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Exo7 - Exercices de mathématiques
Exo7. Espaces pr hilbertiens Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur * tr s facile ** facile ** difficult moyenne ** difficile ** tr s difficile I : Incontournable Exercice 1 ** I Polyn mes de L EGENDRE. R1. Soit E = R[X]. On munit E du produit scalaire P|Q = 1 P(t)Q(t) dt. (n). 1. Pour n N, on pose Ln = (X 2 1)n . (a) Montrer que la famille (Ln )n N est une base orthogonale de l'espace pr hilbertien (E, | ). (b) D terminer kLn k pour n N. 2. D terminer l'orthonormalis e de S CHMIDT de la base canonique de E. Correction H [005772]. Exercice 2 ** I. Soit E = R[X]. Pour (P, Q) E 2 , on pose (P, Q) = 0+ P(t)Q(t)e t dt. Pour n N, on pose hn = (X n e X )(n) eX . R. 1. Montrer que est un produit scalaire sur E. 2. (a) Pour n N, pr ciser les coefficients de hn . Montrer que la famille (hn )n N est une base de E. (b) Montrer que la famille (hn )n N est une base orthogonale de l'espace pr hilbertien (E, ). (c) Pour n N, d terminer khn k. En d duire une base orthonorm e de l'espace pr hilbertien (E, ).
Exercice 8 *** Soit f une fonction continue sur [0;1], non nulle à valeurs réelles positives. Pour P et Q polynômes donnés, on pose F(P;Q)= R 1 0 f(t)P(t)Q(t)dt. 1.Montrer que F est un produit scalaire sur R[X]. 2.Montrer qu’il existe une base orthonormale (P n) n2N pour Ftelle que, pour tout entier naturel n, deg(P n)= n. 3.Soit (P n ...
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