Chapitre 1 Cinématique du point matériel - cpge.eu

1 7. Chapitre 1. Cin matique du point mat riel Introduction Domaine d' tude Le programme de m canique de math sup se limite l' tude de la m canique classique. Sont exclus : la relativit et la m canique quantique. La cin matique consiste uniquement d crire les trajectoires de points en mouvement, sans s'occuper de ce qui peut tre la cause de leur mouvement. Le lien entre la cause des mouvements (les forces) et les trajectoires sera l'objet du Chapitre suivant (dynamique du point mat riel). Un peu d'histoire La m canique a t tudi depuis plusieurs mill naires par l'homme, en particulier pour r - pondre aux besoins de la construction. Les gyptiens par exemple ont d velopp les techniques permettant d' lever de lourdes charges.

2 La d veloppement de la partie th orique de la m canique n'intervient que relativement r cemment. Quelques dates peuvent tre cit es : - 1638 : Galil e publie discours et d monstrations, deux sciences nouvelles , ouvrage dans lequel il aborde les probl mes de r sistance des mat riaux et de mouvement des corps pesant notamment, en d nissant math matiquement la vitesse et l'acc l ration ;. -1657 : Huygens met au point la premi re horloge balancier, ainsi que la premi re montre balancier et ressort spiral ;. -1687 : Newton publie Principes math matiques de philosophie naturelle , ouvrage capital qui est le fondement de la m canique classique. En n aux XV III i eme et XIX i eme si cles, des savants tels que d'Alembert, Lagrange, Coriolis et d'autres, formalisent la th orie pour l'amener la th orie classique telle qu'on la conna t aujourd'hui.

3 Les d veloppements de la recherche actuelle en m canique classique s'appuient toujours sur les m mes quations fondamentales ; toutefois les probl mes tudi s sont plus complexes, comme par exemple les vibrations dans des solides (voitures), les corps sont plus complexes comme les probl mes de corps d formables, la m canique des uides (turbulences par exemple) ;. on peut citer aussi les tudes sur les r sistances des mat riaux. Ce ne sont l que quelques exemples, mais les quations fondamentales ne sont pas remises en cause. L. Menguy, Lyc e Montesquieu, Le Mans 21 novembre 2003. 8 Chapitre 1 Cin matique du point mat riel Rep rage d'un point ; syst mes usuels de coordonn es Choix d'un syst me de coordonn es L'espace contient 3 dimensions ; cela signi e qu'il faut 3 coordonn es pour d nir la position d'un point M dans l'espace.

4 La premi re tape consiste choisir un point qui servira de r f rence : c'est le point origine not O. ! Le point M est alors rep r par rapport O : on note ! r = OM le vecteur position de M. ! Il reste rep rer le vecteur OM ; il faut pour cela d nir une base vectorielle not e ! . ! . ! ( e1 ; e2 ; e3 ). ! Le vecteur OM peut alors se d composer dans cette base en : ! OM = u1 ! e1 + u2 . e! ! 2 + u3 e3 : ! (u1 ; u2 ; u3 ) sont les coordonn es du vecteur OM dans la base ( . e! . ! ! 1 ; e2 ; e3 ). Toutefois, pour des raisons pratiques (en particulier lors de calculs de produits scalaires et produits vectoriels), il est important que la base utilis e soit orthonorm e directe.

5 Orthonorm e signi e : -ortho : . e! ! = 0;. 1 : e2. ! ! e1 : e3 = 0;.. e! ! = 0;. 2 : e3. -norm : k . e! ! ! 1 k = k e2 k = k e3 k = 1: Cette base est de plus directe si : . e! . ! = . 1 ^ e2. ! e3 ;. ! . ! . ! e2 ^ e3 = e1 ;.. e! . ! = . 3 ^ e1. ! e2 : Remarque La base orthonorm e tant directe, la r gle des trois doigts peut- tre uti- lis e (cf explication en classe). Il est tr s important de bien choisir le syst me de coordonn es dans lequel la description du probl me va tre faite pour simpli er les calculs. Dans le plan par exemple, on pourra utiliser 2 axes x et y et rep rer ainsi le point M tudi . Toutefois, si le mouvement de M est circulaire, l'utilisation de x et y sera compliqu e : il vaudra mieux rep rer le point par sa distance depuis le centre O (rayon r), et l'angle parcouru.

6 C'est ce que l'on appelle les coordonn es polaires. Pour un mouvement trois dimensions sur la Terre, il est usuel (et plus simple !) de rep rer un point par sa latitude, sa longitude et son altitude (c'est ce que l'on va appeler le syst me de coordonn es sph riques). 21 novembre 2003 L. Menguy, Lyc e Montesquieu, Le Mans Section Rep rage d'un point ; syst mes usuels de coordonn es 9. Les di rents syst mes de coordonn es Les coordonn es cart siennes Soit un point xe O (appel origine), et une base orthonorm e directe ( . e! . ! ! x ; ey ; ez ) xe. M. ez O ey ex Coordonn es cart siennes Le vecteur position se note : ! OM = x . e! ! ! x + y ey + z ez ;. les coordonn es cart siennes sont (x; y; z).

7 Les coordonn es cylindriques (ou cylindro-polaires). De nombreux probl mes poss dent un axe privil gi , et l'utilisation du syst me de coor- donn es cart siennes est alors peu judicieuse. Un point en rotation autour d'un axe (sur un man ge tournant par exemple) est plus ais ment rep r par sa distance au centre, et par un angle de rotation autour de l'axe. C'est pour faciliter l' tude de ce genre de probl mes que sont introduites les coordonn es cylindriques. Soit un point xe origine O et le syst me de coordonn es cart siennes (O; x; y; z) pr c - demment d ni. Soit M un point que l'on cherche rep rer. L'axe privil gi du probl me est plac suivant (Oz) (par exemple l'axe de rotation du man ge).

8 Soit H le projet de M sur le plan (O; x; y), et Z le projet de M sur l'axe (Oz): Le point M est rep r par : -r la distance de M l'axe (Oz), soit la distance ZM ou encore OH ;. ! ! - l'angle (Ox; OM ) ;. -z la distance HM , soit encore la distance OZ. r est appel rayon polaire ; est l'angle polaire et z la cote. La position de chaque point doit toutefois tre toutefois d nie par un unique triplet (r; ; z). r ne varie donc que de 0 +1 ; varie de 0 2 ; z varie de 1 +1. Remarque Ce syst me de coordonn es est une version 3 dimensions du syst me de coordonn es polaires : z est la hauteur du point M par rapport au plan (Oxy), puis (r; ). sont les coordonn es polaires de M dans le plan z = cte.

9 L. Menguy, Lyc e Montesquieu, Le Mans 21 novembre 2003. 10 Chapitre 1 Cin matique du point mat riel z r ez e . ez er M. O. r y ez . e . x er H. Coordonn es cylindriques Remarque r n'est jamais n gatif (c'est une distance), car alors les points de coordon- n es (r; ; z) et ( r; + ; z) seraient les m mes : il y aurait alors plusieurs coordonn es di rentes permettant de d nir la position d'un point donn . Il reste d nir une base locale associ e ce syst me de coordonn es cylindriques et not e ( . e! . ! ! r ; e ; ez ) : ! ! ! - er = OH=OH = ZH=ZH ; c'est le vecteur radial ;. - e! z est le m me vecteur qu'en coordonn es cart siennes ;. - e! ! ! ! est un vecteur tel que la base ( er ; e ; ez ) soit orthonorm e directe, ce qui signi e.

10 ! . ! . ! e = ez ^ er ; c'est le vecteur orthoradial. Remarque Pour rep rer les directions et les sens des vecteurs de la base cylindrique, il su t de se souvenir de la remarque suivante : -si r est augment r + r, tout en gardant et z constants : le point M se d place dans la direction de e! r ;. -si est augment + , tout en gardant r et z constants : le point M se d place dans la direction de e! ;. -si z est augment z + z, tout en gardant r et constants : le point M se d place dans la direction de e! z. Remarque Il faut bien remarquer que la base ( ! er ; . e! . ! . ! ; ez ) est mobile ! Les vecteurs er . ! et e ont une direction changeante quand le point M se d place.