dentro del radio de convergencia, con la derivadat ermino a t ermino de la serie. Adem as, el radio de convergencia se mantiene alderivar, luego se puede iterar el numerosos tipos de ECUACIONES cuya soluci on se aborda por elm etodo anteriormente citado. Una de las m as conocidas es la ecuaci on de Her-mitex 2tx +2px= 0, dondepes un par ametro real.

4 Una cuesti on de inter es esconocer c omo debe ser el par ametroppara que existan soluciones polin respuesta a esta pregunta es quepdebe ser un entero no negativo, quecoincide precisamente con el grado del polinomio. Estos polinomios son unicossalvo constante multiplicativa; as se denominapolinomio de HermiteaHn(t)soluci on dex 2tx + 2nx= 0 con coeficiente director polinomios de Hermite tienen multitud de interesantes propiedades,como pueden ser su expresi on a partir de una funci on generatriz o a partir de laf ormula de Rodrigues; as como su ortogonalidad enRcon respecto al pesoe as, est an ntimamente relacionados con diversos problemas de Mec anicaCu antica, como puede ser la ecuaci on de onda de Schr odinger para el osciladorarm onico simple. En este problema, el hecho de que las unicas soluciones de laecuaci on de Schr odinger que permanecen acotadas cuando el tiempo tiende ainfinito sean las funciones de Hermite (y por lo tanto el par ametroptiene queser un entero positivo) se traduce en la cuantificaci on de la energ PUNTOS SINGULARES REGULARESSeg un acabamos de demostrar, siP(t) yQ(t) son anal ticas, entonceslas soluciones de la ecuaci onx +P(t)x +Q(t)x= 0 son anal ticas.

5 Parecer a2razonable esperar que, cuandoP(t) yQ(t) tienen un polo en un punto, lassoluciones de la ecuaci on diferencial tambi en tengan un polo en ese es f acil convencernos de que esto no es cierto en general ya que unasoluci on de la ecuaci onx +1t2x 1t3x= 0 es la funci on te1/t, cuyo desarrollode Laurent en torno at= 0 tiene infinitos t erminos abordar estos problemas se consideran unicamentepuntos singu-lares regulares, que son los puntos en los que, a lo sumo,P(t) tiene un polo deorden uno yQ(t) de orden dos. Sin p erdida de generalidad, consideraremos queel punto que estamos tratando est0= resolver la ecuaci on diferencial se emplea elm etodo de Fr obeniusque consiste en ensayar soluciones del tipot n=0antn,a06= 0; derivaremosformalmente la serie, sustituiremos en la ecuaci on e igualaremos coeficientesdel mismo grado.

6 Como la ecuaci on diferencial que estamos intentando resolveres de segundo orden, nuestro deseo ser a encontrar dos soluciones linealmenteindependientes de la forma anterior. Si denotamosP(t) =t 1 n=0pntn, Q(t) =t 2 n=0qntn,al igualar los coeficientes de menor grado aparece la condici on ( 1) +p0 +q0= 0, que se denominaecuaci on importancia de esta ecuaci on radica en que determina los unicosvalores que puede tomar para que la serie que estamos ensayando pueda serrealmente una soluci on de la ecuaci on diferencial. La ecuaci on indicial es unaecuaci on polin omica de segundo grado que tendr a dos ra ces que denominamos 1y 2. Todo el desarrollo posterior va a depender de estas dos ra ces, y elhecho fundamental va a recaer en que su diferencia 1 2sea o no un denotamosf( ) = ( 1) +p0 +q0, al ensayar en la ecuaci ondiferencial la posible soluci ont n=0antne igualar coeficientes, adem as de laecuaci on indicial que con esta notaci on esf( ) = 0, obtenemos[F R] anf( +n) = n 1 k=0[pn k( +k) +qn k] claro ahora que sif( +n)6= 0 n >0 la relaci on anterior es una f ormulade recurrencia que nos permitir a determinar todos los coeficientesana partirdea06= 0 menos para una de las ra ces de la ecuaci on indicial, la relaci on [F R]proporciona un procedimiento para encontrar todos losana partir dea0; y si 1 2/ Zel m etodo funciona para las dos ra ces.

7 En caso contrario no segarantiza que este m etodo permita encontrar la soluci on asociada a la menorde las ra ces (si 2+n= 1, entonces ( 2+n) = 0 y no se puede despejaranen [F R]).De todas formas, la parte b asica de todo este proceso es la demostraci on,originalmente debida a Frob enius, de que el m etodo que hemos seguido conducerealmente a series convergentes cuya derivaci on t ermino a t ermino tiene as concretamente, lo que sucede es que sitP(t) yt2Q(t) son anal ticas en labola de radioR >0, entonces se demuestra que los coeficientesanque seobtienen a partir de [F R] (siempre que sea posible) proporcionan una serie con,al menos, el mismo radio de convergencia. Esto prueba que todo el procesoformal tiene sentido luego las series son realmente conocida ecuaci on que se resuelve mediante el m etodo de Frob eniuses la de Besselt2x +tx + (t2 p2)x= 0,dondepes un par ametro realno negativo.

8 Las ra ces de su ecuaci on indicial sonpy p. As , el m etodo deFrob enius permite construir f acilmente la soluci on para la mayor de las ra cesque, con la elecci on dea0adecuada, denotaremosJp(t) (y se denominafunci onde Besselde ordenp); y tambi en para la menor cuando 2p / Z, soluci on quedenotamosJ p(t). Si 2p Z, es decir cuando las dos ra ces de la ecuaci onindicial se diferencian en un entero, el m etodo de Frob enius para pno tienepor qu e funcionar. De hecho funciona cuandopes semientero pero no cuandopes a las funciones de Bessel tambi en se pueden encontrar diversosdesarrollos ortogonales. A este respecto, la relaci on de ortogonalidad m as masconocida es el hecho de que las funciones{Jp( nt)} n=1(donde{ n} n=1son losceros positivos deJp(t)) son ortogonales enL2((0,1), t dt).BIBLIOGRAF IA[1]G. Birkhoff y G.

9 C. Rota, Ordinary Differential Equations , 3aed.,4 Wiley and Sons, Nueva York, 1978.[2]A. Erd elyi y otros, Higher Transcendental Functions , McGraw-Hill,Nueva York, Vol. I, II, 1953; Vol. III, 1955.[3]H. Hochstadt, Differential Equations. A Modern Approach , Dover,Nueva York, 1975.[4]C. Mart nez y M. A. Sanz, Introducci on a las ECUACIONES DiferencialesOrdinarias , Revert e, Barcelona, 1991.[5]E. D. Rainville y P. E. Bedient, ECUACIONES DIFERENCIALES , 5aed., , M exico, 1977.[6]G. F. Simmons ECUACIONES DIFERENCIALES con Aplicaciones y NotasHist oricas , McGraw-Hill, Madrid, 1988.[7]J. Sotomayor, Li c oes de Equa c oes Diferenciais Ordin arias , ,Brasilia, 1979.[8]G. Szeg o, Orthogonal polynomials , 3aed., Amer. Math. Soc., Provi-dence, R. I.