SOLUCI N DE INECUACIONES DE UNA VARIABLEx

1 SOLUCI N DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE. Resolver una inecuaci n es hallar el conjunto de soluciones de las inc gnitas que satisfacen la inecuaci n. Terminolog a: ax + b > cx + d Primer miembro Segundo miembro Resolver cada una de las siguientes INECUACIONES o desigualdades, expresando cada conjunto de soluciones en notaci n por desigualdad, intervalo y gr fico: 1. Resolviendo una inecuaci n lineal > + . SOLUCI n. Operando el segundo miembro: 6 > 12. Dividiendo entre 6 a ambos lados para despejar x: 6 12. >.. Simplificando resulta que ( SOLUCI n por desigualdad): >2. Por consiguiente el conjunto SOLUCI n para x son todos los valores mayores que 2. SOLUCI n por intervalo: (2, ). Gr ficamente: (. 0 2. 2. Resolviendo una inecuaci n lineal < +5. SOLUCI n: Pasando x al primer miembro y 3 al segundo: 2 <5+3.)

2 Operando t rmino a t rmino resulta que ( SOLUCI n por desigualdad): <8. Por consiguiente el conjunto SOLUCI n para x son todos los valores menores que 8. SOLUCI n por intervalo: ( , 8). Gr ficamente: ). 0 8.. 3. Resolviendo una inecuaci n lineal con fracciones .. SOLUCI n: Multiplicando cada miembro por 2 y simplificando: 3x 1 (x 4). 2. 2 3x 2x 8. Pasando 2x al primer miembro y el 2 al segundo: 3x 2x 8 2. Operando t rmino a t rmino: 5x 10. Dividiendo entre -5 a ambos lados e invirtiendo el sentido de la desigualdad: 5x 10.. Simplificando resulta que ( SOLUCI n por desigualdad): x 2. Por consiguiente el conjunto SOLUCI n para x son todos los valores menores o iguales que 2. SOLUCI n por intervalo: ( , 2]. Gr ficamente: ]. 0 2. 4. Resolviendo una inecuaci n con nociones algebraicas ( + )( ) < ( ) +.

3 SOLUCI n. Aplicando la propiedad distributiva en el primer miembro y resolviendo el producto notable en el segundo: x ! + 2x 3 < x ! 2x + 1 + 3x ! Suprimiendo en ambos miembros y transponiendo t rminos semejantes: 2 +2 3 <1+3. <4. Por consiguiente el conjunto SOLUCI n para x son todos los valores menores que 4. SOLUCI n por intervalo: ( , 4). Gr ficamente: ). 0 4. 5. Resolviendo una inecuaci n lineal con fracciones algebraicas " . >. " . SOLUCI n. Multiplicando en cruz el primer miembro: (x + 3)(x + 2) 12 x >. 3(x + 2) 3. Multiplicando por 3 a ambos lados y simplificando: (x + 3)(x + 2) 12 x # $ > % &. (x + 2) 3. (x + 3)(x + 2) 12. >. (x + 2). Pasando x al primer miembro y multiplicando en cruz en el mismo: (x + 3)(x + 2) 12. x>0. (x + 2). (x + 3)(x + 2) 12 x(x + 2).

4 >0. (x + 2). Efectuando operaciones algebraicas en el numerador y simplificando: x ! + 2x + 3x + 6 12 x ! 2x >0. (x + 2). 3x 6. >0. (x + 2). 3(x 2) 1. >0, ahora multiplicando por a ambos lados, quedando 8inalmentes: (x + 2) 3. (x 2). >0. (x + 2). Observaci n: a diferencia de los ejemplos anteriores no se puede multiplicar a ambos lados (x + 2) puesto que se estar a eliminando una SOLUCI n. As que el paso a seguir es sacar los valores cr ticos (valores que anulan el numerador y denominador) los cuales se obtienen igualando a cero tanto al numerador como al denominador por separado, de la siguiente manera: 2 = 0 ;<=> <?;@ =2. x + 2 = 0 ;<=> <?;@ = 2. Los valores cr ticos son: x = 2 y x = -2. ( stos se ubican en la recta num rica). Aplicando el m todo del cementerio podemos obtener la SOLUCI n del mismo: ++++++++.

5 ( 2). 0 2. ++++ ++++++++. ( + 2). (+) -2. ( ) 0. (+). AB! ) [. A"! 0. -2 2. Ahora como la inecuaci n es mayor que cero, entonces el conjunto de soluciones consiste de todos los n meros reales en el intervalo ( , 2) . [2, ). N tese que el valor de -2 en la SOLUCI n no se incluye puesto que ste hace cero al denominador. ! ! F. 6. Resolviendo una inecuaci n con fracciones algebraicas > +. AE "A AE BA AE BG. SOLUCI n Factorizando cada una de las expresiones del denominador: 2 2 3. > +. x(x + 1) x(x 1) (x 1)(x + 1). Sacando el (m nimo com n m ltiplo) al segundo miembro: x(x 1)(x + 1). 2 2(x + 1) + 3x >. x(x + 1) x(x 1)(x + 1). Pasando el segundo miembro al primero y realizando los c lculos y simplificaciones respectivas: 2 2(x + 1) + 3x >0. x(x + 1) x(x 1)(x + 1). 2(x 1) 2(x + 1) 3x > 0 , recuerda el cambio de signo x(x 1)(x + 1).]]

6 2x 2 2x 2 3x >0. x(x 1)(x + 1). 4 3x > 0, factorizando el signo negativo en el numerador x(x 1)(x + 1). (4 + 3x). > 0 , cambiando el sentido de la desigualdad, queda 8inalmente: x(x 1)(x + 1). 3x + 4. < 0 ( ). x(x 1)(x + 1). Es importante tener en cuenta que para aplicar el m todo del cementerio, hay que encontrar los valores cr ticos tanto del numerador como del denominador, los cuales son: 4. 3 + 4 = 0 ;<=> <?;@ = . 3. =0. 1 = 0 ;<=> <?;@ =1. + 1 = 0 ;<=> <?;@ = 1. Aplicando el m todo del cementerio podemos obtener la SOLUCI n del mismo: + + + +++++++. (3 + 4). -4/3 0. + +++++++. 0. +++++++. ( 1). 0 1. + + +++++++. ( + 1). -1. 0. (+) ( ) (+) ( ) (+). FA"M. [ ) ( ). A(ABG)(A"G). 0. -4/3 -1 1. Ahora como lo que interesa son los valores menores que 0 debido a ( ), el conjunto de soluciones consiste de todos los n meros reales en el intervalo M.]

7 N , 1& (0,1). N tese que los valores de -1, 0 y 1 en la SOLUCI n no se F. incluyen puesto que stos hacen cero al denominador. BO. 7. Resolviendo una inecuaci n racional . B . SOLUCI n. Nota aclaratoria: aun cuando ste ejercicio parezca mucho m s sencillo que los dos anteriores, ste tiene un caso particular: Pasando el 3 al primer miembro: 2x 7. 3 0. x 5. Sumando fracciones y simplificando t rminos semejantes: 2x 7 3(x 5). 0. x 5. 2x 7 3x + 15. 0. x 5. x + 8. 0. x 5. 8 x 0 ( ). x 5. As como en los dos ejercicios anteriores, el paso a seguir es sacar los valores cr ticos: 8 = 0 ;<=> <?;@ =8. x 5 = 0 ;<=> <?;@ =5. Aplicando el m todo del cementerio podemos obtener la SOLUCI n del mismo: Observe el cambio de ++++++++++++++++ +++ - - - posici n de los signos (8 ). 0 5 8. - +++ +++.

8 ( 5). ( ) 0. (+) ( ). QBA. ) [. ABR. 0. 5 8. Ahora como lo que interesa son los valores menores que 0 debido a ( ), el conjunto de soluciones consiste de todos los n meros reales en el intervalo ( , 5) [8, ). N tese que el valor de 5 en la SOLUCI n no se incluye puesto que ste hace cero al denominador. 8. Resolviendo una doble desigualdad S < 3. SOLUCI n. Agregando +1 a cada parte de la desigualdad y simplificando: 3 + 6x 1 + < 3 + . 2 6x < 4. Dividiendo cada parte por 6 y simplificando: 2 6x 4. <.. 1 2. x<. 3 3. Por consiguiente el conjunto de soluciones son todos los n meros reales BG ! que son mayores o iguales a y menores que . F F. G ! SOLUCI n por intervalo: N , &. F F. Gr ficamente: [ ). -1/3 0 2/3. 9. Resolviendo una doble desigualdad S . SOLUCI n. Agregando -2 a cada parte de la desigualdad y simplificando: 1 2 3x 11.]]]

9 3 3x < 9. Dividiendo cada parte por 3, invirtiendo el sentido de la desigualdad y simplificando: 3 3x 9.. 3 x 1. Por consiguiente el conjunto de soluciones son todos los n meros reales que son mayores o iguales a 3 y menores o iguales a 1. SOLUCI n por intervalo: [ 3, 1). Gr ficamente: [ ]. -3 0 1. 10. Resolviendo una doble desigualdad con fracciones ! ! x 2<2 3<6+ x F F. SOLUCI n. 2. Agregando +3 y x a cada parte de la desigualdad y simplificando: 3. 2 2 . x 2+ <2 3+ <6+ x+ . 3 3 . 2. 1<2 <9. 3. F. Operando el centro de la desigualdad, multiplicando por a cada parte de la M. desigualdad y simplificando: 4. 1< x<9. 3. 4 . 1< x< 9. 3 . 3 27. < <. 4 4. Por consiguiente el conjunto de soluciones son todos los n meros reales F !V. que son mayores a y menores a . M M. F !]

10 V. SOLUCI n por intervalo: % , &. M M. Gr ficamente: ( ). 0 3/4 27/4. 11. Resolviendo una inecuaci n con valor absoluto | 5| < 2. SOLUCI n. Recordar que: |x| < X equivale a decir a < < X. Reescribiendo la desigualdad aplicando la equivalencia anterior: 2 < 5< 2. Agregando +5 a cada parte de la desigualdad y simplificando: 2 + < 5+ <2+ . 3< <7. Por consiguiente el conjunto de soluciones son todos los n meros reales que son mayores a 3 y menores a 7. SOLUCI n por intervalo: (3, 7). Gr ficamente: ( ). 0 3 7. 12. Resolviendo una inecuaci n con valor absoluto | + 3| 7. SOLUCI n. Recordar que: | | > X equivale a decir < X > >X. Reescribiendo la desigualdad aplicando la equivalencia anterior: + 3 7 > +3 7. Agregando 3 a cada lado de las dos desigualdades y simplificando: + 3 7 > +3 7.