11-inflessioni delle travi

1 Inflessione delle traviIn precedenza si esplicitato il legame sollecitazione-curvature-tensioni nelle travi , ma non ancora stato affrontato il problema del calcolo delle frecce di inflessioneIl calcolo delle frecce importante per diverse ragioni; Determinare rotazioni subite in corrispondenza degli appoggi ( cuscinetti) Verificare che gli spostamenti non siano tali da compromettere l integrit di una struttura ( edifici) o addirittura l aspetto Calcolare lo stato di sollecitazione in strutture staticamente indeterminate Verificare che l ampiezza delle vibrazioni indotte sia compresa in limiti accettabili Stimare le condizioni di carico di instabilit (o di punta) onde evitarne l insorgere Verificare il corretto accoppiamento tra organi in movimento ( ingranaggi)Associata ad una freccia v(x)vi anche una rotazione (x)

2 Tra le due tangenti in m1e m2vi un angolo di rotazione aggiuntiva d Detto il raggio di curvatura:dds =e la curvatura:1dds ==Notare che la curvatura positiva se cresce l angolo Considerando una trave incastrata - libera, l applicazione di un carico P provoca una inflessione v(x), nulla al vincolo e massima in corrispondenza di PSi assume che xysia piano di simmetria e che tutti i carichi agiscano sul piano xyEssendo definito come l angolo che identifica la tangentetandvdx =Assumendo che rotazioni e frecce siano piccole rispetto alle dimensioni geometriche (teoria differenziale approssimata al I ordine)ds dx 1ddx ==Confondendo anche la tangente con l angolo221dvdx = Ricordando anche il legame gi introdotto tra curvatura e momento, si deduce l equazione differenziale che governa la inflessione1 MEI ==()22 MxdvdxEI=Adottando la convenzione dei segni riportata a lato, e ricordando (dall equilibrio del concio elementare)()dVqxdx= ()dMVxdx=Si perviene ad altre 2 equazioni differenziali()()22ddvdMEIxVxdxdxdx == ()()2222ddvdVEIxqxdxdxdx == Le e equazioni si semplificano ulteriormente se I(x) risulta costante lungo x()22dvEIMxdx=()33dvEIVxdx=()44dvEIqxdx= ()()12340000 xxxxqxv xdx C dx Cdx C dx CEI =++++ ()()3130 xdv xq xdx CdxE I=+ ()()

3 33 dv xTx EIdx=()()212200 xxdv xq xdx C dx CdxE I =++ ()()22 dv xMx EIdx=()()123000 xxxdv xq xdx C dx Cdx CdxE I =+++ ()()dv xxdx = A seconda che si conosca: andamento del carico distribuito, taglio o momento applicati, il problema si risole integrando 2, 3 o 4 volte (con 2,3 o 4 condizioni al contorno)()()44dv xq xdxE I= ()()44 dv xqxEIdx= libero()()00 TxMx==Le condizioni al contorno possono essere date su v, ma anche su taglio T e momento MIncastro()()00vxx= =appoggio()()00vxM x== Ogni elemento ha 4 costanti di integrazione. Nell esempio sono 20 Tra un elemento e l altro si impone la congruenza (stessa freccia e rotazione)vincolicarichi concentratixy A ogni connessione si hanno 2 eq.

4 Congruenza e 2 eq. di equilibrio, totale 16 altre 2 eq. si hanno negli estremi liberi, totale 4 20 equazioni e 20 incogniteNell integrazione lungo xoccorre integrare un elemento della trave alla volta, intendendo per elemento un tratto ove non si abbiano all interno variazioni vincolari, o applicazione dei carichi concentratiIl momento flettente in x :()MxPx=()22dv xPxdxE I=()23311 1 6 2 3 PPLPL vxxxEIEIEI= +211 2 PLCEI= 321 3 PLCEI=Le condizioni al contorno sono()211 02 xLPLxCEI== = +()3121 06 xLPLvxCL CEI===++Nel punto di applicazione del carico (x=0)()31 03 PLvEI=()21 02 PLEI =()21 2 dv xPxCdxE I=+()312 6 PxvxCx CEI=++xvEsempio 1: Trave incastrata liberaEsempio 2.

5 Carico distribuitov44 dvEIwdx= 313 dvEIwx Cdx= +22122 2dvxEIwCx Cdx= + +32123 62dvxxEIwCCx Cdx= ++ +43 212 34 2462xxxEIvwCCCx C= +++ +()00v=()220 0dvEIdx=Estremit sinEstremit dx()22 0dv LEIdx=()0vL=40C=20C=33124 CwL=112 CwL=()()4331224 vxxLx LxEI= + Andamento della frecciaValore massimo (al centro)3max5 2384 LwLvEI = Annullando la derivata primaEsempio 3: Trave caricata oltre gli appoggiLa struttura in acciaio presenta un carico oltre l ultimo appoggio. Calcolare l equazione della freccia ed il valore all estremit caricataSoluzione:Data la presenza dell appoggio in B, occorre risolvere due elementi di trave separatiNon essendo presenti carichi distribuiti si pu procedere a partire dal taglio, di conoscenza immediata (dall equilibrio dell intera struttura)()02 PVxL= <<32 VPLx L =<< 212 2dvPEIx Cdx= +222 dvEIPx Cdx=+Momento nullo in Ae C()2200dvdx=()22320dv Ldx=10C=232 CPL= Si deducono quindi le due equazioni che risolvono il momento flettente()02 PMxxL= < <()32322PL xMLx L = < < La successiva integrazione fornisce l andamento dell angolo23 4dvPEIx Cdx= +()

6 43 2Px L xdvEICdx = +La condizione di continuit dell inclinazione ci d una prima equazione22344 PLCPLC += +L ulteriore integrazione ci fornisce la freccia335 12 PEIvx Cx C= + +()24692 12 PxLxEIvCx C = ++24334CC PL=+Mentre per l elemento BCsi pu applicare una sola ()0vL=3614 CPL= Prendendo ora l elemento ABabbiamo anche le ()()00 e 0vvL==523012 CPLC==2456 CPL=Ora che tutte le 6 costanti (siamo partiti da eq. diff. del III ordine) sono state determinate, sostituendo si risolve il problema()()()22012 PxvxL xx LEI= <<()()32233310 9 2122 PvxLLx LxxL xLEI = + < < Infine, nel punto di applicazione del carico3328cPLvLEI == ESPRESSIONE ESATTA DELLA CURVATURAEssa da utilizzare quando la trave si infletta maggiormente e non potendo pi confondere ascissa curvilinea con cartesianae angolo con tangente, ()arctan1ddvdxddxdsdxds === 22dsdxdv=+Dal teorema di Pitagora1221dsdvdxdx =+ La derivata dell arcotangente si risolve come derivata notevole()()222arctan1ddvdxdvdxdxdv dx =+Sostituendo nella prima le due equazioni trovate si ha()

7 2232211ddvdxdsdv dx == = + Si vede che considerare la curvatura come legata solo alla derivata seconda equivale a trascurare il quadrato della derivata prima rispetto all unit METODO DI SOVRPPOSIZIONE DEGLI EFFETTILe equazioni differenziali che sono state introdotte presentano tutte derivate elevate alla potenza unitaria. Pertanto trattasi di equazioni differenziali lineari e gli effetti (deformazioni) dipendono linearmente dalle cause (carichi)Nell esempio a fianco si pu trovare la soluzione sommando le deformate ottenute per effetto del carico concentrato e di quello distribuito34548384 CCCPqPLqLEIEI = + = +231624AB AAPqPLqLEIEI = = + = +Nei manuali di meccanica strutturale si trovano le soluzioni base di molte tipologie di travi che consentono di ricavare soluzioni complesse sovrapponendo gli effettiIl principio di sovrapposizione degli effetti pu essere applicato se.

8 Il materiale lineare elastico spostamenti e deformazioni sono piccoli (lineari) la deformata associata al carico non modifica le sollecitazioni presentiIn presenza di carichi distribuiti q(x)qualsivoglia, sfruttando la sovrapposizione possibile prima trovare la soluzione associata ad un elementino di carico e poi sommare (integrare) tutti i contributi applicati a ciascun elementino l equazione che fornisce()()22203424qdxqxvCLx dxEIL= ()02xqxqL=Che viene integrata secondo i carichi applicati()()()24222222400000343 42424240 LLqxqqLvCLx dxLxx dxEILEILEI= = = Si rimarca che l integrale non rappresenta altro che la somma delle risposte ai carichi e quindi va esteso solo alle zone effettivamente caricateI carichi concentrati danno invece contributi unici, ossia non integrati sul dominio di estensionePer un carico dP=qdx lo spostamento al centroC.

9 ()()()223448qdxqdx xvCLxEI= ()02xL ()()22 3448qdxdP xvCLxEI= ENERGIA DI DEFORMAZIONE ASSOCIATA ALLA FLESSIONEIl calcolo vale solo in piccoli spostamenti e per materiale lineare elasticoLa relazione tra angolo e momento applicato valeLMLEI = = Quindi tra momento applicato e angolo di inflessione vi una relazione lineare del tipo:L energia esterna spesa quindi l area sottesa, ossia22222 MMLEIUEIL == =Se il momento varia lungo l asse, si pu calcolare l energia sommando i contributi energetici di ciascun elementino dx e sommandoli (integrando)22dvddxdx =2 MddU =()2022 LMxdxMdUEI == 22202 LEI d vUdxdx == DEFORMATA DOVUTA AD UN SOLO CARICOSe un solo caricoagisce sulla struttura, la corrispondente deformazione pu essere correlata direttamente al carico2UP =2UM =Se ad esempio sono presenti due carichi generalizzatidi estremit ()0 MxPM= Dalla precedente definizione di energia immagazzinata()()

10 222232000001 22622 LLMxdxPM LM LPLUPxMdxEIEIEIEIEI== =++ Termine addizionaleEnergia associata al solo carico M0 Energia associata al solo carico PIn termini energetici si avrebbe222300022 6 2 2 AAMPM LM LPPLEIEIEI + = ++Sistema non risolvibile in quanto sono presenti 2 incognite in una unica equazioneIn caso contrario il legame non pi lineare (compaiono termini misti di energiaTEOREMA DI CASTIGLIANO (Carlo Alberto Pio n. Milano 1847 m. Asti 1884)Il teorema consente di determinare la deflessione di una struttura nota che sia la sua energia di deformazione236 PLUEI=Si pu derivare la precedente rispetto a P236dUdP LdPdPEI = 33dUPLdPEI=31 3 APLEI =La derivata dell energia di deformazione fatta rispetto al carico applicato eguaglia la deformata subita dal punto di applicazione del caricoDerivazione del teoremaSi considera una struttura in cui sono presenti molteplici carichi Picui si associano deformate iSi nelle condizioni di poter applicare il principio di sovrapposizione degli effettiL energia totale del sistema sar funzione di tutti i carichi agenti e vale ())