XIV. 1 CHAPITRE XIV : Les circuits à courant alternatif ...

1 XIV. 1 CHAPITRE XIV : Les circuits courant alternatif : imp dance, puissance, facteur de qualit et largeur de bande : L'imp dance complexe et son module L'imp dance est une grandeur qui g n ralise la notion de r sistance, de r actance capacitive et de r actance inductive dans le cas des circuits comportant plusieurs l ments de nature diff rente. Elle caract rise la mani re dont le circuit freine le passage du courant en donnant le rapport qui existe entre la tension de la source de f..m. et le courant r sultant. Toutefois, comme dans le cas d'un circuit avec seulement un condensateur ou seulement un inducteur (voir sections et ), il y a un d phasage entre tension et courant qui fait qu'ils ne passent pas en m me temps par leur maximum et qu'on ne peut prendre le rapport des valeurs instantan es, v/i, pour caract riser le circuit ; en effet, ce rapport varie dans le temps.

2 Par contre on peut le faire soit avec le rapport des amplitudes ou des valeurs efficaces, comme dans le cas des r actances, soit avec le rapport des phaseurs. Dans ce dernier cas, on d finit une imp dance complexe : vZ ( ) Le module de cette imp dance complexe est gale au rapport de l'amplitude de la tension celle du courant ou encore, au rapport des valeurs efficaces : 00effj00effvvv vZe ii i == = = ( ) car ej = 1 Voyons maintenant ce que valent les imp dances dans quelques cas particuliers. L'imp dance d'une r sistance : 0R0R00vRiZii== car = i0 ej et v = v0R ej . XIV. 2 Par cons quent : RRZZR, pour une r sistance== ( ) Dans le cas d'une r sistance, la notion de r sistance et d'imp dance complexe co ncident donc.

3 L'imp dance d'un condensateur : 0C0 /C00vj i C11 ZjjiiCCj == = = ( ) En effet, j2 = 1 et par cons quent : 1jj =. Le r sultat ( ) peut encore s' crire en fonction de la r actance capacitive : CCZXj, pour un condensateur= ( ) L'imp dance complexe d'un condensateur est purement imaginaire et n gative ; son module est gal la r actance capacitive : CCZX , pour un condensateur= ( ) L'imp dance d'un inducteur : 0L0L00vjLiZjLjii == = , ( ) ce qui peut s' crire en fonction de la r actance inductive : LLZXj, pour un inducteur= ( ) L'imp dance complexe d'un inducteur est purement imaginaire et positive ; son module est gal la r actance inductive : LLZX , pour un inducteur= ( ) XIV.

4 3L'imp dance d'un circuit RLC s rie : Pour un circuit comme celui de la figure : ()0R0L0C00R0L0C000vvvj vZ ivvvjiii+ == =+ ()1 ZRLj, pour un circuit RLC s rieC=+ ( ) On remarque que ce r sultat est quivalent la simple addition des imp dances complexes ZR ( ), ZC ( ) et ZL ( ). Cette fois l'imp dance comporte une partie r elle et une partie imaginaire et son module vaut : ()221 ZRL, pour un circuit RLC s rieC=+ ( ) C'est aussi le rapport de l'amplitude de la tension de la source celle du courant , ou encore le rapport des valeurs efficaces. Exemple : Dans le cas d'un circuit RLC s rie comportant une r sistance de 200 , un condensateur de capacit 10 F et un inducteur d'inductance 20 mH, a) calculez son imp dance pour une fr quence de 50 Hz b) calculez le courant efficace dans le circuit pour une tension sinuso dale de 300 V d'amplitude.

5 A) = 2 f =2 50 = 100 rad/s = 314 rad/s ZR = 200 C611X318C314 10 10 === ZC = -318 j XL = L = 314 20 10-3 = 6,3 ZL = 6,3 j Z = 200 3 18 j + 6,3 j (200 312 j) b) 00eff300v300V v212 Vv22==== effeffeffeffvvZiiZ== XIV. 422Z200312370=+= eff212 Vi0,57A370== . : Les imp dances en s rie et en parall le a) En s rie Lorsque divers l ments d'un circuit sont branch s en s rie, comme la figure , l'imp dance quivalente de la combinaison d' l ments est gale la somme des imp dances de chaque l ment. Figure En effet, nous avons par d finition de Zeq : eq vZ =, o v est le phaseur de la tension aux bornes de la combinaison d' l ments qui s'obtient en ajoutant les phaseurs de chaque l ment : 123312eq123 vv vvvvZ ZZ Z.

6 ++==++=++ Par cons quent, pour une combinaison de n l ments en s rie, nous avons bien : neqii1ZZ== ( ) XIV. 5b) en parall le Lorsque divers l ments d'un circuit sont branch s en parall le, comme la figure , l'imp dance quivalente de la combinaison d' l ments est l'inverse de la somme des inverses de l'imp dance de chaque l ment. Figure En effet, nous avons par d finition de Zeq : eq vZ = o v est le phaseur de la tension aux bornes de chacun des l ments, qui est la m me et qui est celle de la source ; est le phaseur du courant d bit par la source, qui est la somme instantan e de chacun des courants passant respectivement par Z1, Z2 et Z3 (loi des n uds).

7 D s lors : = 1 +i2 +i3 et 312eq123 1111 ZvvvZZZ=++= + + Par cons quent, pour une combinaison de n imp dances en parall le, nous avons bien : neqii111ZZ== ( ) : Relation entre imp dance et d phasage Lorsqu'on conna t l'imp dance complexe d'un circuit, on peut en d duire ais ment le d phasage de la tension par rapport au courant . XIV. 6 Soit 1j0 vve =, 2j0 iie = ; le d phasage de la tension par rapport au courant est = 1 2 (celui du courant par rapport la tension est 2 - 1 = - ). On a : ()()1122jj00j00j vevvZe iiveZeZ cosjsin ===== + L'imp dance complexe peut toujours s' crire : {}{}emZRZjIZ=+ ( ) D s lors : {}eRZ Zcos= Et : {}eRZcosZ = ( ) On a aussi : {}{}meIZtgRZ = ( ) : R sum Les relations entre phaseurs de la tension et du courant , imp dance, et d phasage peuvent tre visualis es sur le sch ma de la figure ( ).

8 Figure XIV. 7 En outre : 00effeff vZivZivZi=== : La puissance moyenne Au CHAPITRE XIII, nous avons vu que la puissance moyenne dissip e dans un condensateur ou dans un inducteur tait toujours nulle ( et ). Seule la partie r sistive du circuit dissipe de l' nergie. D s lors dans tout circuit dont on aura crit l'imp dance complexe sous la forme ( ), la puissance moyenne dissip e peut s' crire : {}2eeffpRZi= ( ) o Re{Z} est la composante r sistive de l'imp dance du circuit et Ieff, le courant efficace qui y circule et qui est aussi celui d livr par la source. Remarquons qu'ici, on ne peut remplacer Re{Z}Ieff par Veff parce que Re{Z}Ieff est la tension efficace aux bornes de la composante r sistive de l'imp dance alors que Veff est celle de tout le circuit y compris les l ments non r sistifs, condensateur et inducteur ; elle vaut : veff = Z ieff En rempla ant dans ( ) et en utilisant ( ), on obtient : eff effpivcos= ( ) La relation ci-dessus montre que dans un circuit comportant des inducteurs et/ou des condensateurs, la puissance n'est pas gale au produit Ieff Veff, comme dans un circuit o il n'y aurait que des r sistances; elle est toujours inf rieure d'un facteur cos que l'on appelle facteur de puissance du circuit.

9 Ce facteur vaut 1 quand il n'y a que des r sistances, z ro lorsqu'il n'y a que des condensateurs ou que des inducteurs. XIV. : Le ph nom ne de r sonance Alors que la composante resistive d'une imp dance ne d pend pas de la fr quence angulaire, la partie imaginaire varie avec celle-ci. Par cons quent, dans un circuit qui n'est pas purement r sistif, Z varie avec et par cons quent il en va de m me pour le courant qui circule dans le circuit ; pour Veff fixe, Ieff varie avec . Dans certains cas Z passe par un minimum pour une valeur de la fr quence angulaire, 0, appel e fr quence de r sonance.

10 Pour cette valeur le courant passe par un maximum. Etudions ce ph nom ne dans le cas du circuit RLC s rie. La r sonance dans un circuit RLC s rie L'imp dance, donn e par la relation ( ), passe par un minimum pour 001LC = , c'est- -dire pour : 01LC =, pour le circuit RLC s rie ( ) A cette fr quence XL = XC de sorte que l'imp dance est enti rement r sistive Z = R et cos = 1. Le courant maximum la r sonance vaut : effmaxeffviR=, pour le circuit RLC s rie ( ) Par cons quent, le pic sera d'autant plus prononc que la r sistance est faible, ainsi que l'illustrent les deux exemples de la figure qui montre la variation du courant efficace Ieff en fonction de la fr quence angulaire . Figure XIV.