TEMA 1. ANÁLISIS VECTORIAL

1 TEMA 1. AN LISIS. VECTORIAL . 1. Sistemas Coordenados 2. Operador Nabla 3. Teoremas 4. Funci n Delta de Dirac 5. Ecuaciones de Maxwell Objetivo del tema Presentar las herramientas anal ticas b sicas para resolver problemas de campos el ctricos y magn ticos est ticos an lisis integral y VECTORIAL de funciones escalares y vectoriales en 3. Enunciar las ecuaciones de Maxwell 1. Sistemas coordenados Permiten localizar cualquier punto del espacio Importantes porque facilitan la resoluci n de problemas: seg n la simetr a del problema se debe seleccionar el sistema coordenado m s adecuado para facilitar (i) la resoluci n y (ii) la interpretaci n de la soluci n En un sistema coordenado ortogonal, cualquier punto es la intersecci n de tres superficies perpendiculares entre s distintos sistemas coordenados seg n la definici n de las superficies: cartesiano (rectangular), cil ndrico y esf rico.

2 Sistema Rectangular o Cartesiano Coordenadas Intersecci n x y = z planos x, y y z Coordenadas: x, y , z Vectores unitarios: x , y , z . r Vector de posici n: r = xx + yy + zz . Sistema Rectangular o Cartesiano Diferenciales Elementos diferenciales de l nea: dLx = dx dLy = dy dLz = dz r dL = dxx + dyy + dzz . Elementos diferenciales de superficie: dS x = dLy dL z = dydz dS y = dLx dL z = dxdz Elemento diferencial de volumen: dS z = dLx dL y = dxdy dV = dLx dLy dL z = dxdydz Tanto los diferenciales de l nea como los de superficie pueden ser escalares o vectoriales (a adiendo un vector unitario de forma adecuada). El de volumen siempre es escalar. Sistema Cil ndrico Coordenadas = z Intersecci n de cilindro de radio , semiplano que contiene el eje z y forma un ngulo con el eje x, y plano z Coordenadas: , , z Vectores unitarios: , , z.

3 R Vector de posici n: r = + zz . Sistema Cil ndrico Diferenciales Elementos diferenciales de l nea: dL = d . dL = d . dLz = dz r dL = dL + dL + dLz z =. = d + d + dzz . Elementos diferenciales de superficie: dS = dL dL z = d dz Elemento diferencial de volumen: dS = dL dL z = d dz dS z = dL dL = d d dV = dL dL dL z = d d dz Sistema Esf rico Coordenadas = Intersecci n de esfera de radio r, semiplano que contiene el eje z y forma un ngulo con el eje x, y superficie c nica con v rtice en el origen y con ngulo . con el eje z Coordenadas: r, , . Vectores unitarios: r , , . Vector de posici n: rr = rr . Sistema Esf rico Diferenciales Elementos diferenciales de l nea: dLr = dr dL = rd . dL = rsen d . r dL = dLr r + dL + dL =. = drr + rd + rsen d.

4 Elementos diferenciales de superficie: dS r = dL dL = r 2 sen d d . dS = dLr dL = rsen drd Elemento diferencial de volumen: dS = dLr dL = rdrd dV = dLr dL dL = r 2 sen drd d . Transformaci n de Coordenadas Rectangulares-Cil ndricas Coordenadas = (x + y ). 1. x = cos 2 2 2. y y = sen = arctan [0, ].. si y 0. x ( ,2 ) si y < 0. z=z z=z Vectores unitarios x = cos sen = cos x + sen y . y = sen + cos = sen x + cos y . z = z z = z . Transformaci n de Coordenadas Rectangulares-Esf ricas Coordenadas r = (x + y + z ). 1. x = rsen cos 2 2 2 2. y = rsen sen = arctan (x 2. +y 2. ). 1. 2. z y z = r cos = arctan [0, ] si y 0. x . ( ,2 ) si y < 0. Vectores unitarios x = sen cos r + cos cos sen r = sen cos x + sen sen y + cos z . y = sen sen r + cos sen + cos = cos cos x + cos sen y sen z.

5 Z = cos r sen = sen x + cos y . Transformaci n de Coordenadas Cil ndricas-Esf ricas Coordenadas r = ( + z ). 1. = rsen 2 2 2.. = = arctan z z = r cos = . Vectores unitarios = sen r + cos r = sen + cos z . = = cos sen z . z = cos r sen = . 2. El operador Nabla Es un operador VECTORIAL y diferencial Expresi n en cartesianas: . = x + y + z . x y z Reglas de aplicaci n del operador nabla: o (c1 A + c2 B ) = c1 o A + c2 o B.. o ( A B ) = o ( A B )+ o ( A B ). indica la funci n a la que hay que aplicar la derivaci n, manteniendo las dem s constantes 2. El operador Nabla 1. ( f + g ) = f + g ( ). r r r r 2. A+ B = A+ B. 3. ( r r ). A+ B = A+ B. r r 4. ( fg ) = g f + f g Propiedades 5. (Ar Br ) = (Br )Ar + Br ( Ar )+ (Ar )Br + Ar ( Br ).

6 ( ). r r r 6. fA = A f + f A. ( ). r r r r r r 7. A B = B A A B. 8. ( )r r r fA = A f + f A. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). r r r r r r r r r r 9. A B = B A B A + A B A B. Aplicaciones del operador Nabla (derivadas de primer orden). 1. Gradiente: f r 2. Divergencia: A. r 3. Rotacional: A. Gradiente f -Siempre se aplica sobre una funci n escalar f -El resultado es una magnitud VECTORIAL -Indica la rapidez de variaci n de un campo escalar en diferentes direcciones del espacio -El vector resultante apunta en la direcci n de m xima variaci n positiva del campo escalar, siendo normal a las superficies equiescalares de f Ejemplo: gradiente del campo escalar oscuridad . r Divergencia A. r -Siempre se aplica sobre una funci n VECTORIAL A. -El resultado es una magnitud escalar -Indica la tendencia que presenta un campo VECTORIAL en un punto determinado a dirigirse hacia el punto (divergencia negativa) o a alejarse de l (divergencia positiva).

7 Es decir, mide la tendencia de dicho campo VECTORIAL a originarse en o a converger hacia dicho punto. r Rotacional A. r -Siempre se aplica sobre una funci n VECTORIAL A. -El resultado es una magnitud VECTORIAL -Indica la tendencia que presenta un campo VECTORIAL en un punto determinado a girar alrededor de ese punto. Aplicaciones del operador Nabla (derivadas de segundo orden). 1. Laplaciano de Funci n Escalar: ( f ) = ( ) f = 2 f 2. ( f ) = ( ) f = 0. ( ). r 3. A. 4. ( r ) r A = ( ) A = 0. 5. r ( r ) ( ) r r A = A ( ) A = A A. 2. r r r r Laplaciano de Funci n VECTORIAL : A = A A. 2. Operadores Diferenciales en Rectangulares . o A = x + y + z o A. x y z . f f f Gradiente f = x + y + z . x y z r Ax Ay Az Divergencia A = + +. x y z r Az Ay Ax Az Ay Ax.

8 Rotacional A = x + y + z . y z z x x y . 2 f 2 f 2 f Laplaciano f = 2 + 2 + 2. 2. x y z Operadores Diferenciales en Cil ndricas f 1 f f Gradiente f = + + z . z r 1 1 A Az Divergencia A = ( ). A + +. z 1 Az A A Az A . ( A ) . r 1. Rotacional A = + + z . z z . 1 f 1 2 f 2 f Laplaciano f =. 2. + 2 +. 2 z 2. Operadores Diferenciales en Esf ricas f 1 f 1 f Gradiente f = r + + . r r r sen . r 1 2 1 A . Divergencia A = 2. r r Ar +(r 1. ). sen . ( A sen ) +. r sen . r Rotacional A 1 1 Ar 1 Ar . ( ) ( ) . r A = r . 1. A sen + rA. sen r + . (rA. r ) . r sen r r . Laplaciano 1 2 f 1 f 1 2 f f = 2 + 2 sen + 2. 2. r r r r r sen r sen 2 2. Campo irrotacional r Se dice que un campo VECTORIAL A es irrotacional en un volumen V si en todos los puntos del volumen se cumple: r A = 0.

9 Ejemplo: campo electrost tico. Adem s, se cumple: r r . 1. A dL = 0 para cualquier L dentro de V. L. r r . 2. A dL. L. no depende del recorrido L sino de los extremos r 3. A = f Campo solenoidal r Se dice que un campo VECTORIAL A es solenoidal en un volumen V si en todos los puntos del volumen se cumple: r A = 0. Ejemplo: campo magnetost tico. Adem s, se cumple: r r . 1. A dS = 0 para cualquier S dentro de V. S. r r 2. A dS no depende de S, sino de la l nea L que la delimita S. r r 3. A = B. 3. Teoremas Teorema Gauss: r r r A dS = AdV. S V. Teorema Stokes: r r r r A dL = A dS. L S. Teorema de Gauss r r r A dS = AdV. S V. Flujo de una funci n VECTORIAL a trav s de una superficie cerrada Demostraci n: r r r r r r A dS = A dS i = AVi = AdV.

10 S. i =1. Si i =1. V. r Generalizaci n: dS o =. S dV o V. Corolarios: r S. fdS = fdV. V. r r r A dS = AdV. S V. -Permite relacionar integrales de volumen y superficie -V lido para superficies cerradas y disjuntas Aplicaciones del Teorema de Gauss ( ). r r r r r 1. Integraci n por Partes: A fA, fA = A f + f A. r r r r . V. A fdV + f AdV = fA dS. V S. 2. Primera Identidad de Green: r A g f , ( g f ) = g f + g 2 f f (g ). f + g f dV = g 2. dS. V S n 3. Segunda Identidad de Green: f g . (g ). f f 2 g dV = g f 2. dS. V S. n n . Teorema Stokes r r r r A dL = A dS. L S. Demostraci n: r r r r r r r r A dL = A dLi = A S i = A dS. L. i =1. Li i =1. S. r dL o = ( dS ) o r Generalizaci n: L S. Corolarios: r r L dL = S dS. r r r A dL = ( n$ ) AdS.