SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE …

1 Ing. Jorge J. L. Ferrante Colaboradora: Lic. Sandra Barrutia soluci N DE. ECUACIONES DIFERENCIALES . MEDIANTE SERIES DE. POTENCIAS. n 1. a (r )[ p (r + k ) + q ]. k n k n k an (r ) = k = 0. F (r + n ). DEPARTAMENTO DE CIENCIAS B SICAS. UNIDAD DOCENTE B SICA MATEM TICA. FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO. UNIVERSIDAD TECNOL GICA NACIONAL. AVISO IMPORTANTE: edUTecNe, la Editorial de la Universidad Tecnol gica Nacional Rep blica Argentina, recuerda que las obras publicadas en su sitio web son de libre acceso para fines acad micos y como un medio de difundir la producci n cultural y el conocimiento generados por autores universitarios o auspiciados por las universidades, pero que estos y edUTecNe se reservan el derecho de autor a a todos los fines que correspondan. Ejemplar para uso personal exclusivamente.

2 Prohibida su venta o reproducci n total o parcial en cualquier medio de soporte sin permiso expreso de edUTecNe. soluci N DE. ECUACIONES DIFERENCIALES . MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS. Universidad Tecnol gica Nacional Rep blica Argentina Rector: Ing. H ctor C. Brotto Vicerrector: Ing. Pablo Andr s Rosso edUTecNe Editorial de la Universidad Tecnol gica Nacional Coordinador General: Ing. Ulises J. P. Cejas Director de Ediciones: Ing. Eduardo Cosso Coordinador del Comit Editorial: Dr. Jaime Moragues reas Pre-prensa y Producci n: T c. Bernardo H. Banega, Ing. Carlos Busqued, Nicol s Mauro rea Promoci n y Comercializaci n: Fernando H. Cejas, Dr. L zaro Brito Godoy Ejemplar para uso personal exclusivamente. Prohibida su reproducci n total o parcial en cualquier medio de soporte sin permiso expreso de edUTecNe.

3 soluci N DE. ECUACIONES DIFERENCIALES . MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS. Ing. Jorge J. L. Ferrante Colaboradora Lic. Sandra Barrutia DEPARTAMENTO DE CIENCIAS B SICAS. UNIDAD DOCENTE B SICA MATEM TICA. FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO. UNIVERSIDAD TECNOL GICA NACIONAL. edUTecNe Buenos Aires, 2014. soluci N DE ECUACIONES DIFERENCIALES . MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS. Ing. Jorge J. L. Ferrante Colaboradora Lic. Sandra Barrutia eduTecNe 2014. Editado en Argentina - Published in Argentina edUTecNe, 2014. Sarmiento 440, Piso 6. (C 1041 AAJ) Buenos Aires, Rep blica Argentina CONTENIDO. PR LOGO. CAPITULO PRIMERO. A modo de informal introducci n. CAPITULO SEGUNDO. ECUACIONES DIFERENCIALES Ordinarias de segundo orden. Puntos ordinarios. soluci n MEDIANTE serie de potencias. CAPITULO TERCERO. ECUACIONES DIFERENCIALES ordinarias en puntos singulares regulares.

4 CAPITULO CUARTO. Funciones especiales. BIBLIOGRAF A CONSULTADA. (p gina dejada intencionalmente en blanco). Pr logo PROLOGO. La Unidad Docente B sica Matem tica desarrolla, en forma permanente, un taller sobre ECUACIONES DIFERENCIALES . Tengo el privilegio de dirigirlo. Cabe preguntarse por qu el tema elegido es ECUACIONES DIFERENCIALES y tambi n cabe preguntarse por qu tiene car cter permanente. Las respuestas son f ciles. El tema ha sido elegido porque la gran mayor a de los modelos matem ticos que usa la ingenier a, en todas sus especialidades y cada vez m s otras profesiones, son ECUACIONES DIFERENCIALES , totales o en derivadas parciales. Estas ECUACIONES DIFERENCIALES , salvo simplificaciones efectuadas para adecuarlas a formas conocidas, carecen de soluci n exacta, en el sentido de obtener una expresi n expl cita que represente el comportamiento del sistema f sico en estudio MEDIANTE combinaciones de funciones conocidas.

5 El ejemplo m s trivial de lo expuesto es el sistema f sico p ndulo. Si se plantea su estudio MEDIANTE la aplicaci n can nica de leyes f sicas, su comportamiento queda modelado por una ecuaci n diferencial de segundo orden, no lineal. Si se formula la hip tesis accesoria de peque os desplazamientos alrededor de la posici n de equilibrio, el modelo resultante es una ecuaci n diferencial lineal de segundo orden de soluci n conocida. Queda entonces planteado el interrogante c mo se resuelven aquellas ECUACIONES DIFERENCIALES que modelan sistemas que no admiten simplificaciones como la expresada? Quiere esto decir que debemos renunciar al conocimiento del comportamiento del sistema cuando ocurre algo as ? De ninguna manera. Existe un m todo general para resolver anal ticamente las ECUACIONES DIFERENCIALES de segundo orden MEDIANTE desarrollos en series de potencias.

6 Por supuesto, la soluci n tambi n ser una serie de potencias y los resultados ser n tanto m s cercanos al verdadero valor cuantos m s t rminos sean considerados, una vez determinada la convergencia de la serie resultado. Este m todo para resolver ECUACIONES DIFERENCIALES es, tal vez, uno de los primeros utilizados para hacerlo. Seg n las constancias buscadas, correspondi a Isaac Newton hacerlo por primera vez. Profundizando un poco en esta t cnica pronto aparecen los casos patol gicos que, en esta materia, se llaman los puntos singulares regulares. Fue 7. soluci n de ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE series de potencias el alem n Ferdinand Georg Frobenius quien dio la forma de buscar soluciones en entornos de dichos puntos. Enhorabuena lo hizo porque una serie de problemas de la f sica matem tica llevan de manera inexorable a ECUACIONES DIFERENCIALES de segundo orden en puntos como los indicados.

7 Es m s, muchas de ellas han dado origen a nuevas funciones identificadas con el nombre de aquellos que por primera vez las utilizaron. Felizmente, ahora esas funciones se encuentran tabuladas y/o son recurso natural en los lenguajes algebraicos utilizados normalmente. Por todo lo expuesto, parece l gico brindar a los interesados un resumen completo de soluci n de ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE desarrollos en serie de potencias. Esta es la raz n de este trabajo. Adem s, el seminario es de car cter permanente porque acaso alguien puede creer que se han estudiado todos los problemas y que se conocen todos los m todos de soluci n para los mismos? Hacerlo ser a, sencillamente, negar la ciencia que ha sido muy bien caracterizada como una burbuja de di metro creciente, de tal forma que cuando aumenta su volumen los conocimientos sobre un determinado tema- aumenta tambi n la superficie de contacto con lo desconocido.

8 En esa l nea, este documento est formado por cuatro cap tulos. El primero es una copia de la Gu a de Estudio y Pr ctica (GEP) que la c tedra de An lisis Matem tico I de la Facultad Regional General Pacheco facilita a sus alumnos para estudio y pr ctica sobre sucesiones y series. En alg n sentido, constituye un auto plagio, seguramente no punible. Se lo incluye para que, quien no tenga actualizados y/o seguros sus conocimientos sobre el tema, pueda leerlo r pidamente y de la misma forma . r pida- recuperar operatividad para el mismo. El segundo cap tulo trata el tema de la soluci n de ECUACIONES DIFERENCIALES ordinarias de segundo orden MEDIANTE desarrollos en serie de potencias, en puntos no singulares. Abundan ejemplos. El tercer cap tulo trata el tema de la soluci n de ECUACIONES DIFERENCIALES ordinarias MEDIANTE desarrollos en serie de potencias en puntos singulares regulares.

9 Es, de lejos, el m s complejo de todos y, sobre el mismo cabe contar una an cdota que formaba parte de los mitos que circulaban en los pasillos de la Facultad de Ingenier a. Seg n el mismo, de lo cual no soy testigo, Don Julio Rey Pastor sol a decir, con su inefable tono este es uno de los temas m s oscuros que conozco . Si eso es cierto, imaginen, simplemente imaginen. 8. Pr logo El cuarto est formado por la aplicaci n del contenido de los anteriores a algunas de las ECUACIONES DIFERENCIALES con nombre propio. Hace ya bastante tiempo que escrib los primeros borradores de los cap tulos dos y tres, como material soporte para clases sobre el tema. Con estos en las manos, result f cil pensar que agregando al principio el cap tulo sobre sucesiones y series escrito para los alumnos de primer a o y, al final un cap tulo dedicado a algunas funciones especiales quedar a un trabajo aceptable para el seminario sobre soluci n de ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE desarrollos en serie de potencias.

10 En realidad creo que en esos momentos no ten a todav a muy claro las caracter sticas del terreno en el que me met a. El Cap tulo II es relativamente f cil aunque requiere mucha operatoria algebraica, soportable con una buena dosis de paciencia y, por supuesto, una computadora con alg n lenguaje algebraico instalado. No ocurre lo mismo con el Cap tulo III. Si el mito de Don Julio Rey Pastor no es cierto, merecer a serlo porque el trabajo que implica encontrar la segunda soluci n cuando las ra ces de la ecuaci n indicial son iguales o difieren en un entero no es recomendable para temperamentos ansiosos. Sobre todo si se quiere hallarlas seg n lo propuso Frobenius, por la v a del Wronskiano y siguiendo los pasos de la teor a. Sandra Barrutia, auxiliar docente y miembro permanente del Seminario tom la responsabilidad de revisar los originales y, dando un paso m s, logr.