TRANSFORMADA DE LAPLACE: DEFINICION, …

1 TRANSFORMADA DE laplace : DEFINICI ON, PROPIEDADES Y EJEMPLOS1. Definici on de TRANSFORMADA de LaplaceSeaEel espacio vectorial de las funciones continuas a trozos y de orden exponencial (estoes, dada una funci onf(t) continua a trozos existen las constantesKy tales que tlafunci onfest a acotada en la forma|f(t)| Ke t).Se define la TRANSFORMADA de LaplaceL[ ] de la funci onf(t) Ecomo la transformaci onintegralL[f(t)] F(s) = + 0e stf(t)dtPor ejemplo,L[1] = + 0e stdt= e sts + 0= 1s;s>0 ;s 0L[sint] = + 0e stsintdt= 11 +s2;s>0 ;s<06 ;s= 02. Propiedad de linealidad de la TRANSFORMADA de LaplaceLa transformaci on de laplace es lineal, esto es, dadas dos funcionesf,g Ese verificaL[C1f(t) +C2g(t)] =C1L[f(t)] +C2L[g(t)],C1,C2 IR3. Propiedad de cambio de escalaSeaf(t) E. La funci ong(t) =f( t) tambi en pertenece aEy se verificaL[g(t)] G(s) =1 F(s )4. Propiedad de desplazamiento en frecuenciaSeaf(t) E. La funci ong(t) =e tf(t) tambi en pertenece aEy se verificaL[g(t)] G(s) =F(s )5.

2 Propiedad de desplazamiento en el tiempoSeaf(t) E. La funci ong(t) =f(t T)u(t T) tambi en pertenece aEy se verificaL[g(t)] G(s) =e TsF(s)La funci on escal onu(t T) viene dada poru(t T) ={1;t T0;t< T6. TRANSFORMADA de laplace de la derivada primera de una funci onSeaf(t) una funci on continua y de orden exponencial, cuya derivada primeraf (t) seacontinua a trozos y de orden exponencial (f (t) E). La TRANSFORMADA de laplace de laprimera derivada defverificaL[f (t)]=sF(s) f(0)siendoF(s) =L[f(t)] yf(0) el valor de la funci on en el TRANSFORMADA de laplace de la derivadan esima de una funci onSeaf(t) una funci on continua y de orden exponencial, cuyas derivadas hasta orden (n 1)sean tambi en funciones continuas y orden exponencial y la derivadan esima sea continuaa trozos y de orden exponencial (f(n)(t) E). La TRANSFORMADA de laplace de la derivadan esima defverificaL[f(n)(t)]=snF(s) sn 1f(0) sn 2f (0).}

3 Sf(n 2)(0) f(n 1)(0)dondeF(s) =L[f(t)], yf(0),f (0),..,f(n 1)(0) son los valores de la funci on y de susderivadas hasta orden (n 1) en el TRANSFORMADA de laplace de la primitiva de una funci onSeaf(t) E. Su primitivag(t) = t0f(t)dtes una funci on continua y de orden exponen-cial, y su TRANSFORMADA de laplace viene dada porL[g(t)] G(s) =1sF(s)9. TRANSFORMADA de laplace de una funci on peri odicaSeap(t) una funci on peri odica, de periodoT, continua a trozos y de orden exponencialen [0,T]. La TRANSFORMADA de laplace de esta funci on peri odica esL[p(t)] = T0e stp(t)dt1 e Ts10. TRANSFORMADA de laplace del producto de una funci on por el monomiotSeaf(t) E. La funci ong(t) =tf(t) tambi en pertenece aEy se verificaL[g(t)] G(s) = dF(s)ds11. TRANSFORMADA de laplace del producto de una funci on por el monomiotnSeaf(t) E. La funci ong(t) =tnf(t),n IN, tambi en pertenece aEy se verificaL[g(t)] G(s) = ( 1)ndnF(s)dsn12.

4 Convoluci on de dos funcionesSeanf(t) yg(t) pertenecientes aE. La funci onh(t) definida por la convoluci on defyg,esto es,h(t) = (f?g) = t0f(t )g( )d tambi en pertenece aE, y se verifica que la TRANSFORMADA de laplace deh(t) es el productode las transformadas de laplace def(t) yg(t):L[h(t)] H(s) =F(s)G(s)Esta propiedad es especialmente util cuando se emplea en sentido inverso: As , seanF(s)yG(s) dos funciones en el dominio de las transformadas de laplace yH(s) su producto(H(s) =F(s)G(s)), se verifica que la TRANSFORMADA de laplace inversa deh(t) =L 1[H(s)]viene dada porh(t) L 1[F(s)G(s)] =L 1[F(s)]?L 1[G(s)]Por ejemplo, se sabe que la TRANSFORMADA de laplace de la funci on sintes11 +s2. Sise quiere saber de qu e funci on es TRANSFORMADA de laplace la funci on1(1 +s2)2(es decir, sutransformada inversa) se puede aplicar el resultado anterior:h(t) =L 1[1(1 +s2)2]=L 1[11 +s2]?L 1[11 +s2]= sint?

5 Sinty teniendo en cuenta ahora la definici on de convoluci on de dos funciones, calculando la pri-mitiva y evaluando en los l mites de integraci on resultah(t) = sint?sint= t0sin(t ) sin( )d =sint tcost2E1. EJEMPLO 1: Problema de vibraciones forzadasConsid erese el siguiente problema de vibraciones forzadas de un sistema masa-muelle:y + 20y=Ksin( t);y(0) = 0;y (0) = 0siendoy(t) la posici on de la masa en cada instante de tiempot, 0la frecuencia naturaldel sistema y la frecuencia de la carga peri odica externa aplicada de magnitudK(cargaexpresada por unidad de masa). La posici on y velocidad iniciales son la TRANSFORMADA de laplace a la ecuaci on diferencial se obtiene:L[y + 20y Ksin( t)]= 0 L[y ]+ 20L[y] KL[sin( t)] = 0y teniendo en cuenta queL[y ]=s2L[y] sy(0) y (0), es decir,L[y ]=s2L[y], la expresi onanterior resulta(s2+ 20)L[y] =KL[sin( t)]En consecuencia, la TRANSFORMADA de laplace de la funci on que proporciona la posici on de lamasay(t) esL[y] =Ks2+ 20L[sin( t)] L[y] =K (s2+ 20)(s2+ 2)La soluci on final resulta de la TRANSFORMADA inversa de1(s2+ 20)(s2+ 2)y que se puedeobtener haciendo uso de la propiedad de convoluci on (apartado12.)

6 , o bien descomponiendoen fracciones simples esta expresi on e identificando en tablas de transformadas los distintost erminos. As ,1(s2+ 20)(s2+ 2)=1 20 2(1s2+ 2 1s2+ 20); 6= 0En consecuencia hay que analizar dos posibles situaciones: si 6= 0, y si = 0, es decir,cuando la frecuencia externa coincide con la frecuencia natural del sistema (resonancia).Si 6= 0, la soluci on esy(t) =L 1[K 1(s2+ 20)(s2+ 2)]=K 20 2(L 1[1s2+ 2] L 1[1s2+ 20])e identificando en tablas:y(t) =K 20 2(sin( t) sin( 0t) 0);si 6= 0Si se produce resonancia, esto es, = 0, entonces la TRANSFORMADA de laplace de lafunci on que proporciona la posici on de la masay(t) esL[y] =K 01(s2+ 20)2 y(t) =K 0L 1[1(s2+ 20)2]e identificando en tablas:y(t) =Ksin( 0t) 0tcos( 0t)2 20;si = 0E2. EJEMPLO 2: Ecuaci on en derivadas parciales de primer ordenConsid erese el siguiente problema de primer ordenxL w(x,t) t+c w(x,t) x= 0,w(x,0) = 0,w(0,t) =t;x [0,+ ),t [0,+ )siendoLuna longitud ycuna velocidad caracter la TRANSFORMADA de laplace (en la variable tiempo) a la ecuaci on diferencial seobtiene:L[xL w t+c w x]= 0 xcLL[ w t]+L[ w x]= 0Si se tiene en cuenta queL[ w(x,t) t]=sL[w(x,t)] w(x,0) L[ w(x,t) t]=sL[w(x,t)]yL[ w(x,t) x]= + 0e st w(x,t) xdt= x( + 0e stw(x,t)dt)= L[w(x,t)] xsi definimosW(x,s) =L[w(x,t)], entoncesL[ w(x,t) t]=sW(x,s).]]

7 L[ w(x,t) x]= W(x,s) xpor lo que la TRANSFORMADA de laplace de la ecuaci on en derivadas parciales queda de la formaxscLW(x,s) + W(x,s) x= 0 Asimismo si se aplica la TRANSFORMADA de laplace a la condici on de contornow(0,t) =t, demodo queL[w(0,t) t] = 0, es decir,L[w(0,t)] L[t] = 0 resultaL[w(0,t)] = 1/s2, o lo quees lo mismoW(0,s) = 1 consecuencia hay que resolver el problema formado por la TRANSFORMADA de laplace dela ecuaci on en derivadas parciales, y la TRANSFORMADA de laplace de la condici on de contorno:xscLW(x,s) + W(x,s) x= 0;W(0,s) =1s2cuya soluci on esW(x,s) =1s2e sx2/(2cL)La soluci on al problema planteadow(x,t) es la TRANSFORMADA de laplace inversa deW(x,s), esto es,w(x,t) =L 1[W(x,s)] w(x,t) =L 1[1s2e sx2/(2cL)]Si ahora se tiene en cuenta la propiedad de desplazamiento en el tiempo (apartado5.) y seidentifican los correspondientes t erminos, resulta que T=x2/(2cL) (que efectivamente tieneunidades de tiempo, ya queces una velocidad yLuna longitud), y dado que la transformadainversa de1s2est, la soluci on final es:w(x,t) = (t T)u(t T);siendo T=x22cLdondeu( ) es la funci on escal on.

8 En consecuencia, la soluci on viene dada porw(x,t) = t x22cL;t x22cL0;t<x22cL