Leyes de Kepler - yoquieroaprobar.es

1 1 INTERACCI N GRAVITATORIALEYES DE KEPLERLas Leyes de Kepler son fenomenol gicas. Es decir, se limitan a describir de manera cinem tica c mo semueven los planetas en sus rbitas alrededor del Sol,pero nada dicen acerca de las causas queprovocan ese las Leyes fueron enunciadas inicialmente para el Sistema Solarson aplicables a cualquier objetoceleste que orbitealrededor de otro astro un concienzudo an lisis de miles de datos recopilados por el astr nomo Tycho Brahe para la rbitade Marte, Kepler enunci lasleyes del movimiento de Kepler Primera Ley de Kepler (1609.)

2 Astronom a Nova)"Los planetas describen rbitas el pticas, estando el sol en uno de sus focos." Segunda Ley de Kepler (1609. Astronom a Nova)"El vector de posici n de cualquier planeta con respecto del Sol (vector que tiene el origen en elSol y su extremo en el planeta considerado) barre reas iguales en tiempos iguales."En la figura(si se supone que t es el mismo):A1= A2De forma general:El cociente mide la rapidez con que el radio vector barre el rea A y se conocecomovelocidad areolar. Tercera Ley de Kepler (1619. Harmonicis Mundi)"Los cuadrados de losperiodos de revoluci n(T)son proporcionalesa los cubos de las distan-cias promedio de los planetas al sol (r).

3 "T2 =k r3 Dondekes una constante de proporcionalidad (constante de Kepler ) que depende de la masadel astro central. Para el Sistema Solark= s2/m3 rcoincide con el valor delsemieje mayor para rbitasel pticas. 12 AAttAAvt rea barrida (en un tiempo t)por el radio vector cuando elplanetaest en la zona m salejada. rea barrida (en un tiempo t)por el radio vector cuando elplaneta est en la zona m spr xima al Sol est situado en unode los focos de la elipseEl planeta describeuna rbita el Para comprender las verdaderas causas del movimiento planetario habr a que esperar a que Newton, en1687, enunciara la Ley de Gravitaci n Leyes de Kepler surgen entonces como consecuenciasde la naturalezade la fuerza nMercurio0,20612,12 Venus0,0070,41 Tierra0,0171,00 Marte0,0935,47J piter0,0482,82 Saturno0,0543,18 Urano0,0472,76 Neptuno0,0090.

4 53 Ejemplo 1La Tierra orbita alrededor del Sol con un periodo de 365,25 d as. Calcular la distancia media entre laTierra y el : La constante de Kepler para el Sistema Solar vale:k= s2/m3 Soluci n:Partimos de la tercera ley de Kepler : T2 = k r3 y despejamos la inc gnita (r):NOTA: La distancia media entre el Sol y laTierra es de unos 150 millones de km (149597 870 km) y es usada en astronom a comomedida de distancia. Se le da el nombre deunidad astron mica (ua).En la tabla de la derecha se comparan las dis-tancias de los planetas al Sol (en ua) medidaspor Cop rnico y las actuales.

5 (Fuente : Wikipedia)PlanetaCop rnico (ua)Actual (ua)Mercurio0,3860,387 Venus0,7190,723 Marte1,5201,524J piter5,2195,203 Saturno9,1749,555 Cu nto de el ptica?Aunque estrictamente la rbita descrita por la Tierra en su movimiento alrededor del Sol es una elipse,realmente se aproxima mucho a un c excentricidad de la elipse para la rbita terrestre tiene un valor e = 0,017. Una excentricidad cero co-rresponde a un c rculo. Cuanto m s se aleje de cero m s aplanada ser la elipse. El valor m ximo, 1,se corresponder a con una distancia de la Tierra al Sol en el punto m spr ximo (perihelio) es de 147 055091 distancia de la Tierra al Sol en el punto m s alejado (afelio) es de 152 141 431 la diferencia (unos5000000 km) puede parecer considerable, en realidad se corresponde conun escaso 3 % de diferencia entre ambos rbita de Marte tiene una excentricidad considerable.

6 Debido a esa acusada excentricidad fue al inten-tar resolver su rbita donde surgieron las mayores diferencias respecto de la rbita denomina excentricidad de la elipse a la relaci nentre la distancia focal, c,y el semieje mayor, a: Si c=0, la excentricidad es nula y tenemos unacircunferencia. Si c = a, la excentricidad es la unidad y tenemosuna la expresi n de c en funci n de a y b tam-bi n podemos expresar la excentricidad como: 272233, 1186331, m 1, km kmm cabbaaa 222213 Ejemplo 2 Marte se encuentra situado a una distancia media del Sol de 1,52ua.

7 Cu l es el periodo orbital deMarte alrededor del Sol?DATOS: 1 ua= 150 .106 km; :k= s2/m3 Soluci n:Partimos de la tercera ley de Kepler : T2 = k r3 y despejamos la inc gnita (T):NOTA: El periodo orbital para Marte ("a o marciano") es de 686,98 d 3 Europa, una de las lunas de J piter, est situada a una distancia mediade 6,71 103 km del planetaytiene un periodo orbital de 3,5541 d ) Cu l es el valor de la constante de Kepler para el sistema formado por J piter y sus lunas?b)Apoy ndote en el dato anterior calcula la distancia media a la que orbita Gan medes, otra lu-na de J piter, sabiendo que su periodo de revoluci n es de 7,1664 d n:Apoy ndonos en la tercera ley de Kepler y usando los datos de Europa obtenemos:Volvemos ahora a utilizar la tercera ley de Kepler para obtener el dato solicitado para Gan constante usaremos ahora la calculada para el sistema formado por J piter y sus sat lites.

8 Ejemplo 4Si la excentricidad de la rbita terrestre vale 0,017 y la longotud del semieje mayor es 149 598 261km, Cu l es el valor del semieje menor y la distancia focal de la rbita terrestre?Soluci n:Para calcular el valor del semieje menor y la distancia focal hacemos uso de la expresi n de laexcentricidad de una elipse:La diferencia entre el semieje mayor y el menor de la rbita terrestre es, por tanto, de 21 618 km. El semiejemenor es un 0,01445% m s corto que el mayor, lo que vuelve a confirmar lo pr xima que est la rbitaterrestre a un c 31132, , s 690,2 dias JJTk rT(.)

9 Ssk,.r( ,.) mm 2325 222735 3333 07 103 12 106 71 10 JJTk rT( ,.) srk 2322236 1918 105s,. 273 12 10,.mm 6331 07 10cabbaaaca,.kmkmbbb;;aaaba ()km (,)km 2222222222222210 017 149 598 2612 543 1701111149 598 2611 0 017149 576 6434 INTERACCI N GRAVITATORIALEY DE GRAVITACI N UNIVERSALFue Isaac Newton (1642 1727) quien dio el siguiente gran paso en la explicaci n del movimiento pla-netario al enunciar suLey de Gravitaci n Universal (formulada en 1666 y publicada en 1687)Ley de Gravitaci n Universal Los cuerpos se atraen conuna fuerza directamente proporcional al producto de sus masas einversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

10 Masas de loscuerpos en kgDebido a la peque ez de la constante de gravitaci nla fuerza de gravedad s lo es apreciable entre cuer-pos cuya masa sea muy grande (planetas, )rm MFGud 2 Fuerza de atracci ngravitatoria. Si se con-sideran cuerpos gran-des la fuerza apuntahacia el centro de de Gravitaci n Universal. Tiene el mismovalor para todo el el :Distancia entre los cuerposen metros. Si son cuerposgrandes, la distancia setoma entre los mmG,,kgkg s 231111226 67 106 67 10 Vector n: la de la recta queune los : saliendo del cuerpoque se considera que signo menos, tal ycomo se define elvector unitario, garan-tiza quela fuerza essiempre laque elcuerpoA atrae a contra-rio a urVector del cuerpoque se suponeque del cuer-po que se su-pone laque elcuerpoB atrae a contra-rio a urAB5 Ejemplo 1 Calcular el m dulo de la fuerza con que una masa de 1 000 kg atrae a otra de 100 kg si ambasest n situadas a una distancia de 20 el resultado obtenido con la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo de 50 kg situadoen su : MTierra.