Teoría de juegos

1 Investigaci n Operativa Conferencia 2002 Teor a de juegos Contreras Fernando, Noli Aldo, Peralta Gabriel, Sandmann Fernando, Simunic Mariano Teor a de juegos Introducci n La Teor a de juegos se desarrollo con el simple hecho de que un individuo se relacionen con otro u otros. Hoy en d a se enfrenta cotidianamente a esta teor a, en cualquier momento. Para el hombre la importancia que representa la Teor a de juegos es evidente, pues a diario se enfrenta a m ltiples situaciones que son juegos . Actualmente la Teor a de juegos se ocupa sobre todo de que ocurre cuando los hombres se relacionan de forma racional, es decir, cuando los individuos se interrelacionan utilizando el raciocinio. Sin embargo, la Teor a de juegos tiene todas las respuestas a los todos problemas del mundo.

2 Qu es la teor a de juegos ? La Teor a de juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estrat gicas. Por naturaleza, a los humanos no se les va muy bien al pensar sobre los problemas de las relaciones estrat gicas, pues generalmente la soluci n es la l gica a la inversa. En la Teor a de juegos la intuici n no es muy fiable en situaciones estrat gicas, raz n por la que se debe entrenar tomando en consideraci n ejemplos instructivos, sin necesidad que los mismos sean reales. Origen de la teor a de juegos La Teor a de juegos fue creada por Von Neumann y Morgenstern, y descriptas en su libro cl sico The Theory of Games Behavior, publicado en 1944. Otros hab an anticipado algunas ideas. Los economistas Cournot y Edgeworth fueron particularmente innovadores en el siglo XIX.

3 Otras contribuciones posteriores mencionadas fueron hechas por los matem ticos Borel y Zermelo. El mismo Von Neumann ya hab a puesto los fundamentos en el art culo publicado en 1928. Sin embargo, no fue hasta que apareci el libro de Von Neumann y Morgenstern que el mundo comprendi cu n potente era el instrumento descubierto para estudiar las relaciones humanas. Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teor a de juegos . El primero de ellos el planteamiento estrat gico o no cooperativo. Von Neumann y Morgenstern resolvieron este problema en el caso particular de juegos con dos jugadores cuyos intereses son diametralmente opuestos. A estos juegos se les llama estrictamente competitivos, o de suma cero, porque cualquier ganancia para un jugador siempre se equilibra exactamente por una p rdida correspondiente para el otro jugador.

4 El ajedrez, el backgammon y el p quer son juegos tratados habitualmente como juegos de suma cero. En el segundo de ellos desarrollaron el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta ptima en juegos con muchos jugadores. Puesto que ste es un problema mucho m s dif cil, no es de sorprender que sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores. En particular, Von Neumann abandono todo intento de especificar estrategias ptimas para jugadores individuales. En lugar de ello se propuso clasificar los modelos de formaci n de coaliciones que son consistentes con conductas racionales. Investigaci n Operativa Conferencia 2002 Teor a de juegos Contreras Fernando, Noli Aldo, Peralta Gabriel, Sandmann Fernando, Simunic Mariano Aplicaciones de la teor a de juegos La Teor a de juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, sin embargo, la econom a es el principal cliente para las ideas producidas por los especialistas en Teor a de Juego.

5 Entre las disciplinas donde hay aplicaci n de la Teor a de juegos tenemos: La econom a, la ciencia pol tica, la biolog a y la filosof a. Investigaci n Operativa Conferencia 2002 Teor a de juegos Contreras Fernando, Noli Aldo, Peralta Gabriel, Sandmann Fernando, Simunic Mariano Formulaci n de juegos de dos personas con suma cero Para ilustrar las caracter sticas b sicas de un modelo de teor a de juegos , consid rese el juego llamado pares y nones. ste consiste nada m s en que los dos jugadores muestran al mismo tiempo uno o dos dedos. Si el n mero de dedos coincide, el jugador que apuesta a pares (por ejemplo, el jugador 1) gana la apuesta (digamos $l) al jugador que va por nones (jugador II). Si el n mero no coincide, el jugador 1 paga $l al jugador II.

6 Entonces, cada jugador tiene dos estrategias: mostrar uno o dos dedos. La tabla a continuaci n contiene el pago en d lares que resulta para el jugador 1 en una matriz de pagos. Jugador II 1 2 Jugador I 1 1 -1 2 -1 1 En general, un juego de dos personas se caracteriza por 1. Las estrategias del jugador I. 2. Las estrategias del jugador II. 3. La matriz de pagos. Antes de iniciar el juego, cada jugador conoce las estrategias de que dispone, las que tiene su oponente y la matriz de pagos. Una jugada real en el juego consiste en que los dos jugadores elijan al mismo tiempo una estrategia sin saber cu l es la elecci n de su oponente. Una estrategia puede constituir una acci n sencilla, como mostrar un n mero par o non de dedos en el juego de pares y nones.

7 Por otro lado, en juegos m s complicados que llevan en s una serie de movimientos, una estrategia es una regla predeterminada que especifica por completo c mo se intenta responder a cada circunstancia posible en cada etapa del juego. Por ejemplo, una estrategia de un jugador de ajedrez indica c mo hacer el siguiente movimiento para todas las posiciones posibles en el tablero, de manera que el n mero total de estrategias posibles ser a astron mico. Las aplicaciones de la teor a de juegos involucran situaciones competitivas mucho menos complicadas que el ajedrez pero las estrategias que se manejan pueden llegar a ser bastante complejas. Por lo general, la matriz de pagos muestra la ganancia (positiva o negativa) que resultar a con cada combinaci n de estrategias para el jugador 1.

8 Se da de esta manera, ya que la matriz del jugador II es el negativo de sta, debido a la naturaleza de la suma cero del juego. Los elementos de la matriz pueden tener cualquier tipo de unidades, como d lares, siempre que representen con exactitud la utilidad del jugador 1 en el resultado correspondiente. Debe hacerse hincapi en que la utilidad no necesariamente es proporcional a la cantidad de dinero (o cualquier otro bien) cuando se manejan cantidades grandes. Por ejemplo, para una persona pobre $2 millones (despu s de impuestos) tal vez vale mucho m s que el doble de $1 mill n. En otras palabras, si a una persona se le da a elegir entre: 1) recibir, con el 50% de posibilidades, $2 millones en lugar de nada y 2) recibir $1 mill n con seguridad, ese individuo tal vez prefiriera este ltimo. Por otro lado, el resultado que corresponde a un elemento 2 en una matriz de pagos debe "valer el doble" para el jugador 1 que el resultado correspondiente a un Investigaci n Operativa Conferencia 2002 Teor a de juegos Contreras Fernando, Noli Aldo, Peralta Gabriel, Sandmann Fernando, Simunic Mariano elemento 1.

9 As , dada la elecci n, debe serle indiferente un 50% de posibilidades de recibir el primer resultado (en lugar de nada) y recibir en definitiva el ltimo resultado. Un objetivo primordial de la teor a de juegos es establecer criterios racionales para seleccionar una estrategia, los cuales implican dos suposiciones importantes: 1. Ambos jugadores son racionales. 2. Ambos jugadores eligen sus estrategias s lo para promover su propio bienestar (sin compasi n para el oponente). La teor a de juegos se contrapone al an lisis de decisi n, en donde se hace la suposici n de que el tomador de decisiones est jugando un juego contra un oponente pasivo, la naturaleza, que elige sus estrategias de alguna manera aleatoria. Se desarrollar el criterio est ndar de teor a de juegos para elegir las estrategias mediante ejemplos ilustrativos.

10 En particular, a continuaci n se presenta un ejemplo prototipo que ilustra la formulaci n de un juego y su soluci n en algunas situaciones sencillas. Despu s se desarrollar una variaci n m s complicada de este juego para obtener un criterio m s general. Soluciones de juegos sencillos. Ejemplo prototipo Dos pol ticos, contendientes entre s , se postularon para el Senado de Estados Unidos. En este momento ellos est n haciendo sus planes de campa a para los dos ltimos d as anteriores a las elecciones; se espera que dichos d as sean cruciales por ser tan pr ximos al final. Por esto, ambos quieren emplearlos para hacer campa a en dos ciudades importantes: Bigtown y Megalopolis. Para evitar p rdidas de tiempo, est n planeando viajar en la noche y pasar un d a completo en cada ciudad o dos d as en s lo una de las ciudades.