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1 SOMMARIO CAPITOLO 13: I RADICALI I radicali pag. 3 I radicali aritmetici pag. 5 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag. 11 Potenza di un radicale aritmetico pag. 12 Trasporto di un fattore esterno sotto il segno di radice in R+ {0} pag. 13 Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice in R+ {0} pag. 14 Radice di un radicale aritmetico pag. 17 Radicali simili pag. 18 Razionalizzazione del denominatore di una frazione pag. 20 Radicali doppi pag. 28 Radicali in R pag. 33 Potenze ad esponente razionale pag. 35 ESERCIZI pag. 42 CAPITOLO 14: EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Equazioni di secondo grado e loro classificazione pag.

2 79 Risoluzione di un equazione di secondo grado pag. 81 Relazione tra i coefficienti di una equazione di secondo grado e le sue soluzioni pag. 92 Equazioni parametriche di secondo grado pag. 98 Equazioni e problemi pag. 101 Equazioni di grado superiore al secondo pag. 103 Equazioni binomie pag. 105 Equazioni trinomie pag. 108 Equazioni risolubili con particolari sostituzioni pag. 112 Equazioni reciproche pag. 114 Equazioni riconducibili ad equazioni di primo e secondo grado mediante la scomposizione in fattori pag. 122 ESERCIZI pag. 126 CAPITOLO 15: LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO La funzione y = ax2 pag. 164 La funzione y = ax2 + bx + c pag.

3 171 Equazioni di secondo grado in una variabile e parabola pag. 183 Disequazioni di secondo grado in una variabile e parabola pag. 185 ESERCIZI pag. 198 CAPITOLO 16: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA Introduzione pag. 213 Elementi di base pag. 215 Rappresentazioni grafiche pag. 218 Indici di posizione pag. 220 Indici di variabilit pag. 224 ESERCIZI pag. 227 3 CAPITOLO 13 RADICALI I radicali Sicuramente, hai gi affrontato problemi del tipo: a) La superficie di un quadrato misura 15 m2; qual la misura del suo lato? b) Il volume di un cubo misura 30 cm3; qual la misura dello spigolo del cubo? c) Qual quel numero che elevato alla terza d 27?

4 Formalizziamoli con i simboli della matematica: a) indicata con x la misura del lato del quadrato, si ottiene: 215x=; b) indicata con l la misura dello spigolo del cubo, si ottiene: 330l=; c) indicato con n il numero da determinare, si ottiene: 327n= Le equazioni alle lettere a) e b) non hanno soluzione nell insieme dei numeri razionali, (la loro soluzione , infatti, un numero irrazionale); invece, l equazione alla lettera c) ha per soluzione un numero razionale. La soluzione dell equazione del problema a) quel numero irrazionale il cui quadrato 15; con i simboli che hai gi conosciuto negli studi precedenti, si ha: 21515xx= = . Come sai, il numero 15 si legge radice quadrata di 15 . Poich 15 soluzione dell equazione, si ha ()21515=.

5 La soluzione dell equazione del problema b) quel numero irrazionale che elevato alla terza d 30; si ha, quindi: 333030ll= =. Poich 330 soluzione dell equazione, si ha ()333030= Come sai, il numero 330 si legge radice cubica (o di indice 3) di 30 . La soluzione dell equazione del problema c) il numero razionale .. (completa), perch () . I numeri 15, 330 che abbiamo appena scritto si chiamano radicali. Ancora qualche esempio: Qual quel numero che elevato alla quinta d 64? 4 Formalizziamo la proposizione e risolviamo l equazione ottenuta: 556464tt= = (il simbolo 564 si legge radice di indice 5 di 64) Poich 564 soluzione dell equazione, si ha ()556464=. Osserviamo che 564 un numero positivo dal momento che una potenza con esponente dispari ha lo stesso segno della base della potenza stessa.

6 Qual quel numero che elevato alla terza d 18? Formalizziamo la proposizione e risolviamo l equazione ottenuta: 331818hh= = (il simbolo 318 si legge radice cubica, o di indice 3, di 18) Poich 318 soluzione dell equazione, si ha ()331818 = . Osserviamo che 318 un numero negativo dal momento che una potenza con esponente dispari ha lo stesso segno della base della potenza stessa. Anche i numeri 564 e 318 sono dei radicali. Qual quel numero che elevato alla quarta d 32? Formalizziamo la proposizione e risolviamo l equazione ottenuta: 432Sh= = Non esiste, infatti, alcun numero che elevato alla quarta, e in generale ad un esponente pari, dia per risultato un numero negativo.

7 Introduciamo un po di terminologia per i simboli usati per indicare i radicali: il simbolo chiamato simbolo di radice; il numero, scritto con carattere pi piccolo, posto sopra il simbolo di radice si chiama indice di radice; il numero scritto dentro il simbolo di radice si chiama radicando. Da una prima analisi degli esempi precedenti, possiamo dire che un radicale un numero che elevato all indice di radice d il radicando; evidente, per , che necessario distinguere due casi: il radicando un numero non negativo; il radicando un numero negativo. radicando Simbolo di radice indice di radice 33 5 Possiamo, allora, dare la seguente definizione: Siano aR e 0nN , si chiama radice n sima (o di indice n) di a quel numero bR tale che nba====.

8 In simboli: nba====. In particolare: Se a 0, anche la radice n sima di a un numero b 0. In simboli: 0aR++++ 0naR++++ . Se a < 0, dobbiamo distinguere due casi: o se n dispari, anche la radice n sima di a un numero b < 0, o se n pari, la radice n sima di a non esiste. In simboli: se se dispariparinnaRnaRan Dalla definizione segue che ()nnaa= (ovviamente quando esiste) e, quindi, possiamo affermare che la radice n sima di un numero l operazione inversa dell elevamento a potenza. Come si pu notare dal problema c), talvolta un radicale un numero razionale; ad esempio: 71282= perch 72128=; 52433 = perch ()53243 = ; 9342= perch ()23924=.

9 Casi particolari Se a = 0, 00n=. Se n = 1, il simbolo di radice non si scrive: 1aa=. Se n = 2, si omette l indice di radice: 2aa=. I radicali aritmetici Si chiama radicale aritmetico un radicale nel quale il radicando un numero non negativo. Un radicale aritmetico, quindi, un numero non negativo qualunque sia l indice della radice. na radicale aritmetico {}0aR++++ Se il radicando un espressione letterale, necessario, allora, determinarne il dominio , cio l insieme al quale devono appartenere le variabili contenute nel radicando affinch esso sia non negativo. 6 Esempio Affinch 32m+ sia un radicale aritmetico, il suo radicando deve essere non negativo; necessario determinarne il dominio ponendo il radicando maggiore o uguale a zero.

10 Si ottiene: [[2 02D2,mm+ = + PROVA TU Determina il dominio dei seguenti radicali aritmetici: 1) 521a ; 623m t 2) 21h+; 92425z Propriet invariantiva Prima di parlare di questa importantissima propriet dei radicali, diamo la seguente definizione: Due radicali aritmetici si dicono equivalenti se rappresentano lo stesso numero. Osserva attentamente le seguenti uguaglianze e, in particolare, rifletti sugli indici delle radici e sugli esponenti dei radicandi: 66266422;422== == (per la propriet transitiva) 66222=. 662 e 22 sono due radicali equivalenti. 24442555;62555== == (per la propriet transitiva) 24455=. 25 e 445 sono due radicali equivalenti. Nella prima uguaglianza, indice di radice ed esponente del radicando di 22si possono ottenere dall indice di radice e dall esponente del radicando di 662, rispettivamente, dividendo entrambi per.]]