FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4 - ginoux.univ-tln.fr

1 1 FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4 A. FONCTIONS exponentielle, puissance et logarithme 1. La fonction exponentielle de base a (0a>) ()():xLn axfxyfxae ===\\6 Cette fonction est continue et d finie sur \ et sa d riv e s' crit : ()()()()()()''xLn axLn axxaeLn a eLn a a== = Cas particulier : l'exponentielle de base e Propri t s : 011 ; eee== (), xxLn ex =\ ()*, Ln xxex+ =\ ()2,, xyxyxyeee+ = \ ()2,, xxyyexyee =\ ()1, nxnxxxneeee = =] ()()()()''uxuxeuxe= 2 Limites : 01lim1xxex = limxxe =+ lim0xxe = lim ; xxex =+ ] 2. La fonction logarithme de Neper () ()*:fxyfx Lnx+ ==\\6 Cette fonction est continue et d finie sur *+\ et sa d riv e s' crit : ()()1'Ln xx= Propri t s : ()10Ln= ()1Ln e= (), xxLn ex =\ ()*, Ln xxex+ =\ ()( )()()2,, xyLnx y Lnx Lny = +\ ()() ()2,, xxyLnLnxLnyy = \ ()(), nnLnxn Lnx = ] () 01 , 0xLnx <<< 3 Limites : ()limxLn x =+ ()0limxLn x+ = ()1lim11xLn xx = ()lim0 ; xLn xx + = ] ()()001limlim11xxLnxxxLnx +==+ ()0lim0 ; 0xxLnx => 3.

2 La fonction puissance ()()*:mLn xmfxyfxxe+ ===\\6 Cette fonction est continue et d finie sur *+\ et sa d riv e s' crit : ()1'mmxmx = 44. La fonction cosinus hyperbolique ():2xxfeexychx +==\\6 La fonction ()ychx=est une fonction PAIRE. Cette fonction est continue et d finie sur \ et sa d riv e s' crit : ()()()'ch xsh x= 5. La fonction sinus hyperbolique ():2xxfeexyshx ==\\6 La fonction ()yshx=est une fonction IMPAIRE. Cette fonction est continue et d finie sur \ et sa d riv e s' crit : ()()()'shxchx= 56. La fonction tangente hyperbolique ()()():xxxxfsh xeexythxch xee == =+\\6 La fonction ()ythx=est une fonction IMPAIRE. Cette fonction est continue et d finie sur \ et sa d riv e s' crit : ()()()21'th xch x= Relations importantes : ()()221chxshx = ()()xch xsh xe+= ()()xch xsh xe = ()()2211thxchx= Lien hypertexte : 6B.

3 FONCTIONS HYPERBOLIQUES inverses 1. La fonction argsinus hyperbolique ()()()21 yArgsh xLn xxxsh y==++ = Cette fonction continue et d finie sur \ et sa d riv e s' crit : ()()21'1 Argsh xx=+ 2. La fonction argcosinus hyperbolique ()()()21 yArgch xLn xxxch y== = Cette fonction continue et d finie sur ][1,+ et sa d riv e s' crit : ()()21'1 Argch xx= 3. La fonction argtangente hyperbolique ()()11 21xyArgthxLnxthyx+ == = Cette fonction continue et d finie sur ][1, 1 + et sa d riv e s' crit : ()()21'1 Argth xx= N 3 FONCTIONS HYPERBOLIQUES N 1 : tudier le passage de la trigonom trie circulaire la trigonom trie hyperbolique. N 2 : tudier les FONCTIONS : () () ()1, , , 1xch xsh xth xthx + N 3 : D montrer que : ()22tan21tan2xsin xx = + ()22212xthsh xxth = N 4 : D montrer que ()()()()Arctan sh xArcsin th x= N 5 : tudier la fonction ()2211xfx Argchx += N 6 : D montrer que ()1121xArgth xLnx+ = N 7 : tudier la fonction ()1fx Argthx =