Capítulo 2 Impedancia acústica - tesis.uson.mx

1 Cap tulo 2 Impedancia ac sticaEs com n encontrar el t rmino Impedancia en diferentes ramas de la F sica ya quees la relaci n entre la magnitud de una acci n peri dica y la respuesta producida enel sistema f sico; as , tenemos la Impedancia el ctrica que es la raz n entre el voltajey la corriente, como una medida de la oposici n del circuito al paso de la segunda; laimpedancia mec nica, como la medida de la oposici n al movimiento de una estructurasujeta a una fuerza. La Impedancia ac stica est relacionada a la propagaci n de ondassonoras en un medio ac cap tulo tiene como objetivo revisar la Impedancia ac stica y calcular las impe-dancias relevantes para el estudio del resonador.

2 Comenzaremos estudiando el osciladorforzado y amortiguado para identificar elementos importantes que aprovecharemos en eldesarrollo de este trabajo y como una ilustraci n del concepto de Impedancia mec nicaConsideremos un cuerpo de masambajo la acci n de una fuerza de restituci n linealen la posici n kx, sujeto a una fuerza disipativa proporcional a la velocidad, Rmdxdt,dondeRmes una constante positiva llamada resistencia mec nica, e impulsado por unafuerza externaF(t). La ecuaci n que describe el movimiento se obtiene a partir de lasegunda ley de Impedancia mec nica20 Figura : Oscilador sujeto a una fuerza de restituci n kx, fuerza disipativaRm xeimpulsado porF(t).

3 Md2xdt2= kx Rmdxdt+F(t)( )Dividiendo pormy redefiniendo los par metros =Rm2m( )omega20=km( )la ecuaci n de movimiento lleva a la ecuaci n diferenciald2xdt2+ 2 dxdt+ 20x=f(t)( )dondef(t)es la fuerza externa por unidad de soluci n a la ecuaci n anterior ser entonces la suma de dos partes: la soluci ngeneral a la ecuaci n homog nea,xH(t), que contiene dos constantes arbitrarias, y unasoluci n particular,xP(t), que depender del forzamiento externof(t):x(t) =xH(t) +xP(t)( )La soluci nxH(t)se obtiene resolviendo la ecuaci n homog nead2xdt2+ 2 dxdt+ 20x= 0( )dado que la ecuaci n es lineal y de coeficientes constantes su soluci n es de la formax=Ae t( ) Impedancia mec nica21donde satisface la ecuaci n algebraica que se sigue de sustituir la soluci n anterior en( ) 2+ 2 + 20= 0( )este polinomio de segundo grado tiene como ra ces = 2 20( )Para nuestro prop sito es suficiente considerar el caso en que la resistencia mec nicaes muy peque a, por ello 0> , de modo que es un n mero complejo.

4 Notamos que siRm= 0entonces = i 0lo que sugiere definir una nueva constante a= 20 2( )con lo cual se escribe ahora como = i a( )y aresulta ser la frecuencia angular del oscilador corregida por el que asiempre es menor que la frecuencia angular natural 0del oscilador soluci n general a la ecuaci n homog nea es entoncesxH(t) =e t(A1ei at+A2e i at)( )dondeA1yA2son constantes reales arbitrarias. En forma alternativa, la soluci nxH(t)se puede escribir comoxH(t) =Ae tcos( at+ )( )dondeAy son constantes reales determinadas por las condiciones al factor exponencial negativo, despu s de un tiempot 1/ , el t rmino deamortiguamiento hace que la soluci nxH(t)sea despreciable comparada con la soluci Impedancia mec nica22xP(t)y por lo tanto el movimiento del oscilador se describe porxP(t)para tiempos grandesx(t) xP(t)t 1 ( )Lo anterior podemos entenderlo de la siguiente manera.

5 El movimiento tiene dos etapas,en los primeros instantesxH(t)contribuye significativamente al movimiento junto conxP(t), esta etapa del movimiento se conoce como transitorio, el movimiento transitoriodepende de las condiciones iniciales; luego, conforme transcurre el tiempo la contribuci ndexH(t)es cada vez m s peque a y el movimiento se parece cada vez m s axP(t),esta etapa se conoce como estacionario. El movimiento estacionario descrito porxP(t)esindependiente de las condiciones iniciales y s lo depende del forzamiento buscamos la soluci n particular; para ello, consideramos que el forzamientoexterno es del tipo sinusoidal,f(t) =f0cos t, para tener la ecuaci nd2xdt2+ 2 dxdt+ 20x=f0cos t( )La soluci n particular de la ecuaci n ( ) se encuentra m s f cilmente si reemplaza-mos el forzamiento externof0cos tpor la parte real de la expresi n complejaf(t) =f0ei el operador del lado izquierdo de la ecuaci n ( ) es lineal, y adem s real, pode-mos reemplazar la variablexpor la parte real de la variable complejax=x+iy.

6 Con loanterior la ecuaci n diferencial a resolver se convierte en1d2xdt2+ 2 dxdt+ 20x=f0ei t( )y de su soluci n basta tomar la parte real para obtenerx(t).Por ser ( ) una ecuaci n diferencial lineal, la soluci n particular tiene la formax=Aei t( )dondeAes una constante compleja. Sustituyendo en la ecuaci n diferencial tenemos( 2+ 2i + 20)Aei t=f0ei t( )1De aqu en adelante reservaremos la notaci n en negrita para denotar n meros Impedancia mec nica23cancelando el factorei ty despejandoAquedaA=f0 20 2+ 2i ( )lo que lleva a la soluci n del desplazamiento complejox(t)x(t) =1i mf0ei tRm+im ( 2 20)( )Derivando la expresi n anterior con respecto al tiempo obtenemos una velocidad enlos complejos cuya parte real es la velocidad del osciladoru(t) =mf0ei tRm+im ( 2 20)( )

7 Las ltimas dos expresiones pueden ser escritas en una forma m s sencilla si definimoslaimpedancia mec nicadel sistema,Zm, como la funci n compleja de la variable Zm( ) =Rm+im ( 2 20)( )entoncesxyuse escriben comox(t) =1i F0 Zmei t( )u(t) =F0 Zmei t( )dondeF0=mf0es la amplitud de la fuerza expresiones nos permiten aclarar el significado f sico de la impedanciaZm; paraello, basta tomar su forma polarZm=Zmei ( )dondeZmes la magnitud de la impedanciaZm( ) = R2m+m2 2( 2 20)2( )y es la fase de la Impedancia ( ) =tan 1m( 2 20) Rm( ) Impedancia mec nica24 Usando la forma polar deZmpodemos escribir las ecuaciones ( ) y ( ) en laformax(t) =F0 Zmei( t 2)( )u(t) =F0 Zmei( t )( )y hemos usado la identidad i=e i 2.

8 La parte real de estas expresiones nos dan laposici n y velocidad del oscilador en el estado estacionariox(t) =F0 Zm( )sen( t )( )u(t) =F0Zm( )cos( t )( )donde usamoscos( 2) =sen . Es decir, la amplitud de la velocidad, en el r gimenestacionario, es inversamente proporcional a la magnitud de la Impedancia mec nica y lafase de la Impedancia representa el desfasamiento entre la aplicaci n de la fuerza y la ve-locidad del significa que la Impedancia mec nica, como n mero complejo,contiene toda la informaci n sobre la respuesta del oscilador en el r gimen estacionario,una vez conocido el forzamiento parte real de la Impedancia representa la resistencia mec nica; la parte imaginariase llamareactanciay se denota conX=={Z}.

9 La rectancia mec nica del oscilador es lafunci n de la frecuencia :Xm( ) =m ( 2 20)( )que permite escribir la Impedancia del oscilador como la suma, compleja, de la resistenciay la reactanciaZm=Rm+iXm( )con magnitudZm= R2m+X2m( )2 Note que igualmente pudimos definir una Impedancia en relaci n con la posici n del oscilador, lo cuales m s frecuente en los sistemas mec nicos, pero para el prop sito del presente trabajo es preferible laimpedancia en relaci n con la Impedancia ac stica25 Claramente, de las ecuaciones ( ) y ( ), la respuesta del oscilador es m ximacuandoZmes m nima y esto ocurre para aquellas frecuencias que hacen que la reactanciasea cero.

10 Este fen meno se llamaresonanciay la frecuencia a la cual ocurre se llamafrecuencia de la expresi n ( ) se sigue que para el oscilador la frecuencia de resonancia es r= 0; es decir, si el forzamiento externo tiene la misma frecuencia que la frecuencianatural del oscilador la amplitud de respuesta del oscilador tiene un m ximo local y lamagnitud de la Impedancia es m Impedancia ac sticaLa Impedancia ac stica, cuyo s mbolo esZ, es la raz n de la presi n ac stica al flujo devolumen ac stico,Z=p/U. El flujo es medido en metros c bicos por segundo, entonces,de la definici n podemos ver que las unidades de la Impedancia ac stica son de presi npor segundo sobre metro c bico,Pa Impedancia ac stica es una funci n que var a con la frecuencia.