À Teresa e à Catarina. - silabo.pt

1 Teresa e Catarina. COLEC O MATEM TICA 25 COLEC O MATEM TICA 1 INTEGRAIS M LTIPLOS E EQUA ES DIFERENCIAIS 2 C LCULO DIFERENCIAL EM IR n 3 PRIMITIVAS E INTEGRAIS 4 FORMUL RIO DE MATEM TICA 5 LGEBRA LINEAR Vol. 1 Matrizes e Determinantes 6 LGEBRA LINEAR Vol. 2 Espa os Vectoriais e Geometria Anal tica 7 PROGRAMA O MATEM TICA 8 C LCULO INTEGRAL EM IR PRIMITIVAS 9 PRIMITIVAS E INTEGRAIS EXERC CIOS 10 SUCESS ES E S RIES 11 LGEBRA LINEAR Exerc cios Vol. 1 Matrizes e Determinantes 12 C LCULO DIFERENCIAL EM IR 13 C LCULO DIFERENCIAL EM IR n EXERC CIOS 14 LGEBRA LINEAR Exerc cios Vol. 2 Espa os Vectoriais e Geometria Anal tica 15 SUCESS ES E S RIES EXERC CIOS 16 EQUA ES DIFERENCIAIS E S RIES 17 INTEGRAIS M LTIPLOS E EQUA ES DIFERENCIAIS EXERC CIOS 18 INTEGRAIS DUPLOS, TRIPLOS, DE LINHA E DE SUPERF CIE 19 FUNDAMENTOS DE AN LISE NUM RICA 20 M TODOS NUM RICOS Introdu o, Aplica o e Programa o 21 C LCULO INTEGRAL Teoria e Aplica es 22 PRIMITIVAS E INTEGRAIS Exerc cios Resolvidos 23 T PICOS DE AN LISE MATEM TICA EM IR n 24 EXERC CIOS SOBRE PRIMITIVAS E INTEGRAIS 25 LGEBRA LINEAR TEORIA E PR TICA LGEBRA LINEAR Teoria e Pr tica RICARDO JORGE CASTRO GON ALVES EDI ES S LABO expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer forma ou meio, NOMEADAMENTE FOTOC PIA, esta obra.

2 As transgress es ser o pass veis das penaliza es previstas na legisla o em vigor. Visite a S labo na rede Editor: Manuel Robalo FICHA T CNICA: T tulo: lgebra Linear Teoria e Pr tica Autor: Ricardo Jorge Castro Gon alves Edi es S labo, Lda. Capa: Pedro Mota 1 Edi o Lisboa, setembro de 2015 Impress o e acabamentos: Europress, Lda. Dep sito Legal: 398026/15 ISBN: 978-972-618-817-9 EDI ES S LABO, LDA. R. Cidade de Manchester, 2 1170-100 Lisboa Tel.: 218130345 Fax: 218166719 e-mail: NDICE PREF 9 CAP TULO 1 13 A linguagem das 15 Opera es com 25 Matrizes como representa o de situa es concretas .. 36 Solu es ..43 CAP TULO 2 SISTEMAS DE EQUA ES 47 Aproxima o ao estudo de sistemas de equa es lineares ..49 Sistemas de duas equa es e duas inc gnitas .. 49 Sistemas de tr s equa es e tr s inc 52 Sistemas de m equa es e n inc 58 Resolu o de sistemas de equa es lineares.

3 62 Limita es dos m todos de resolu o de sistemas de equa es 62 O m todo de elimina o de 70 Carater stica de uma matriz e outra discuss o de sistemas de equa es 87 Algoritmo para a determina o da matriz 91 Solu es ..101 CAP TULO 3 Defini o e propriedades dos determinantes ..115 Algoritmos para o c lculo de determinantes de qualquer Determinantes de ordem Determinantes de ordem Determinantes de qualquer Os determinantes em novos m todos de c lculo ..141 Matriz Inversa ..141 Sistemas de equa es Solu CAP TULO 4 ESPA OS procura de novos vetores ..163 Subespa o vetorial de um espa o vetorial ..175 Combina o linear de Subespa os vetoriais Depend ncia e independ ncia linear de vetores ..198 Bases e dimens o de um espa o vetorial ..206 Solu 9 PREF CIO Este livro dirige-se aos alunos do ensino superior universit rio e polit cnico e que para o estudo da lgebra linear procuram uma abordagem alternativa, inovadora e facilitadora da aprendizagem dos principais temas.

4 Os estudos internacionais na rea, desenvolvidos ao longo das ltimas tr s d cadas, apontaram um conjunto de recomenda es did ticas para serem conside-radas no ensino, com vista a melhorar o desempenho dos alunos na aprendizagem da lgebra linear. A elabora o deste texto resultou da vontade do autor em considerar extensivamente aquelas recomenda es, possibilidade observ vel em alguma bibliografia internacional de refer ncia, o que confere a este livro o principal elemento de destaque no panorama da bibliografia nacional. Desta forma, o livro propicia a f cil assimila o dos conte dos, o desenvolvimento da destreza de c l-culo e a capacidade de aplica o dos conceitos em situa es d spares. Sobre a import ncia de se recorrer ao uso da tecnologia, introduziu-se a utiliza- o do software de computa o simb lica Scilab, ao qual se pode aceder gratuita-mente na WEB.

5 A refer ncia poss vel utiliza o deste programa aparece sobretudo na explora o de exemplos, onde s o introduzidos os comandos elementares que o aluno deve conhecer para a sua utiliza o aut noma. Nos exerc cios, procurou-se promover o recurso ao Scilab pela via da ilustra o de propriedades e pelo apoio a processos de c lculo em situa es de cariz mais pr tico. Em paralelo, a interpreta- o geom trica dos conceitos acompanhada pela utiliza o do ambiente de geometria din mica GeoGebra e do Mathematica. Como forma de reduzir o car ter formal dos conceitos de lgebra linear, introdu-ziu-se apenas a terminologia necess ria, com uma linguagem e nota o o mais simplificado poss vel. As defini es e teoremas, destacados em caixas de cor, s o os estritamente necess rios e as demonstra es foram omitidas. Parte das propriedades associadas a alguns dos conceitos foram consideradas sob a forma de exerc cios, onde se apela sua ilustra o.

6 No sentido contr rio, enfatizou-se o recurso a exemplos resolvidos e a aplica es, segundo o pressuposto de elucidar o como e quando aplicar os conceitos de lgebra linear. Para apoiar a utiliza o aut -noma deste livro, os exerc cios s o acompanhados da sua resolu o ou solu o, aparecendo estas no final de cada cap tulo. 10 Ao longo do texto, alguns conceitos s o introduzidos precocemente como forma de os relacionar com outros. A liga o dos diferentes assuntos aos pr -requisitos foi tida em considera o no sentido de se justificar novas aprendizagens, a partir de situa es mais elementares e familiares para o aluno. Destaca-se, neste contexto, a introdu o do m todo de elimina o de Gauss, a partir da limita o dos m todos conhecidos para a resolu o de sistemas at tr s equa es e tr s inc gnitas, e a introdu o ao estudo dos espa os vetoriais. De salientar ainda a utiliza o estrita da linguagem matricial na explora o de todos os assuntos, onde o ponto de partida a considera o de um vetor escrito como matriz coluna.

7 Em cada cap tulo proposta a resolu o de uma tarefa. Excetuando-se a tarefa do Cap tulo 3, cujo alcance a aplica o de conte dos, as tarefas enquadram-se na perspetiva de introdu o dos conceitos, nomeadamente: multiplica o de matrizes (Tarefa 1), resolu o de sistemas de equa es lineares pelo m todo de elimina o de Gauss (Tarefa 2) e combina o linear de vetores, subespa o vetorial gerado por um conjunto de vetores e base de um espa o vetorial (Tarefa 4). Em termos de estrutura, o livro est dividido em quatro cap tulos, referentes ao estudo das matrizes, sistemas de equa es lineares, determinantes e espa os veto-riais, nesta ordem. A op o pelo estudo inicial das matrizes coerente com a explora o matricial dos restantes conceitos, corrente sugerida pelo Linear Algebra Curriculum Study Group (LACSG), segundo a designa o matrix oriented course. introdu o das designa es elementares atribu das s matrizes, segue-se a explora- o das opera es com matrizes.

8 O cap tulo termina com a extens o das matrizes a situa es do quotidiano e algumas das suas aplica es. O segundo cap tulo iniciado com a revis o da resolu o de sistemas com duas equa es e duas inc gnitas e com tr s equa es e tr s inc gnitas, segundo o m todo gr fico, m todo de substitui o e m todo de adi o ordenada. Ap s a identifica o das limita es de aplica o destes m todos na resolu o de sistemas com um n mero maior de equa es e de inc gnitas, formalizam-se os m todos de elimina- o de Gauss e de Gauss-Jordan como um processo algor tmico consequente com o m todo de adi o ordenada e m todo de substitui o. Segue-se a introdu o de um algoritmo para a determina o da matriz inversa a partir da ideia intuitiva da resolu o conjunta de sistemas de equa es lineares com a mesma matriz simples, mas com termos independentes diferentes. Um n mero consider vel de exerc cios remete para a aplica o da resolu o de sistemas de equa es lineares em situa- es concretas e cuja resolu o, pela complexidade de c lculo, deve ser apoiada com a utiliza o do software Scilab.

9 O cap tulo referente ao estudo dos determinantes come a por contemplar a defini o de determinante como fun o, conjuntamente com tr s propriedades. A 11 partir destas, s o deduzidas todas as propriedades, ilustradas com matrizes de ordem 2. Continua-se com a introdu o dos algoritmos para o c lculo de determinantes de qualquer ordem, a par da sua aplica o no c lculo de reas e volumes. O cap tulo termina com a aplica o dos determinantes no c lculo da matriz inversa e na resolu o de sistemas de equa es lineares poss veis e determinados. A introdu o ao estudo dos espa os vetoriais feita com a associa o ao con-ceito de vetor livre e s opera es e propriedades conhecidas. Segue-se o desafio de identificar outros entes matem ticos com opera es similares e com as mesmas propriedades que aqueles, at se formalizar o conceito de espa o vetorial como uma estrutura abstrata constitu da por um conjunto e duas opera es e onde se verificam dez axiomas.

10 Segue-se a explora o, nesta ordem, dos conceitos de subespa o vetorial de um espa o vetorial, combina o linear de vetores, subespa o vetorial gerado, depend ncia e independ ncia linear de vetores, base e dimens o de um espa o vetorial, com grande nfase na interpreta o geom trica e na rela o dos conceitos entre si. Uma nota final de agradecimento Prof. Doutora Cec lia Costa, por todo o apoio prestado, ao n vel da discuss o de ideias, apresenta o de sugest es e revis o pedag gica e cient fica do texto, e ainda pela enorme disponibilidade demonstrada; Prof. Doutora Paula Catarino, pela revis o cient fica do texto; Prof. Doutora Teresa Abreu, minha mulher e tamb m entusiasta da lgebra linear, pelas longas conversas mantidas em torno do assunto e pela ajuda prestada. O autor CAP TULO 1 Matrizes MATRIZES 15 A linguagem das matrizes Uma matriz entendida como um quadro retangular completo de valores escalares com um certo n mero de filas horizontais linhas e um certo n mero de filas verticais colunas.