38. Teorema del Binomio

1 Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM Teorema del Binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 1 MATEM TICAS B SICAS Teorema DEL Binomio CONCEPTO DEL Teorema DEL Binomio El Teorema del Binomio , tambi n llamado Binomio de Newton, expresa la en sima potencia de un Binomio como un polinomio. El desarrollo del Binomio ()nba+ posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matem ticas y posee diversas aplicaciones en otras reas del conocimiento. F RMULA GENERAL DEL Binomio Sea un Binomio de la forma ()ba+. Si a este Binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias: ()baba+=+1 ()()()22222bababababaveces++=++=+ ()()()()32233333babbaababababaveces+++=+ ++=+ ()()()43223444464babbabaabababaveces++++ =+ +=+ ()()()5432234555510105babbababaabababave ces+++++=+ +=+ ()()()65423324566661520156babbabababaaba babaveces++++++=+ +=+ De lo anterior, se aprecia que: a) El desarrollo de nba)(+ tiene 1+n t rminos b) Las potencias de a empiezan con n en el primer t rmino y van disminuyendo en cada t rmino, hasta cero en el ltimo c) Las potencias de b empiezan con exponente cero en el primer t rmino y van aumentando en uno con cada t rmino, hasta n en el ltimo.

2 D) Para cada t rmino la suma de los exponentes de a y b es n. e) El coeficiente del primer t rmino es uno y el del segundo es n. f) El coeficiente de un t rmino cualquiera es igual al producto del coeficiente del t rmino anterior por el exponente de a dividido entre el n mero que indica el orden de ese t rmino. g) Los t rminos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales. Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM Teorema del Binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 2 Ejemplo. ()( )( )( )( )( )515542104331032245231514515510105 +++++=+babbababaabaes Aplicando las consideraciones expuestas en los incisos para el caso general se tiene: ()( )( )( )()()( )( )( )4433221432132)1(321)2)(1(21)1(1bannnnba nnnbannbanabannnnnn + + ++=+ ()()()()( )( )( )( )nnbbannnnn+ + + 55543214321 Ahora, si se introduce la notaci n factorial, la f rmula del Binomio puede escribirse as : ()()()4433221!432)1(!

3 3)2)(1(!2)1(!1bannnnbannnbannbanabannnnn n + + ++=+ ()()()()nnbbannnnn+ + + 55!54321 Ejemplo. Obtener el desarrollo de 4)52(yx Soluci n. Haciendo xa2=y yb5 = Aplicando la f rmula se tiene: ()()() ()()() ()()()()()()4322344552!323452!23452!1425 2yyxyxyxxyx + + + += ()()() ()() ()()()()4322344552624522125214252yyxyxyx xyx + + + += ()432234462510006001601652yxyyxyxxyx+ + = EL R- SIMO TERMINO DEL DESARROLLO BINOMIAL En el desarrollo binomial: ()nnnnnnnnbbanbannbannnbannbanaba++ + + + ++=+ 112233221!1!2)1(!3)2)(1(!2)1(!1 si se decide llamar a un termino cualquiera del desarrollo como r- simo termino, entonces se encuentra que: El exponente del t rmino b del Binomio es: 1 r El exponente del t rmino a del Binomio es: ()11+ = rnrn El denominador del coeficiente es: ()!1 r El numerador del coeficiente es: ()()()221+ rnnnn Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM Teorema del Binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 3 En consecuencia el r- simo termino de la expansi n de ()nba+ es: ()()()()11!

4 1221 + + rbrnarrnnnn Ejemplo. Encontrar el quinto t rmino del desarrollo 6)5(yx+ Soluci n. 5,6,5,====rn ybxa, aplicando la expresi n: ()()()()()424242375,9625155!43456yxyxyx= = Teorema DEL Binomio EXPRESADO A TRAV S DE COMBINACIONES El desarrollo de la expresi n ()nba+ tambi n se puede obtener aplicado la teor a del an lisis combinatorio. Si se multiplica el Binomio por si mismo de forma reiterada se obtiene: ()()()2222bababbbaabaabababa++=+++=++=+ ()()()bbbbbababbaaabbabaaabaaababbbaabaa ba+++++++=++++=+3 322333bbbaa+++= ()()()aabbaabaaaabaaaababbbbbababbaaabba baaabaaaba+++=++++++++=+4 bbbbbbbabbabbbaababbbababaabbaaaabbbabba abababaa++++++++++++ 432234464babbabaa++++= Puede observarse que el n mero de t rminos o sumandos de ()3ba+ es ocho y es el doble que el de ()2ba+, ya que los t rminos se obtienen a adiendo al final de los cuatro una a o una b. Por su parte, el n mero de t rminos de ()4ba+ es 16, ya que se a ade al final de cada uno de los ocho t rminos de ()3ba+ una a o una b.

5 De forma similar, para obtener ()5ba+, se proceder a de la misma manera, partiendo de ()4ba+ y se obtendr an 32 t rminos. Por ejemplo, los t rminos del desarrollo ()4ba+ pueden obtenerse a trav s de un diagrama de rbol: abaaabbabbaaaaababaabbbaababbbabbbaaaaaa abaabaaabbabaaabababbaabbbbaaabaabbbaabb abbabababbbbbabbbb((((aaaa++++ bbbb ))))22 22((((aaaa++++ bbbb ))))3333((((aaaa++++bb bb))))4444((((aaaa++++ bbbb )))) Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM Teorema del Binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 4 Si se suman los t rminos de cada columna, se obtienen respectivamente los desarrollos para ()2ba+, ()3ba+ y ()4ba+. Cada t rmino se obtiene de la columna anterior a adiendo al final la letra a o la letra b. Como las letras que aparecen est n multiplicando entre s , la secuencia abaa (por ejemplo) no es otra cosa que ba3, y por tanto, es igual a las secuencias baaa, aaba y aaab. Lo que se tiene que encontrar es cu ntas veces aparece 4a, cu ntas ba3, cu ntas 22ba, cu ntas 3ab, y cu ntas 4b?

6 A fin de determinar esto, se aplicar el concepto de combinaciones antes expuesto. Como se definieron, las combinaciones de p elementos tomados de q en q, son las posibles formas de hacer arreglos de q elementos, escogi ndolos de un conjunto de p elementos, con pq<, de modo que dos de esos arreglos son distintos s lo si tienen alg n elemento diferente (es decir, si tienen los mismos q elementos, aunque est n colocados en diferente orden, se considera el mismo grupo). Por ejemplo, para calcular 24, se deben formar grupos de dos elementos, escogi ndolos de entre cuatro elementos dados. Suponiendo que los elementos est n numerados del 1 al 4. Entonces los grupos de dos elementos ser n: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}. Regresando al desarrollo de ()4ba+, los t rminos con dos b pueden tenerlas situadas en los lugares 1 y 2 , 1 y 3 , 1 y 4 , 2 y 3 , 2 y 4 , y 3 y 4 (no hay distinci n entre el caso 1 y 2 y el caso 2 y 1 ).

7 Por tanto el t rmino con dos b del desarrollo de ()4ba+, es decir, el t rmino 22ba, aparece un n mero de veces igual al n mero 62442= =C. De igual modo, los t rminos de ()4ba+ con una b aparecen un n mero de veces igual a 41441= =C. Siguiendo el mismo razonamiento se tiene que: ()403122130444434241404babababababa + + + + =+ De acuerdo a lo anterior, se puede llegar a una generalizaci n del desarrollo del Binomio : ()nnnnnnnbnnbanbanbanbananba + + + + + + =+ 4433221143210 que en forma condensada se puede escribir como: ()10 =+ = nbaknbankkknn que es el Teorema del Binomio expresado a trav s de combinaciones. Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM Teorema del Binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 5 Para encontrar el r- simo t rmino del desarrollo se aplica la siguiente expresi n: 111 + rrnbarn Ejemplo. Aplicando el Binomio de Newton desarrollar ()6yx+ Soluci n: () = =+60666kkkyxkyx 654233245666564636261606yxyyxyxyxyxx + + + + + + = ()()()()()+ + + + + =42332456!

8 46!4!6!36!3!6!26!2!6!16!1!6!06!0!6yxyxyx yxx ()()65!06!6!6!56!5!6yxy + + ( )( )( )( )( )( )( )6542332456!0!6720!1!5720!2!4720!3!3720! 4!2720!5!1720!6!0720yxyyxyxyxyxx++++++= ()()()( )( )( )( )654233245617207201120720224720667202427 2012017207201720yxyyxyxyxyxx++++++= 654233245661520156yxyyxyxyxyxx++++++= Ejemplo. Obtener el cuarto t rmino de la expresi n ()20yx Soluci n. Sustituyendo 4,20==rn: ()()()()()()317317317141420!17!3!20!320! 3!203201420yxyxyxyx = = = + ()()()31731711406181920yxyx = = TRI NGULO DE PASCAL El tri ngulo de Pascal es un esquema triangular de n meros en cuyo v rtice hay un uno que corresponde a ()10=+ba. En el segundo rengl n hay dos n meros uno que corresponder n a los coeficientes de a y b respectivamente. La fila siguiente se obtiene sumando los dos n meros inmediatos a l en la fila precedente y luego se le agrega un uno a cada extremo de la fila.

9 Despu s, se efect a una relaci n entre los n meros del tri ngulo de Pascal y la suma de las potencias de a y b, de forma que los coeficientes se asignan en el mismo orden en que aparecen. Gr ficamente esto es: Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM Teorema del Binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 6 1111211113344611551010116615152011772121 3535((((a+ba+ba+ba+b))))1111((((a+ba+ba+ ba+b))))2222((((a+ba+ba+ba+b))))3333(((( a+ba+ba+ba+b))))4444((((a+ba+ba+ba+b)))) 5555((((a+ba+ba+ba+b))))6666((((a+ba+ba+ ba+b))))77771((((a+ba+ba+ba+b))))0000 Por ejemplo, para encontrar los coeficientes del desarrollo ()5ba+, se le aplican los factores de la fila correspondiente, tal y como se muestra en la siguiente figura: 1 5 10 10 5 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5a5 a4b a3b2 a2b3 ab4 b5 Ejemplo. Aplicar el tri ngulo de Pascal para desarrollar ()63462ba+ Soluci n. Aplicando los coeficientes respectivos se tiene: ()()()()()()()()()()+++++=+4324333423443 5464634621562206215626262babababaaba ()()()635346626bba++ ++++++=154128912616320243129376077560346 408152164ba,ba,ba,ba,ba,a 18656,46b+ Teorema DEL Binomio CON EXPONENTES NEGATIVOS O FRACCIONARIOS La f rmula general para desarrollar el Binomio ()nba+ tambi n es aplicable en el caso de que el exponente sea fraccionario o negativo, siempre que se cumpla que ba> y 0>a.

10 Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM Teorema del Binomio Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 7 Para el caso de que el exponente sea fraccionario, el desarrollo presenta la siguiente forma: ()()( )()()( ) + + ++=+ 333222!32!2bammnmnnbammnnbamnabammnmmnmm nmnmn Por su parte, si el exponente es negativo, el desarrollo posee la siguiente forma: ()()()() +++ ++ =+ 33221!321!21bannnbannbnaabannnnn N tese como en este caso, los signos de los t rminos se alternan. Se aprecia como para ambos casos, el desarrollo posee un n mero infinito de t rminos. Ejemplo. Obtener los seis primeros t rminos del desarrollo ()52yx+ Soluci n. ()( )( )( )( ) ++ + +=+ 552345183513258535252!5125323211!4625624 !312548!225652yx,,yxyxyxyxxyx ++ + += 5523451835132585352000375232110001562475 04850652yx,,yx,yxyxyxx Ejemplo. Obtener los siete primeros t rminos del desarrollo yx321+ Soluci n. ()132321 +=+yxyx ()()() ()() ()() ()() ()++ + =+ 453423211324243236322232232yx!