Chapitre 2 Etude des circuits linéaires; théorèmes …

1 13 Chapitre2 Etudedescircuitslin aires;th or mesg n l mentsdescircuitslin airesRappel:uncircuitlin aireestuncircuitnecomportantquedescompos ants(oudip les)lin airesilarelationentrelatensionu(t)etleco uranti(t)estunerelationa neouune quationdi rentielle coe cult sdelamod l ledelar sistanceR u i ne:u=Ri:L unit delar sistanceRestl ohm,not e-(-=V:A 1) lesducondensateur-Lecondensateurid alLarelationliantietuestune quationdi rentielle:i= ,Lyc eMontesquieu,LeMans23novembre200314 Chapitre2 Etudedescircuitslin aires;th or mesg n rauxCestlacapacit ducondensateur;sonunit estleFaradnot r el Enr alit ,uncondensateur,m meisol ,sed aux lectronsquiparviennent passerd unearmature l autre,l isolants parantcesarmaturesnepouvantpas nom nepeut tremod lis paruner sistanceplac eenparall led uncondensateurid al,appel er sistancedefuite,not +uRfLecondensateurid alestlecaslimited uncondensateurr elpourlequellar sistancedefuitetendversl a.

2 Le condensateur id al b. Le condensateur r el C C i i u u lesdelabobine-Labobineid aleLarelationliantietuestune quationdi rentielle:u=Ldidt:Lestl inductancedelabobine;sonunit estleHenry,not r elle Enpratique,labobineestconstitu ed ; nom nepeut- tremod lis paruneassociations ried uner sistanceravecunebobineid aled inductanceL:u=Ldidt+riLabobineid aleestlecaslimited unebobiner ellepourlaquellelar ,Lyc eMontesquieu, l mentsdescircuitslin aires15a. La bobine id ale b. La bobine r elle L i i u u L r l lesdug n rateurdetension-Leg n rateurdetensionid alUng n rateurdetensionid alimposeunetensioned termin e sesbornes:u(t)=e-Leg n rateurdeTh venin(oug n rateurdetension r el )Enr alit ,ung n rateurdetensionposs detoujoursuner sistanceinternenot lequel onpeutenproposerestlesuivant( ):u(t)=e Rgi:Leg n rateurdetensionid alestlecaslimited ung n rateurr el(deTh venin)pourlequellar lesdug n rateurdecourant-Leg n rateurdecourantr elUng n rateurdecourantid alimposeuncouranti0d termin sesbornes.

3 I(t)=i0-Leg n rateurdeNorton(oug n rateurdecourant r el )Enr alit ,ung n rateurposs detoujoursuner sistanceinternenot lequel onpeutenproposerestlesuivant( ):i(t)=i0 uRg=i0 ,Lyc eMontesquieu,LeMans23novembre200316 Chapitre2 Etudedescircuitslin aires;th or mesg n rauxe Rg i i e u u a. Le g n rateur de tension id al b. Le g n rateur de Th venin n rateurid aldecourantestlecaslimited ung n rateurr el(deNorton)pourlequellar sistanceinternetendversl Rg i i io u u a. Le g n rateur de courant id al b. Le g n rateur de Norton or mesg n rauxdescircuitslin airesAborderlar solutiondecircuitslin aires l aidedesloisdeKirchho seulement(loidesnoeudsetdesmailles)esten th oriesu sante,maisenpratiquesouventcomplexe,d squelecircuitd passeles3ou4mailles;lenombred inconnues(etd quations!)

4 Thodesmatriciellespourr soudrecegenredeprobl me(quiseravueult rieurementenmath).L autresm thodesder ,Lyc eMontesquieu, or mesg n rauxdescircuitslin aires17circuits lectroniquesutilisantdenouveauxth or mes(quisontsouventdescons quencesdesloisdeKirchho ). rieDeuxdip lessontditsens ries ilssontparcourusparlem associationens rieder sistancesR1 R2 u1 u u2 +u2=R1i+R2i=(R1+R2)i=Reqi:L associationdes2r sistancesens rieestdonc quivalente uner sistanceReq=R1+ sultatseg n ralisepourl associationdeNr sistancesplac esens rie:Req=NXk=1 associationens riedebobinesid alesu1 u u2 ,Lyc eMontesquieu,LeMans23novembre200318 Chapitre2 Etudedescircuitslin aires;th or mesg n rauxu=u1+u2=L1didt+L2didt=(L1+L2)didt=Le qdidt:L associationdes2bobinesid alesens rieestdonc quivalente unebobineid aled in-ductanceLeq=L1+ sultatseg n ralisepourl associationdeNbobinesens rie:Leq=NXk=1 associationens riedecondensateursid auxu1 u u2 C1 C2 +u2doncdudt=du1dt+du2dt=1C1i+1C2i= 1C1+1C2 i=1 Ceqi:L associationdes2condensateursid auxens rieestdonc quivalente uncondensateurid aldontlacapacit Ceqv +1= sultatseg n ralisepourl associationdeNcondensateursens rie.

5 1 Ceq=NXk=11 ,Lyc eMontesquieu, or mesg n rauxdescircuitslin associationens riedeg n rateursDeuxg n rateursdetensionplac sens riepermettentd additionnerlatensionauxbornesdechacund probl mesdemasses ventuels!Parcontre,associerdeuxg n rateursdecourantens rien aaucunsens:celarevendrait imposerdeuxcourantsdi rentsdansunm ! associationder sistancesens rie( ).u1=R1ietu2=R2i;u=(R1+R2)idoncu1=R1R1+R 2uetu2=R2R1+R2u:C estlepontdiviseurdetensionquipeutseg n raliser,pourNr sistancesplac esens rie:uk=RkR1+R2+::::::+RNuLepontdiviseurd etensionpeuts noncercommesuit:unetensionUauxbornesder sis-tancesplac esens riesepartageauxbornesdechacunedecesr sistancesproportionnellement lavaleurdechaquer !

6 Lepontdiviseurdetensionnepeuts appliquerquesiles2dip lessontens rie,c est- -direqu ristiqued uneassociationdedeuxdip lesens le(oud rivation)Deuxdip lessontditsenparall le(ouend rivation)s ilssontreli sauxdeuxm mesnoeuds,doncsoumis lam associationenparall leder sistancesi=i1+i2=1R1u+1R2u= 1R1+1R2 u=1 Requ:L associationdes2r sistancesenparall leestdonc quivalente uner sistancetelleque1=Req=1=R1+1= ,Lyc eMontesquieu,LeMans23novembre200320 Chapitre2 Etudedescircuitslin aires;th or mesg n raux R1 R2 u i i1 i2 sultatseg n ralisepourl associationdeNr sistancesplac esens rie:1 Req=NXk=11 associationenparall ledebobinesid alesL1 L2 u i i1 i2 + ,Lyc eMontesquieu, or mesg n rauxdescircuitslin aires21didt=di1dt+di2dt=1L1u+1L2u= 1L1+1L2 u=1 Lequ:L associationdes2bobinesid alesplac esenparall leestdonc quivalente unebobineid aledontl inductanceLeqv +1= sultatseg n ralisepourl associationdeNbobinesenparall le:1 Leq=NXk=11 associationenparall ledecondensateursid auxC1 C2 u i i1 i2 +i2=C1dudt+C2dudt=(C1+C2)dudt=Ceqdudt.

7 L associationdes2condensateursid auxenparall leestdonc quivalente uncondensa-teurdecapacit Ceq=C1+ sultatseg n ralisepourl associationdeNcondensateursens rie:Ceq=NXk=1 ,Lyc eMontesquieu,LeMans23novembre200322 Chapitre2 Etudedescircuitslin aires;th or mesg n associationenparall ledeg n rateursDeuxg n rateursdecourantplac senparall lepermettentd additionnerlescourantsdecesg n ,associerdeuxg n rateursdetensionenparall len aaucunsens:celarevendrait imposerdeuxtensionsdi rentes desm mesbornes! associationder sistancesens rie( ).i1=1R1ueti2=1R2u;i= 1R1+1R2 udonci1=1=R11=R1+1=R2ieti2=1=R21=R1+1=R2 i:C estlepontdiviseurdetensionquipeutseg n raliser,pourNr sistancesplac esens rie:ik=1=Rk1=R1+1=R2+::::::+1=RNiLepontd iviseurdecourantpeuts noncercommesuit:uncourantitraversantdesr sistancesplac esenparall lesepartagedanschacunedecesr sistancesinversementproportionnelle-ment lavaleurdechaquer ristiqued uneassociationdedeuxdip lesenparall or medeMillmanLeth or medeMillmanesttoutsimplementlaloidesnoeu dsexprim ( ):i1+i2+i3+:::=0soit1R1u1+1R2u2+1R3u3+:: :=0VA VB1R1+VA VB2R2+VA VB3R3+:::=0(1)soitencoreVB1R1+VB2R2+VB3R 3+:::=VA 1R1+1R2+1R3+::: :(2)Leth or medeMillmanpeut treexprim sousl criture(1)ousouslaforme(2).

8 Ceth or mepeut treutilepourlimiterlesinconnueslorsd uner objectifestdecalculerunetension,l utilisationdelaloidesmaillesenplusduth or medeMillman di rentsnoeudspermetden introduirequedestensionssansjamaisfairei nterveniruncourant:lenombred inconnuesestalors(th oriquement)divis ,Lyc eMontesquieu, or mesg n rauxdescircuitslin aires23A B1 B2 B3 B4 R1 R3 R4 R2 U3 U2 U1 U4 or duth or meEnr gimepermanent,l intensit quiparcourtlesdip lesconstituantsunr seaulin aireestlasommedesintensit sobtenuesdanslesdi rents tatsdur seauo touteslessources,saufune,sontpassiv me,enr gimepermanent,latensionauxbornesdedip lesconstituantsunr seaulin aireestlasommedestensionsobtenuesdansles di rents tatsdur seauo touteslessources,saufune,sontpassiv autrestermes,s ill onrechercheparexemplelatensionUauxbornes d undip le,dansuncircuitcontenant3sources(1),(2) et(3),onpeutdansunpremiertemps teindre (ouplut tpassiver)

9 Lesg n rateurs(2)et(3)ennelaissantallum que(1)etcalculerU1auxbornesdudip op rationestrecommenc eennelaissantallum que(1)(avec(1)et(2)passiv s)quidonneU1auxbornesdudip leconsid r ;puisl op rationestrecommenc eavec(3) equandtouslesdip lessontallum senm metempsestU=U1+U2+ n rateur?Passiverung n :-pourung n rateurdetension:rendrelatensionnulle,c est- -direremplacerleg n ;-pourung n rateurdecourant:rendrelecourantnul,c est- -direremplacerleg n mas,passiverunesourcerevient enleverlecercle dug n -rateur(voirexplicationenclasse). or mesdeTh veninetdeNortonCesth or messontd sormaishorsprogrammes,bienqu ,Lyc eMontesquieu,LeMans23novembre2003