07. Factorizaci n

1 Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM Factorizaci n Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 1 MATEM TICAS B SICAS Factorizaci N CONCEPTO DE Factorizaci N Un factor es cada uno de los n meros que se multiplican para formar un producto. Ejemplo. Sean los siguientes productos: ()()623=, por lo que factores de son 3 y . ()()1025=, por lo que factores de son 5 y 2. ()()()30235=, por lo que factores de 30 son 5, 3 y 2. N tese como el n mero 2 aparece como factor com n de 6, 10 y 30 porque cada uno de estos n meros se divide exactamente entre dicho factor com n. Cuando una expresi n algebraica est contenida exactamente en todos y cada uno de los t rminos de un polinomio, se dice que es factor com n de ellos.

2 Ejemplos. 1) El t rmino 23x es factor com n de yx46, de 39x y de 2212yx porque cada monomio puede expresarse como el producto de 23x por otro t rmino, es decir: ()()yxxyx224236= ()()xxx33923= ()()22224312yxyx = 2) El t rmino 24ab es factor com n de 3228ba, de 2320ba y de 38ab porque cada monomio puede expresarse como el producto de 24ab por otro t rmino, es decir: ()()ababba7428232= ()()22235420aabba = ()()babab24823= Factorizar es el proceso que permite descomponer en factores una expresi n matem tica. Esto significa que factorizar es convertir una expresi n en el producto indicado de sus factores. En toda expresi n debe obtenerse la m xima Factorizaci n posible.

3 Los tipos de Factorizaci n m s utilizados se exponen a continuaci n. MONOMIO COMO FACTOR COM N Para encontrar el factor com n de los t rminos de un polinomio se busca el m ximo com n divisor (MCD) de los coeficientes de todos los t rminos, y de las literales que aparezcan en todos los t rminos, se escogen las que tengan el menor exponente. 6210 Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM Factorizaci n Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 2 Ejemplos. Factorizar los siguientes polinomios. 1) El MCD de los coeficientes es , y las literales de menor exponente que aparecen en todos los t rminos son: 2a y b, por lo que el factor com n es: ba22 As que: ()babababa5221042223+=+ 2) 4245433521186zyxzyxzyx + El MCD de los coeficientes es 3, y las literales de menor exponente que aparecen en todos los t rminos son: 3x ,2y y z, por lo que el factor com n es: zyx233 As que.

4 ()34222342454335762321186xzzyyxzyxzyxzyx zyx += + 3) 4) ()qpppqp+=+433122 5) ()xxxxxxxxxx4537283240245616324235246+ + =+ + 6) ()6225332329254836534132910779114637049m mkkmmkkmkmkmkmkmkmk + += + + 7) ()232344252321523effefefe+=+ 8) ()22223642644225476356421155664422 + =+ N tese como no aparece en el factor com n la literal ya que no est en todos los t rminos del polinomio. POLINOMIO COMO FACTOR COM N En una expresi n, cuando el m ximo com n divisor (MCD) de todos los t rminos es un polinomio entonces se puede descomponer como el producto de este factor com n por un polinomio cuyo resultado sea la expresi n original, tal y como se muestra a continuaci n.

5 Ejemplos. Factorizar las siguientes expresiones. 1) ()()bakba+++5 El MCD de los todos los t rminos es: ()ba+ As que: ()()()()kbabakba++=+++55 2) ()()()nmsnmqnmr3113836 + El MCD de los todos los t rminos es: ()nm3 As que: ()()()()()sqrnmnmsnmqnmr118633113836+ = + 3) ()()zyxpzyxzyxw2342323 +++ + Esta expresi n puede rescribirse como: ()()()zyxpzyxzyxw23423123 ++ + + por lo que el MCD de los todos los t rminos es: ()zyx23 + As que: ()()()()pwzyxzyxpzyxzyxw41232342323+ += +++ + 4) ()()3224334aaaa + Esta expresi n puede rescribirse como: 223104baba+2()mkkkmk+=+2 Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM Factorizaci n Autor: Dr.

6 Jos Manuel Becerra Espinosa 3 ()()3223434 aaaa El MCD de los todos los t rminos es: ()234 aa As que: ()()()()[]()()()()aaaaaaaaaaaaaa = = = 1343333434343434222322 5) ()()()19747474922++=+++zfefefez 6) ()()()()()()()152221022221024210333333+ =+ = + = + udcudcdcdcudcdcu 7) ()()()()()()()ycbxwwycwwbx + +=+ ++ + 833383 8) ()()()()bcaaaabaac++ =+ ++ 222222134134138 Factorizaci N POR AGRUPACI N DE T RMINOS Existen polinomios cuyos t rminos no contienen un mismo factor com n. En esos casos, se debe factorizar por agrupaci n, procedimiento que combina los dos m todos anteriores. Ejemplos. Factorizar los siguientes polinomios: 1) bwawbxax+++ Para los primeros dos t rminos se toma como factor com n a x y para los otros dos a w: ()()bawbax+++ ahora, se factoriza el polinomio ()ba+: ()()wxba++ ()()wxbabwawbxax++=+++ 2) yxayax44+++ El factor com n para los primeros dos t rminos es a y para los otros dos es 4: ()()yxyxa+++4 despu s, se factoriza el polinomio ()yx+: ()()4++ayx ()()444++=+++ ayxyxayax 3) 2961510yxypypx + Para los primeros dos t rminos se toma como factor com n a p5 y para los otros dos a y3: ()()yxyyxp323325 + ahora, se factoriza el polinomio ()yx32.

7 ()()ypyx3532+ ()()ypyxyxypypx35329615102+ = + 4) bdbcadac3648+ El factor com n para los primeros dos t rminos es a4 y para los otros dos es b3 : ()()dcbdca 2324 despu s, se factoriza el polinomio ()dc 2: ()()badc342 ()()badcbdbcadac3423648 =+ Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM Factorizaci n Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 4 5) 31032++aa Esta expresi n puede rescribirse como: 3932+++aaa El factor com n para los primeros dos t rminos es a3: ()333+++aaa ()()13331032++=++ aaaa 6) ()()()()()()zxyxxxzyxxxxzxyxzxxzyxyx3353 355333515935222222324 += +=+ += + 7) ()()2323232332232222222222 + = + =+ abyabxyabyxabxabyxyabx ()()2223yxab+ = 8) ()()()12121212221222 + = ++ = + +aacabacacbabcacbaab ()()112+ =cba Otra forma de resolver este ejercicio es escribirlo como 1222 + + cbcacab.

8 ()()()()()1211121222 + =+ + =+ + acbcbcbacbaacab Factorizaci N DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales, es decir, es el cuadrado de otra cantidad. Por ejemplo, 29a es cuadrado perfecto, ya que es el cuadrado de a3. Se conoce como trinomio cuadrado perfecto (TCP) al resultado que se obtiene de elevar al cuadrado un binomio: () PerfectoCuadradoTrinomiobinomioundeCuadr adobababa2222++=+ Para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto, se debe cumplir que dos de sus t rminos sean cuadrados perfectos y que el otro t rmino corresponda al doble producto de las ra ces cuadradas de los t rminos cuadr ticos.

9 Ejemplos. Determinar si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos. 1) 22254016yxyx++ Primero se comprueba que dos t rminos sean cuadrados perfectos: xx4162= yy5252= el doble producto de las ra ces cuadradas debe ser igual al otro t rmino: ()()xyyx40542= por lo tanto el trinomio, es un TCP. 2) 422649636baba++ Comprueba que dos t rminos sean cuadrados perfectos: aa6362= 24864bb= el doble producto de las ra ces cuadradas debe ser igual al otro t rmino: Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM Factorizaci n Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 5 ()()2296862abba= por lo tanto, el trinomio es un TCP. 3) 229104mkmk++ Primero se comprueba que dos t rminos sean cuadrados perfectos: kk242= mm392= el doble producto de las ra ces cuadradas debe ser igual al otro t rmino: ()()kmkmmk1012322 = por lo tanto el trinomio no es un TCP.

10 Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se extrae la ra z cuadrada de los t rminos que son cuadrados perfectos, se separan por el signo que tiene el t rmino que no lo es y finalmente se eleva el binomio al cuadrado. Ejemplos. Factorizar los siguientes TCP: 1) 49142++xx Se extraen las ra ces de los t rminos cuadrados perfectos: xx=2 749= se separan por el signo del otro t rmino ()+ y el binomio se eleva al cuadrado: ()27+x ()2274914+=++ xxx 2) 2244baba+ Extrayendo las ra ces de los t rminos cuadrados perfectos: aa=2 bb242= se separan por el signo del otro t rmino () y el binomio se eleva al cuadrado: ()22ba ()222244bababa =+ 3) 423610018081qqpp+ Se extraen las ra ces de los t rminos cuadrados perfectos: 36981pp= 2410100qq= se separan por el signo del otro t rmino () y el binomio se eleva al cuadrado.