Chapitre 9 - Cristallographie, Diffraction des Rayons X et ...

1 cristallographie 9 : Tables Internationales de cristallographie Page 1 sur 13 Chapitre 9 : Groupes de sym trie Tables Internationales de cristallographie Introduction L ensemble des op rations de sym trie mettant en co ncidence des directions quivalentes d'un solide (les normales ses faces par exemple) forme un groupe de sym trie d'orientation. On dit aussi groupe ponctuel parce que les l ments de sym trie sont tous concourants en un point qui est le centre de masse pour une figure finie. Les groupes ponctuels compatibles avec un r seau cristallin, sont form s des op rations directes 1 23 4 6 et inverses 1 2 3 4 6 ; en d nombrant les associations possibles entre ces op rations, on aboutit aux 32 groupes ponctuels (cristallographiques). L'ensemble des corps qui ont les m mes l ments de sym trie constitue une classe, le groupe des op rations de sym trie qui leur est commun repr sente leur classe de sym trie.

2 L' tude des propri t s physiques sensibles la sym trie et des formes cristallines permet de ranger (classer) les cristaux dans une de ces 32 classes correspondant aux 32 groupes ponctuels. Les op rations de sym trie de position relient dans l'espace des points quivalents entre eux. Le d nombrement des associations possibles entre op rations de sym trie de position conduit 230 groupes d'espace ind pendants. Groupes ponctuels Pour le d nombrement des groupes ponctuels, on distingue d'abord les groupes contenant au plus un seul axe de sym trie d'ordre sup rieur 2 (appel s groupes axiaux) et ensuite les groupes cubiques contenant au minimum 4 axes A3 et 3 axes A2. Groupes axiaux (Tableau ) Puisque par hypoth se, il n existe qu un seul axe An d ordre n > 2, celui-ci ne peut tre compos qu avec un centre d inversion (1) ou avec les l ments binaires 2(2)A et 2()Am.

3 Ces axes binaires ne peuvent tre que confondus ou perpendiculaires l axe An S ils ne l taient pas, l action d un axe binaire entra nerait un second axe d ordre n. ce qui est contraire l hypoth se de d part. Les 11 combinaisons envisageables sont donc : 222nnnnnnnmnmnnmnmmmmmm On v rifiera que les combinaisons suivantes sont identiques : ; 2 ; 2nnnnetnmetnmetnmmmmmm Page 2 sur 13 cristallographie 9 : Tables Internationales de cristallographie Finalement, il n y en a que 7 consid rer, qui sont : 2nnnnnmnmnmmm On montre que ces 27 groupes axiaux sont les seuls qu'on puisse construire compte-tenu des limitations entre associations d'op rations de sym trie (cf. Chap. 8). Les trois positions de la notation utilis e (Hermann Mauguin) correspondent des directions cristallographiques, le premier symbole repr sente l'axe principal. Groupes cubiques (Tableau ) Les 5 groupes cubiques (ou isom triques) sont plac s dans la derni re ligne du tableau.

4 On part du groupe 2 3 de sym trie minimale (groupe de sym trie directe du t tra dre r gulier) et on lui adjoint un axe binaire inverse ou direct comme pour les groupes axiaux. Les symboles sont class s dans l'ordre : 1 0 0 / +- 1 1 1 / +- 1 1 0 Dans les 7 combinaisons : 332323223232232mmmmm On rejette les combinaisons 23/m et 23/m m qui sont impossibles parce qu elles impliqueraient la pr sence de plusieurs axes d ordre 6. Il reste donc les 5 groupes cubiques du Tableau : 23232323223mm En conclusion : Pour caract riser un groupe ponctuel, il suffit de sp cifier la sym trie selon trois directions de l'espace au maximum : ces op rations de sym trie sont les g n rateurs du groupe. Degr de sym trie d'une classe cristalline Le degr de sym trie S est le nombre de demi-droites quivalentes issues de l'origine r p t es par les op rations de sym trie.

5 La projection st r ographique le donne imm diatement en consid rant la r p tition d'un point en dehors de tout l ment de sym trie. Ce degr de sym trie peut aussi se calculer par la formule : 234611235 Sssss=++++ o les sj sont les nombres d'op rations directes. Le coefficient multiplicateur est le nombre de directions quivalentes qu'ils ajoutent la direction de d part. Si la classe poss de un centre de sym trie S' = 2 S Classification en 7 syst mes cristallins Les syst mes cristallins sont une classification des groupes de sym trie ponctuels. Ceux-ci repr sentent l ensemble des op rations de sym trie laissant le r seau invariant lorsqu on les applique autour d un n ud du r seau Le r seau de translation est invariant par rapport aux op rations de sym trie du groupe du cristal, il poss de donc toutes ses op rations, mais en tant que r seau, il doit avoir des op rations suppl mentaires, qui sont : cristallographie 9 : Tables Internationales de cristallographie Page 3 sur 13 o 1 : un centre de sym trie o 2 : n miroirs parall les l'axe de rotation d'ordre n > 2, si le r seau en poss de un.

6 En effet dans un plan r ticulaire perpendiculaire l'axe An, tout noeud N a deux correspondants N1 et N2 par une rotation de + 2 /n et une rotation de - 2 /n qui sont distinctes). Le plan bissecteur est un miroir pour N1 et N2. Et il y aura n miroirs quivalents. Parmi les 32 classes cristallines, 11 poss dent un centre, on les appelle groupes de LAUE ou de Diffraction (voir le Chapitre 13), et parmi ces 11, il n'y en a que 7 satisfaire la seconde condition. Soit 7 r seaux de sym trie maximale d coulant de ces 7 classes, qui sont : 246133mmmmmmmmmmmmm d'o la classification des structures cristallines, selon la sym trie de leur r seau de translation, en 7 syst mes cristallins. Un syst me cristallin comprend toutes les classes cristallines compatibles avec le m me type de base de r seau. La r partition de ces classes dans les 7 syst mes cristallins se trouve Tableau Sym trie (*) SYSTEME 1 (*) TRICLINIQUE 2m MONOCLINIQUE.

7 On choisit l'axe b est parall le l'axe binaire. Celui-ci tant perpendiculaire un plan r ticulaire, les deux autres axes a et c sont perpendiculaires b. mmm ORTHORHOMBIQUE. Les l ments binaires sont 90 deg. les uns des autres ; , , abcrrrsont parall les ces l ments binaires 3m TRIGONAL Deux mailles primitives possibles : rhombo drique ou hexagonale. L axe A3 est soit l axe c de la maille hexagonale, soit la diagonale principale du rhombo dre. 4mmm QUADRATIQUE : cr est parall le l'axe A4, aetbrrsont perpendiculaires cr. Les plans 100 sont miroirs principaux, 1 1 0 miroirs secondaires. 6mmm HEXAGONAL cr est parall le l'axe A6, aetbrr sont perpendiculaires cr. Les plans 100 sont miroirs principaux, 1 1 0 miroirs secondaires. 3mm CUBIQUE Page 4 sur 13 cristallographie 9 : Tables Internationales de cristallographie , , abcrrr sont parall les aux axes quaternaires, aux axes binaires principaux directs et inverses.

8 Les directions <1 1 0> sont parall les aux axes binaires secondaires directs et inverses. Les directions <1 1 1> sont parall les aux axes ternaires. (*) Sym trie ponctuelle du r seau. Pour chaque syst me cristallin, on trouve une classe pr sentant la sym trie maximale (celle du r seau) : il y a 48 points quivalents dans l'espace pour le syst me cubique, 24 pour l'hexagonal et 16 pour le quadratique, Pour la m trique des bases de r seau : a, b, c, , , , on se r f rera au Tableau du Chapitre . 2. Remarque : les syst mes cristallins sont une classification des groupes de sym trie et non une classification selon le type de m trique. La m trique d'un r seau est d termin e par la sym trie. Les 14 r seaux de Bravais Les r seaux de Bravais (ou classes de Bravais) sont une classification des r seaux de translation prenant en compte : la m trique de la maille (voir les syst mes cristallins) le type de la maille : simple P, multiple A, B, C, F, I Dans un r seau donn , la totalit des l ments de sym trie correspondant au groupe ponctuel se croisent chaque noeud.

9 Il existe d'autres points dans la maille o se croisent les m mes l ments de sym trie, ce sont : o les milieux des faces, des ar tes o le centre de la maille On peut placer ces points de croisement, un motif identique celui qui se trouve sur les noeuds, puisque les op rations de sym trie du groupe laisseront ce motif invariant, comme sur les noeuds. Ces points de croisement sont donc des points analogues aux noeuds du r seau et ces translations demi-enti res,des translations de r seau. Par d finition, un r seau est maille multiple s'il est impossible de ramener la maille multiple une maille simple en respectant les conditions de sym trie du syst me cristallin. Le d nombrement des r seaux de Bravais ob it aux r gles suivantes : R gle 1 : dans une maille multiple, les coordonn es des noeuds sont enti res ou demi-enti res. Consid rons une maille b tie sur trois vecteurs :abcaetbrrrrr sont les vecteurs de base d une maille bidimensionnelle simple et donc les translations les plus courtes, crrepr sente la plus petite translation dans la direction Oz perpendiculaire aetbrr.

10 Si cette maille est multiple, on a d j vu , que les seules translations possibles taient: cristallographie 9 : Tables Internationales de cristallographie Page 5 sur 13 ()1/2tab=+rrr ; ()1/2tca=+rrr ; ()1/2tbc=+rrr respectivement faces C B et A centr es et ()1/2tabc=++rrrr ,maille corps centr e On d nombre les diff rents types de r seau (on dit aussi modes de r seau) , en s assurant que ces translations sont compatibles avec la sym trie du syst me cristallin R gle 2 : quand les deux faces d'une maille sont centr es, la troisi me l' est obligatoirement.. Figure - 1 ou 3 faces centr es Supposons que les faces C et A soient centr es. Il passe une rang e par les noeuds 1/2 1/2 0 et 0 1/2 1/2, dont la p riode est donn e par la distance entre ces deux noeuds. Par le noeud 1 0 0, il passe une rang e parall le et de m me p riode : la face B est aussi centr e en 1/2 0 1/2.