Ecuaciones Diferenciales Parciales

1 Ecuaciones DiferencialesParcialesGabriel L pez GarzayFco. Hugo Mart nez OrtizUniversidad Aut noma MetropolitanaCampus IztapalapaEl templete de este libro es una modificaci n del templete que puede encontrarse en: cuyo autor original es Mathias Legrand Licencia: CC BY-NC-SA ( )El presente libro fue escrito estrictamente para prop sitos educativos, sin intereses de lucroni comerciales 2013 Gabriel L pezPrimera edici n del Preprint, 2013 IPr logoEs tal la influencia de las Ecuaciones Diferenciales Parciales que se puede afirmar que no hayrama de las ciencias que no las utilice. Una peque a muestra: las Ecuaciones de Maxwell,piedra angular de la teor a electromagn tica; las Ecuaciones de Navier-Stokes, fundamento dela hidrodin mica; la ecuaci n de Schr dinger, nada menos que el sustento de la revoluci ncu ntica en la f sica; adem s, y para hablar de algo de moda por las crisis econ micas, laecuaci n de Black-Scholes que es una ecuaci n diferencial parcial estoc stica en la cual sebasan los c lculos de los derivados financieros cuyo abuso puso de cabeza la econom a devarios pa ses y al borde del derrumbe a la econom a mundial al final de la primera d cada deeste siglo.

2 El xito de las Ecuaciones Diferenciales Parciales radica en su capacidad demodelaruna enorme diversidad de fen menos f sicos, biol gicos, qu micos, de la ingenier a, de laeconom a, etc tera. Por si fuera poco, las Ecuaciones Diferenciales Parciales tienen aplicaci nen diversas ramas de la Matem tica Te rica como en la Geometr a Diferencial y por que nodecirlo, fueron fundamentales para la demostraci n de unProblema del milenio, la conjeturade Poincar . M s a n, las Ecuaciones Diferenciales Parciales no s lo son importantes por susaplicaciones, sino que tienen importancia en s mismas y son objeto de extensa investigaci ncient fica hoy por hoy. En este libro trataremos las Ecuaciones que modelan el problema decalor, de onda y de Laplace, problemas cl sicos de Ecuaciones Diferenciales Cap tulo 1, trata de una clasificaci n elemental de las Ecuaciones Diferenciales Cap tulo 2 trata de las Ecuaciones de primer orden.

3 Consideramos recomendable comenzarcon las Ecuaciones m s simples de resolver, adem s de que no hay mejor introducci n alestudio de las curvas caracter sticas, las cuales aparecen naturalmente en la soluci n de laecuaci n de onda, por ejemplo. En el Cap tulo 3, se estudian los modelos cl sicos de laecuaci n de calor, de onda y de Laplace, sin embargo los interesados s lo en los m todos desoluci n pueden pasar directamente a ellos sin necesidad de leer los cap tulos soluci n y los m todos de soluci n de las Ecuaciones lineales ocupar n la mayor partede este libro, se estudian ampliamente el m todo de separaci n de variables, el m todo desoluci n por series y transformadas de Fourier y transformadas de Laplace (cap tulos 6 y 9respectivamente). El cap tulo 8 est dedicado a la soluci n num rica de las Ecuaciones linealesy se da un ejemplo de soluci n de una ecuaci n no lineal, la ecuaci n de Burgers.

4 En el ltimocap tulo se da una introducci n a las funciones de Green. En la secci n de este ltimocap tulo se da una introducci n a la teor a moderna de Ecuaciones Diferenciales parcialesdefiniendo el concepto de distribuci n y dando el adecuado marco te rico para la delta deDirac y las funciones de Green en su forma ya hemos mencionado, los cap tulos de este libro pueden leerse de forma indepen-diente por lo que se facilita que sea usado como libro de texto. Por ejemplo puede leerseIIel cap tulo 6 sobre el m todo de separaci n de variables sin haber le do el cap tulo de lasecuaciones de calor, de Laplace y de onda. El libro cumple completamente el programa devarias universidades, entre ellas el de la UAMI, pero contiene adem s algunos temas comple-mentarios, por ejemplo el cap tulo dedicado al problema de Sturm-Liouville, o bien como yase dijo, el cap tulo de Ecuaciones de primer orden.

5 Creemos que dar la posibilidad de tenerun panorama m s completo de las Ecuaciones Diferenciales de ninguna manera puede ir endetrimento del mayor dificultad para lograr un buen desempe o en este tipo de cursos es la cantidadde conocimientosprevios requeridos: c lculo de varias variables, Ecuaciones diferencialesordinarias, lgebra lineal. Sin estos conocimientos es imposible tener un m nimo avance en elestudio de Ecuaciones Diferenciales Parciales . Al final del libro se incluyen ap ndices con unrepaso en algunos temas esenciales de Ecuaciones Diferenciales ordinarias y del C libro no hubiera sido escrito sin la colaboraci n y conocimientos de Francisco HugoMart nez Ortiz a quien agradezco profundamente su buen nimo y L pez Garza. Qu es una edp?Clasificaci n de las ecuaci n linealesForma can nica de las ecuacioneslinealesForma can nica de las ecuacioneshiperb licasForma can nica de las ecuacionesparab licasForma can nica de las ecuacionesel pticasResumen de las formas can nicasedp con m s de dos variablesProblemas y ejercicios del Cap tulo 11 Introducci Qu es una edp?

6 Una ecuaci n diferencial en derivadas Parciales (edp), puede describirse como una relaci ndonde aparece una funci n inc gnitaujunto con al menos una derivada parcial. Dado que enuna edpdeben aparecer derivadas parcialesse sobreentiende queudepende de al menos dosvariables independientes. En general, una edp es una relaci n de la formaG(x1,x2,..,xn,u,ux1,..,uxn,.., ) =0,( )dondem1+ +mk< ,es decir, en la relaci n aparecen un n mero finito de deriva-das Parciales con respecto a cualquiera de las variablesx1,..,xnde una funci n inc gnitau=u(x1,x2,..,xn).En este libro utilizaremost,x,y,z, , ,x1,x2,..,xnpara denotar lasvariables independientes, la variabletestar asociada con el tiempo, mientras que las variables,x,y,z, , o bienx1,x2,..,xnestar n asociadas con dimensiones espaciales. Las derivadasparciales deuse denotan en general comouxmi= mu este libro usaremos indistintamentelas notacionesuxx= 2u x2yu = 2u.

7 Por supuesto, eln mero de variablesde una ecuaci n diferencial parcial ( ), se definecomo el n mero de variables de la funci n inc gnitau. Ejemplo continuaci n se presentan una serie de Ecuaciones importantes:i) La ecuaci n de calor:ut uxx= ) La ecuaci n de la barra:ut+uxxx= )La ecuaci n de las funcionesp arm nicas:div( u p 2 u) =0,donde1<p< , u= (ux,uy,uz)y u = u2x+u2y+ ) La ecuaci n de Burgers:ut+uux= nv)La ecuaci n del medio poroso:ut (u ) =0,donde v=vxx+vyy+vzzy es Ecuaciones anteriores, sobra decirlo, tienen un sinn mero de aplicaciones, algunas de lascuales estudiaremos en cap tulos posteriores. NEn este libronoescribiremos expl citamente las variables independientes y se denotar au(t,x1,..,xn)simplemente considerar adem s, quelas variables de lasque dependeuson solamente aquellas que aparecen en las derivadas de la ecuaci n, porejemplo, de la ecuaci n u t= 2u x2se deduce queus lo depende dety dex, es decir,u=u(t,x).

8 Ejercicio que las ecuacionesut+uxx=0yut+uxxx=0,son de dosvariables independientes; que la ecuaci ndiv( u p 2 u) =0,donde u= (ux,uy,uz),tiene tres variables; y que la ecuaci nut (u ) =0,donde v=vxx+vyy+vzz,es decuatro variables. Definici n orden de una ecuaci n diferencial parcial, es el orden de la mayorderivada que aparece en la ecuaci n. Ejemplo ecuaci nut+uxxx=0,es de tercer orden; la ecuaci nut+uux=0,es deprimer orden; la ecuaci nut+uxx=0,es de segundo orden. Se recuerda del curso de Ecuaciones Diferenciales ordinarias, que dada una ecuaci ndiferencial se le puede asociar un operadorL,el cual est definido sobre un espacio defunciones, por ejemplo, con la ecuaci n:d2u(t)dt2+3du(t)dt 5u(t) =t2+1se asocia el operadorL[u] =d2u(t)dt2+3du(t)dt 5u(t),el cual est definido sobre el espacio de funciones que tienen segunda ecuaci n diferencial ordinaria se dice lineal si el operadorLcorrespondiente es lineal,es decir, si se cumpleL[ u+v] = L[u]+L[v]para toda Ry cualesquiera funcionesu,ven el manera similar a comose hace en una variable, se puede definir un operador asociado a las Ecuaciones en derivadasparciales y se pueden distinguir los operadores lineales de los no que un operador sea lineal se requiere que su dominio sea un espacio Clasificaci n de las ecuaci n lineales3 Ejemplo la ecuaci n, u t 2u x2=cosx,se asocia el operadorL[u] = u t 2u x2.

9 Ejemplo la ecuaci n de Laplace, 2u x2+ 2u y2+ 2u z2=0,se asocia el operadorL[u] = 2u x2+ 2u y2+ 2u z2. Ejemplo ecuaci n de Burgersut+uux=0tiene asociado el operadorno linealL[u] =ut+uux. Es decir, en forma an loga a las Ecuaciones Diferenciales ordinarias, las Ecuaciones enderivadas Parciales , se dicenlineales, si el operador asociado es que las Ecuaciones u t 2u x2=cosx,y 2u x2+ 2u y2+ 2u z2=0,son lineales y que la ecuaci nut+uux=0,(como ya se mencion ) no es lineal. Clasificaci n de las Ecuaciones lineales de segundo orden endos variables con coeficientes constantesEn general, las Ecuaciones lineales de segundo orden en dos variables tienen la forma:Auxx+Buxy+Cuyy+Dux+Euy+F u+G=0( )donde los coeficientesA,B,C,D,E,F,Gson funciones reales definidas en una regi n R2yA2+B2+C2>0(claramente, la condici n anterior garantiza que al menos uno de loscoeficientesA,B,Csea distinto de cero).

10 Si los coeficientes son constantes reales, con laposible excepci n deG, a la ecuaci n ( ) se le llama ecuaci n en derivadas Parciales , lineal,de segundo orden con coeficientes constantes. En esta secci n nos restringiremos a este necesario hacer notar el parecido de la ecuaci n ( ) con la ecuaci n general de lasc nicas en el espacioR2:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,( )conA,B,C,D,E,F R,yA2+B2+C2> es sabido, (ver por ejemplo [22]) medianteun cambio de coordenadas apropiado el discriminanteB2 4 ACpermanece invariante respectoal signo y la ecuaci n ( ) puede simplificarse, es decir, se tiene una propiedad intr nseca dela ecuaci n, la cual permite una clasificaci n de las c nicas de acuerdo al signo deB2 la ecuaci n ( ) ocurre algo similar a la ecuaci n ( ) lo que permitir clasificar lasecuaciones en derivadas Parciales , lineales, de segundo orden en dos variables.