EXERCICES PRIMITIVES ET CALCUL INTÉGRAL

1 EXERCICES PRIMITIVES ET CALCUL INT GRAL. Site MathsTICE de Adama Traor Lyc e Technique Bamako EXERCICE 01 : Trouver une primitive de chacune des fonctions f d finies par 1 ) f (x) = x3 + 6x2 + 10x 4 ; 2 ) f (x) = 2x5 5x3 + 5x 3 ) f (x) = 3x4 4x3 + 5x2 9x + 1 ; 4 ) f (x) = 3x4 + 2x3 5x + 7. 5 ) f (x) = (2x 1)(x2 x + 4)3 ; 6 ) f (x) = (6x+3)(x2 + x + 1)4. 7 ) f (x) = 5x (x2 +1)6 ; 8 ) f (x) = 3x2 (x3 + 1)5. 9 ) f (x) = 7x2 (x3 + 5)3 ; 10 ) f (x) = x (x2 4)2. 11 ) f (x) = (5x + 1)7 ; 12 ) f (x) = ( 3x+2)4. 13 ) f (x) = (x 4)3 ; 14 ) f (x) = (5 2x)6. 2x + 1 3. 15 ) f ( x) = ; 16 ) f ( x) =.

2 (x + x 32. ). 3. (5 x 1)2. 2x x 17 ) f ( x) = 2 18 ) f ( x) =. (. x +1 4 ) ;. (x 2. 9 ). 5. x 4. 19 ) f ( x) = 20 ) f ( x) = 5 + x +. ( x +2 2. ) 3. ;. (x + 1)2. 3x 4 5 2. 21 ) f ( x) = 22 ) f ( x) = x 2 + + 3 +. (. x +2 2. ) 3. ;. x 2. x (x + 3)2. 2 x 5 x 3 + 3x 2 + 2 x 3 + 5x 2 1. 23 ) f ( x) = ; 24 ) f ( x) =. x2 3x 2. 26 ) f ( x) = (x 3 7 x + 1) (3x 2 7 ). 2x 3 + 5x 2 + 4x + 4 5. 25 ) f ( x) = ;. (x + 1) 2. cos x 27 ) f ( x) = ; 28 ) f ( x) = sin x cos 4 x sin 3 x sin x 29 ) f ( x) = 4 ; 30 ) f ( x) = cos x sin 4 x cos x . 31 ) f ( x) = sin 3 x ; 32 ) f ( x) = sin(4 x + ). 3. 33 ) f ( x) = 4 cos 2 x ; 34 ) f ( x) = cos(6 x + 2).

3 34 ) f ( x) = cos 3x + 6 sin 3x sin x cos 3 x ; 35 ) f ( x) = cos 5 x . 36 ) f ( x) = 10 sin 5 x + 12 cos 4 x 3 sin(6 x ) ; 37 ) f ( x) = sin 4 x 6. EXERCICES PRIMITIVES Page 1 sur 9 Adama Traor Professeur Lyc e Technique EXERCICE 02: 1- Calculer les int grales suivantes A = ( x 4 5 x 2 + 3)dx ; B = ( x + 3)( x 2 + 6 x + 4) 2 dx ; K = ( x + 1) dx ; L = (3x + 1) dx 2 1 1 n 1 5. 3 0 0 0. 2 4 x3 3x 2 + 1 2 2 3x + 6 1 x C= dx ; D = (2 x + 1)3dx ; E = dx ; T = dx 1 ( x + 4 x + 3). (x ). 2 2 4. 1 5x 0 0 2. +1. 3. 3 . 1 3 3 4 cos x e ln x F = = 2 + = 6 sin 2 x = 1 x = 04 tan( x)dx 2. 0 (3 2 x ) 4.

4 Dx ; G (3 x x ) dx ; J 4 dx ; K dx ; H. x2.. 1 1. L = 3 sin x cos 3 x dx ; N = x( x 2 + 1)5 dx ; P= x + 3 dx ; D = 4 tan 2 ( x)dx 0 0 2 . 4.. 1 + ln x e 1 0. Q= dx ; R = 3 cox(2 x + )dx ; U = ( x + e x )dx ; K = ( x 2 + x) e 2 x dx 1 x 0 3 0 1.. 1 3x 2 10 x + 1 tan( x). V = 2 dx ; W = dx ; X = cos x(1 3 sin x)dx ; W = 4 . 2. dx 0. x +4 1. 5x + x + 3. 2 0 . 4. cos( x). 2 2 6 1 1. I = ( 3 x 2 )dx ; J = x( x 2 3)dx ; L = dx ; L = x 2 x 4 dx ;. 1 1 2. x 1 + x + 1 1. 3 . 5 1 1 x 0. A= 2x 1 +.. 2 . dx ; B = ( ) dx ; E = 4 cos 5 x dx ; K =.. 4. sin x dx ;. 3. (x 1) 0 x +1.. 4.. 2.. 3 dx 1 2x 1 1 x M = 3 cos 2 x sin 3 x dx ; N = ; P= dx ; Q( x) = dx.

5 6. 0 x +1 0. x2 x +1 0. 2x2 + 3. 3. ( ).. 3 4 4. S = 2 cos x(cos x + 1) 2 dx ; T = x 2 3 x + 2 dx ; P = x 2 2 x 3 dx ; K = ( x 2 2 x + 3 ) dx 0 0 3 1. D= . 4. 1. ( x + 3 + 2 x 1 )dx ; T = . 7. 5. (x + 3 + 2 x 2. ). 3 x + 2 dx ; G = ( 2 x 5 + x 3 )dx ;. 5. 0.. 2 e x 3. U = 3 sin 3 t cos 4t dt ; Y = ( x x 2 x 2 ) dx ; Z = + e x ln x dx . 1. 6. 1. x . EXERCICE 03: En utilisant la formule d'int gration par parties calculer les int grales . 1 1 2. K = 2 x sin x dx ; J = x 2 e x dx ; M = ( 2 x 2 + x + 1)e x dx ; I = x 2 x + 1 dx 0 0 0 1. 1 x 2e 2. P = ( x + 1) 2 x + 1 dx ; T = ln t dt ; S = x ln x 2 dx ; P = x ln x dx.

6 0 1 e 1. 1. C = x 2 1 x dx ; H = . 0 1. ln x x e e ( . ). dx ; F = t 2 + 3 ln t dt ; I = e x cos x dx ;. 1 0.. 0. 1. H = t 2 e t dt ; J = . 0.. ( ). 3 t 2 t + 1 sin t dt ; R = 12. cos(ln x). x dx ; V = 4 x sin 2 (3 x) dx 0.. 1. K = 3 x 2 cos(2 x)dx ; J = ( x + 2) e x dx ; K = 2 x sin 3 x dx . 0 0 0. EXERCICES PRIMITIVES Page 2 sur 9 Adama Traor Professeur Lyc e Technique EXERCICE 04: 2 x 3 + 5x 2 4 x 7. Soient la fonction f d finie par f ( x) =. (x + 2 )2. c 1 ) Trouver les r els a ; b et c tels que f ( x) = ax + b +. (x + 2)2. 5. 2 ) Trouver la primitive F de f prenant la valeur en 0.

7 2. 3. 3 ) En d duire I = 2 f ( x) dx . EXERCICE 05: 3x 2 + 6 x + 4. Soit Soient la fonction f d finie par f ( x) =. (x + 1)2. b 1 ) Trouver les r els a et b tels que f ( x) = a +. (x + 1)2. 2. 2 ) En d duire I = 1 f ( x) dx . EXERCICE 06: 2x + 5. 1 ) Soit la fonction f d finie par f ( x) = . ( x + 1) 2. a b a) Trouver les r els a et b tels que pour tout x -1 , f ( x) = +. x + 1 ( x + 1) 2. 3 2x + 5. b) En d duire le CALCUL de I = 0 dx . ( x + 1) 2. x2 1. 2 ) Soit la fonction g d finie par g ( x) = . x( x 2 + 1). a bx + c a) Trouver les r els a , b et c tels que pour tout x 0 , g ( x) = +.

8 X x2 +1. 3 x2 1. b) En d duire le CALCUL de J = 1 dx . x( x 2 + 1). x+5. 3 ) Soit la fonction f d finie par f ( x) = . x 2x 3. 2. a) D terminer l'ensemble de d finition de f a b b) Trouver les r els a et b tels que , f ( x) = +. x +1 x 3. 2 x+5. c) En d duire le CALCUL de K = 0 dx . x 2x 3. 2. EXERCICES PRIMITIVES Page 3 sur 9 Adama Traor Professeur Lyc e Technique EXERCICE 07: . 1 ) On pose I = 0. 2 (2 x + 1) cos x dx et J = . 2. 0. 2 (2 x + 1) sin 2 x dx a) Calculer I + J puis I J. b) En d duire les valeurs de I et de J. 2 ) D terminer les r els a ; b et c tels que pour tout r el strictement 1 a bx + c positif x on ait : = + 2.

9 X ( x + 1) x x + 1. 2. 1 1. 3 ) Calculer I = 1 dx ; en d duire en utilisant l'int gration par partie le CALCUL 2 x ( x 2 + 1). 1 ln( x). de J = 1 dx 2 x ( x 2 + 1). 1. 4 ) Soit I n = x n e x dx 0. a) Calculer I0. b) Pour tout entier naturel n, en utilisant une int gration par parties, c) Calculer In+1 en fonction de In. En d duire I4. EXERCICE 08: Pour tout entier naturel n >0 ; on pose : I n = 01 x n 3 + x dx et I 0 = 01 3 + x dx 1 ) a) Calculer I 0. b) Calculer I 1 l'aide d'une int gration par parties 2 ) Comparer x n +1 et x n lorsque 0 x 1. En d duire que la suite ( I n ) est d croissante.

10 3 2. 3 ) a) En proc dant par encadrement, tablir que : In . n +1 n +1. b) Etudier la limite de la suite ( I n ) en + . 4 ) a) D montrer que, pour tout nombre x de [0 ; 1] on a : 1. 0 2 x+3 ( 1 x). 2 3. 2 1 1 2. b) D duisez du r sultat pr c dent que : In . n + 1 2 3 (n + 1) (n + 2) n +1. c) D terminer la limite de la suite ( n I n ) . EXERCICES PRIMITIVES Page 4 sur 9 Adama Traor Professeur Lyc e Technique EXERCICE 09: Soit la fonction f d finie par f ( x) = e x ln(1 + e x ) .. On se propose de calculer : I ( ) = 0 f ( x) dx , o +. 1 ) Quel est le signe I ( ) ? ex b 2 ) Trouver deux nombres r els a et b tels que pour tout r el x, =a+.