HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS -COMPARACIÓN DE DOS …

1 P g. 1 M dulo 12. HERRAMIENTAS ESTAD STICAS-COMPARACI N DE DOS MUESTRAS: t-test (Apuntes) CURSO DE APLICACI N DE LOS M TODOS ESTAD STICOS A LA CALIDAD M DULO-2 ESTIMACI N Y CONTRASTES HERRAMIENTAS ESTAD STICAS -COMPARACI N DE DOS MUESTRAS: t-test M dulo 12 APUNTES DE CLASE Profesor: Arturo Ruiz-Falc Rojas Madrid, Mayo 2009 HERRAMIENTAS ESTAD STICAS-COMPARACI N DE DOS MUESTRAS: t-test P g. 2 M dulo 12. HERRAMIENTAS ESTAD STICAS-COMPARACI N DE DOS MUESTRAS: t-test (Apuntes) NDICE 4. QU ES UN CONTRASTE DE HIP TESIS? .. 3 5. METODOLOG A DEL CONTRASTE DE HIP 3 6. CONTRASTES EN POBLACIONES NORMALES DE USO 7 7. COMPARACI N DE DOS TRATAMIENTOS.

2 8 EL PROCESO DE MEJORA M S SIMPLE: COMPARACI N DE ALTERNATIVAS .. 8 COMPARACI N DE LA MEDIA DE DOS PROCESOS DE FABRICACI N. CASO VARIANZA CONOCIDA .. 9 COMPARACI N DE LA MEDIA DE DOS PROCESOS DE FABRICACI N. CASO VARIANZA DESCONOCIDA .. 13 FORMACI N DE BLOQUES ALEATORIZADOS: CASO DE ENSAYOS EMPAREJADOS. VENTAJAS E INCONVENIENTES .. 15 8. CONTRASTES DE AJUSTE .. 19 Concepto de contraste de ajuste .. 19 Contraste Chi-cuadrado de 20 Contraste de Kolmogorov Smirnov (KS) .. 23 Contraste de Anderson-Darling (AD) .. 24 Aplicaci n a los contrastes de normalidad .. 24 9. BATER A DE EJERCICIOS DE CONTRASTES .. 27 CASO 30 Escena 1 .. 30 Escena 2.

3 31 Escena 3 .. 31 HERRAMIENTAS ESTAD STICAS-COMPARACI N DE DOS MUESTRAS: t-test P g. 3 M dulo 12. HERRAMIENTAS ESTAD STICAS-COMPARACI N DE DOS MUESTRAS: t-test (Apuntes) 4. QU ES UN CONTRASTE DE HIP TESIS? Un contraste estad stico de hip tesis consiste en evaluar una poblaci n a trav s de una muestra aleatoria de la misma, con objeto de determinar si existen evidencias para que una hip tesis formulada sobre la poblaci n deba ser rechazada o no pueda ser rechazada. Seg n su aplicaci n, se pueden dividir los contrastes: Contrastes de un valor concreto de un par metro del modelo. Contrastes para validar la funci n de distribuci n que se supone ha generado los datos (contrastes de ajuste).

4 De momento nos referiremos nicamente a los contrastes del primer tipo, dejando los contrastes de ajuste para un ep grafe monogr fico al final de este m dulo. 5. METODOLOG A DEL CONTRASTE DE HIP TESIS Un contraste de hip tesis requiere naturalmente el establecimiento de una hip tesis previa, que se denomina hip tesis nula y se representa por H0, y compararla con otra, que se denomina hip tesis alternativa y se representa por H1. Puede ocurrir que las hip tesis formuladas sean simples o compuestas. Hip tesis simples son aquellas que presuponen un valor dado para el par metro y compuestas son aquellas que no son simples. Por ejemplo, si se formulan las hip tesis: H0: La probabilidad de sacar cara al lanzar una moneda es p= H1: La probabilidad de sacar cara al lanzar una moneda es p H0, es una hip tesis simple y H es una hip tesis compuesta.

5 Una vez fijada la hip tesis sobre un par metro de la poblaci n , es preciso encontrar un estad stico pivote, que est relacionado con este par metro y cuya HERRAMIENTAS ESTAD STICAS-COMPARACI N DE DOS MUESTRAS: t-test P g. 4 M dulo 12. HERRAMIENTAS ESTAD STICAS-COMPARACI N DE DOS MUESTRAS: t-test (Apuntes) distribuci n sea conocida. Este estad stico va a aportar el criterio de decisi n seg n el valor que alcance en la muestra. Para fijar el valor cr tico, frontera que marca el cambio de decisi n, es necesario fijar el riesgo de equivocarse que se est dispuesto a asumir. En efecto, en un contraste de hip tesis se pueden cometer errores de dos tipos: Error tipo I: Consiste en rechazar la hip tesis nula cuando es cierta.

6 Error tipo II: Consiste en aceptar la hip tesis nula cuando es falsa. DECISI N VERDAD DESCONOCIDA TOMADA H H NO SE RECHAZA H0 ( SE ACEPTA H0 ) ACIERTO p = 1 - ERROR TIPO II p = SE RECHAZA H0 ( SE ACEPTA H ) ERROR TIPO I p = ACIERTO p = 1 - Tabla 1: Errores en un contraste de hip tesis A la probabilidad de rechazar la hip tesis nula siendo cierta, se le denomina nivel de significaci n del contraste, a la probabilidad 1 - de rechazar la hip tesis nula siendo falsa se le denomina potencia del contraste. es funci n del valor real de de la poblaci n, es decir, = ( ). A la funci n = ( ) se le llama caracter stica de operaci n o simplemente curva CO y a la funci n ( )= 1- ( ) se le llama funci n de potencia del contraste.

7 Como puede observarse existe un paralelismo con la elaboraci n de intervalos de confianza. El modo de calcular el valor cr tico c var a seg n est n formuladas H0 y H (ver Figura 1). HERRAMIENTAS ESTAD STICAS-COMPARACI N DE DOS MUESTRAS: t-test P g. 5 M dulo 12. HERRAMIENTAS ESTAD STICAS-COMPARACI N DE DOS MUESTRAS: t-test (Apuntes) Contraste de Hip tesis HH = >HH = <HH = Figura 1: Valor cr tico c VALOR OBTENIDODEL ESTAD STICO:NO RECHAZARK: VALOR OBTENIDODEL ESTAD STICOHo: VALOR SUPUESTO ALPAR METROCONTRASTADOVALOR OBTENIDODEL ESTAD STICO:RECHAZARPROBABILIDADDE RECHAZARSIENDO CIERTOHo Figura 2: Distribuci n del estad stico pivote EEJJEEMMPPLLOO SSEE HHAA DDEESSPPLLAAZZAADDOO EELL PPRROOCCEESSOO?

8 ? Una m quina herramienta produce unas piezas cuya calidad se caracteriza, entre otros factores, por el di metro exterior. Por datos hist ricos se sabe que la HERRAMIENTAS ESTAD STICAS-COMPARACI N DE DOS MUESTRAS: t-test P g. 6 M dulo 12. HERRAMIENTAS ESTAD STICAS-COMPARACI N DE DOS MUESTRAS: t-test (Apuntes) desviaci n t pica del proceso de mecanizado sensiblemente constante e igual a 0,30 mm. La m quina cuenta con un sistema de ajuste que permite variar el di metro del mecanizado. El di metro nominal es 9,75 mm siendo las tolerancias sim tricas. Para comprobar si la m quina est correctamente ajustada, se mide una muestra aleatoria de cinco piezas del lote.

9 Los resultados de la medida son 9,40 mm, 9,70 mm, 9,65 mm, 8,95 mm y 9,50 mm Est el proceso de mecanizado ajustado en 9,75 mm? En el cap tulo anterior vimos que la media muestral se distribuye seg n una N( , / n). Entonces el estad stico: zxn= se distribuir seg n una ()N . En este caso = 9,75, = 0,3, x= y n = 5. Con estos datos resulta: z= = Por las tablas de la distribuci n normal sabemos que, si efectivamente la m quina est trabajando centrada en 9,75 mm, tenemos aproximadamente un 2% de probabilidad de sacar una muestra de tama o 5 cuyo di metro medio se aleje del nominal en m s de mm.

10 Son entonces los resultados de la muestra una evidencia de que el proceso est desajustado? La estad stica no es capaz de dar una respuesta contundente, nicamente dice que con un nivel de significaci n inferior al 1% se puede rechazar esta hip tesis. Cu l es el nivel de significaci n que hay que tomar? A esa pregunta no la responde la estad stica sino el sentido com n de quien utiliza la estad stica. Solo diremos que son habituales valores de del 5% o del 10%. Por lo tanto si adoptamos un nivel de significaci n superior al 2% deberemos rechazar la hip tesis que la m quina est ajustada y proceder a su reajuste.