Variables continuas - UC3M

1 Variables continuasSi tenemos una variable continuaX, podemosdefinir la funci on acumulada de distribuci on dela misma manera que para una variable (x)=P(X x).Ahora esta funci on ser a una funci on suave yno una funci on escal on, pero tendr a las mismaspropiedades que la funci on de distribuci on parauna variable ( )=0,F( )=1,F(x+ ) F(x)paracualquier > 144 Cu ales de las siguientes fun-ciones pueden ser funciones de distribuci on parauna variable continuaX? (x)= 0six<0x24para0 x 21parax> (x)= 0parax< 1x2para 1 x 21parax> (x)= 0six 01 e xpara0<x< Funciones 1 y 3 pueden ser funciones de dis-tribuci on. La funci on 2 es negativa en el rango 1<x<0. Los siguientes dibujos muestranlas funciones de distribuci on en casos 1 y )F(x)= (x)3)F(x)=1 e (x)303La funci on de densidadPara una variable continua, la funci on de prob-abilidad ya no tiene sentido. No obstante, sedefine otra funci on con propiedades on 35 Para una variable continuaXcon funci on de distribuci onF(x),lafunci onde densidaddeXesf(x)=dF(x)dxLas propiedades de la funci on de densidad son:f(x) 0paratodox.

2 F(x)dx= (x)= x f(u) (a<X<b)= baf(x)dx=F(b) F(a).304 Ejemplo 145 Volvemos al Ejemplo 144 y cal-culamos las funciones de densidad en casos (x)=ddx x24 =2x4=x2f(x)= x2para0<x<20si (x)=ddx 1 e x =e xf(x)= e xpara0<x< 0si noLos siguientes dibujos muestran las funcionesde )f(x)= (x)3)f(x)=e (x)306 Interpretaci on de la funci on de densidadPensamos en tomar una muestra muy grandey hacer un histograma de los datos (con bas-tantes barras) con la area normalizada a 1. xf(x) ve que el histograma es parecido a la fun-ci on de 146 Una variable aleatoriaYtiene lafunci on de densidadf(y)= cy2(1 y)si0<y<10si no Cu al es el valor dec?1= f(y)dy= 10cy2(1 y)dy=c 10 y2 y3 dy=c y33 y44 10=c 13 14 =c12 c=12308Se ve un diagrama de la funci on de (y)La densidad es asim etrica a la la funci on de distribuci <y<1. LuegoF(y)=P(Y y)= y f(y)dy= y012u2(1 u)du= 12 u33 u44 y0=12 y33 y44 F(y)= 0siy 012 y33 y44 si0<y<11siy (y) Cu al esP(Y 0,5)?

3 P(Y 0,5) =F(0,5) = 12 0,533 0,544 =,3125311 Media, varianza y desviaci on t pica de unavariable continuaRecordamos las f ormulas para la media y vari-anza de una variable discreta: = iP(X=xi) xi 2= iP(X=xi) (xi )2En el caso de una variable continua, la funci onde densidad juega el papel de la funci on deprobabilidad y integramos en lugar de on 36 SiXes una variable continuacon funci on de densidadf(x)entonces, la me-dia deXesE[X]= f(x) xdxylavarianzadeXesV[X]= f(x) (x E[X])2dx312La desviaci on t pica esDT[X]= V[X].Igual que con Variables discretas, se usan loss mbolos y para representar la media ydesviaci on t pica as, existe una forma m as sencilla de ex-presar la varianzaV[X]=E X2 E[X]2= f(x) x2dx 2 Las expresiones derivadas para Variables disc-retas valen tambi en para Variables continuas ,sustituyendo integraci on por sumaci 147 Volvemos al Ejemplo 144.

4 Cal-culamos la media y varianza de la Variables delapartado (x)= x2para0<x<20si noE[X]= xf(x)dx= 20x2 xdx= 20x22dx= x36 20=236=43314E X2 = 20x2 x2dx= 20x32dx= x48 20=248=2V[X]=E X2 E[X]2=2 43 2=79La desviaci on t pica esDT[X]= 79 , 148 Calculamos la media, varianza ydesviaci on t pica para la variable del Ejemplo146. = 1012y2(1 y) ydy= 1012y3(1 y)dy=12 10 y3 y4 dy= 12 y44 y55 10=12 14 15 =0,6316E Y2 = 1012y2(1 y) y2dy= 1012y4(1 y)dy=12 10 y4 y5 dy= 12 y55 y66 10=12 15 16 =0,4 2=E Y2 2=0,4 0,62=0,04 =0,2317 Otras medidasEl coeficiente de variaci on de una variablecon media y desviaci on t pica es| | .El coeficiente de asimetr a esE (X )3 3El coeficiente de kurtosis esE (X )4 4318 Mediana y Cuart lesDefinici on 37 Para una variable continuaXcon funci on acumulada de distribuci onF(x),lamedianaes el puntoMdondeF(M)=0, , si la densidad deXesf(x), setiene M f(x)dx=0, 149 Volvemos al caso 1 del Ejemplo144.

5 En este caso, la funci on de distribuci onesF(x)=x24y la mediana es el puntoMpara queF(M)=12M24=12M= 2 1, (SiXes una variable discreta, entonces, la me-diana es el punto m nimoMdondeF(M) 0,5.)Se definen los cuart les de manera primer cuart l es el puntoQ1dondeF(Q1)=14y el tercer cuart l es el puntoQ3dondeF(Q3)= 150En el Ejemplo anterior se tieneQ214=14Q1=1Q234=34Q3= 3 1,73320