Transcription of Exo7 - Cours de mathématiques
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Exo7 - Cours de mathématiques
Int gralesVid o partie 1. L int grale de RiemannVid o partie 2. Propri t sVid o partie 3. PrimitiveVid o partie 4. Int gration par parties - Changement de variableVid o partie 5. Int gration des fractions rationnellesFiche d exercices Calculs d int gralesMotivationNous allons introduire l int grale l aide d un exemple. Consid rons la fonction exponentiellef(x)=ex. On souhaitecalculer l aireAen-dessous du graphe defet entre les droites d quation(x=0),(x=1)et l axe(O x).Ay=exxy011 Nous approchons cette aire par des sommes d aires des rectangles situ s sous la courbe. Plus pr cis ment, soitn>1un entier ; d coupons notre intervalle[0, 1] l aide de la subdivision(0,1n,2n, .. ,in, ,n 1n, 1).On consid re les rectangles inf rieurs R i, chacun ayant pour base l intervalle i 1n,in et pour hauteurf i 1n =e(i 1)/n. L entierivarie de 1 n. L aire deR iest base hauteur : in i 1n e(i 1)/n=1nei 1R 2R 3R 4014243411y=exxyR+1R+2R+3R+4014243411 INT GRALES1. L INT GRALE DERIEMANN2La somme des aires desR ise calcule alors comme somme d une suite g om trique :n i=1ei 1nn=1nn i=1 e1n i 1=1n1 e1n n1 e1n=1ne1n 1 e 1 n + e la limite on a reconnu l expression du typeex 1x x 01 (avec icix=1n).
Nous allons introduire l’intégrale à l’aide d’un exemple. Considérons la fonction exponentielle f (x) = ex. On souhaite calculer l’aire Aen-dessous du graphe de f et entre les droites d’équation (x = 0), (x = 1) et l’axe (Ox). A y = ex x y 0 1 1 Nous approchons cette aire par des sommes d’aires des rectangles situés sous la ...
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