Algebra de Boole - Cartagena99

1 Algebra de Boole y simplificaci n de funciones l gicas Cap tulo 4 y operaciones BooleanasExpresiones y operaciones Propiedades y Reglas del Algebra de Boole Propiedades y Reglas del Algebra de Boole Teoremas de DeMorganTeoremas de An lisis booleano de circuitos l gicosAn lisis booleano de circuitos l Simplificaci n mediante el lgebra de BooleSimplificaci n mediante el lgebra de Boole66Ft ddliFt est ndar de las expresionesFormas est ndar de las Mapas de KarnaughMapas de Karnaugh88 Simplificaci ndeunaSOPsmedianteelmapadeSimplificaci n de una SOPs mediante el mapa de Simplificaci n de una SOPs mediante el mapa de Simplificaci n de un POSs mediante el mapa de Simplificaci n de un POSs mediante el mapa de KarnaughKarnaughExpresiones y operaciones BooleanasExpresiones y operaciones Booleanas Variable: S mbolo que representa idl i( )Amagnitudes l gicas.

2 (0 1). Complemento:InversodelavariableSeA Complemento: Inverso de la variable. Se representa A A Literal: Es una variable o el complemento deunavariablede una y operaciones Booleanas Suma booleana OR Multiplicaci n booleana AND0 + 0 = 00 + 1 = 10 0 = 00 1 = 01 + 0 = 11 + 1 = 11 0 = 01 1 = 1 Propiedades del Algebra de BoolePropiedadesdelAlgebradeoole Conmutativa AsociativaDi t ib ti DistributivaPropiedadesdelAlgebradeBoole Propiedades del Algebra de Boole Propiedadconmutativadelasuma: Propiedad conmutativa de la suma:A + B = B + APropiedadesdelAlgebradeBoolePropiedades del Algebra de Boole Propiedad conmutativa del producto.

3 A B=B AA B B APropiedadesdelAlgebradeBoolePropiedades del Algebra de Boole Asociativa de la suma:A + (B + C) = (A + B) + C()()PropiedadesdelAlgebradeBoolePropied ades del Algebra de Boole Asociativa del producto:A (B C) = (A B) C()()PropiedadesdelAlgebradeBoolePropied ades del Algebra de Boole Distributiva:A(B + C) = AB + ACReglasdelAlgebradeBooleReglas del Algebra de BooleReglasdelAlgebradeBooleReglas del Algebra de Boole Regla 1OR Truth TableReglasdelAlgebradeBooleReglas del Algebra de Boole Regla 2OR Truth TableReglasdelAlgebradeBooleReglas del Algebra de Boole Regla 3 AND Truth TableReglasdelAlgebradeBooleReglas del Algebra de Boole Regla 4 AND Truth TableReglasdelAlgebradeBooleReglas del Algebra de Boole Regla 5OR Truth TableReglasdelAlgebradeBooleReglas del Algebra de Boole Regla 6OR Truth TableReglasdelAlgebradeBooleReglas del Algebra de Boole Regla 7 AND Truth TableReglasdelAlgebradeBooleReglas del

4 Algebra de Boole Regla 8 AND Truth TableReglasdelAlgebradeBooleReglas del Algebra de Boole Regla 9 ReglasdelAlgebradeBooleReglas del Algebra de Boole Regla10:A+ABA Regla10: A + AB = AANDT ruthTableORTruthTableA + AB A + AB = A (1+B) Ley distributiva= A (1+B) Ley distributiva= A = A 1 1 Regla 2: (1+B)=1 Regla 2: (1+B)=1= A= ARegla 4: A 1=ARegla 4: A 1=AAND Truth TableOR Truth TableReglasdelAlgebradeBooleReglas del Algebra de Boole Regla 11:BABAA :R7 BAAB)(AA ABA A: R10 BAAB)(ABAA ANDT ruthTableORTruthTableAA:R6B)(Acom n Factor B))(AA(A 0A ASumar :R8 BAAAABAA Truth TableOR Truth Table A : R4 BA AA:R6 B)(A ReglasdelAlgebradeBooleReglas del Algebra de Boole Regla 12: (A + B)(A + C) = A + BC vadistributi BCABACAAC)AB)(A.

5 (ANDT ruthTableORTruthTablecom nfactorBCB)A(11C1 :R2 com n factor BCABC)A(1 :R7 BCABACA AND Truth TableOR Truth Table :R4 BCA 1B1 :R2 com nfactor BCB)A(1 TeoremasdeDeMorganTeoremas de DeMorgan Teorema 1 YXXYYXXY Teorema 2 YXYX YXYX Recuerda: Recuerda: Parte la barra, Parte la barra, cambia la operaci n cambia la operaci n AnalisisbooleanodeCircuitosAnalisis booleano de CircuitosExpresion booleana y tabla de verdad de un circuito l gicogA B C D A(B+CD)0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0.)

6 1 0 1 0 01 0 1 1 11 1 0 0 1110111 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 1 EjemploEjemploEjemplo: Construcci n de la Tabla de Verdadapartirdelaexpresi nVerdad a partir de la expresi n booleanaiil iddibidiblddd Un circuito l gico puede describirse mediante una tabla de verdad. Evaluar la expresi n booleana para todas las posibles combinaciones de valores de las variables de entradaFXYY X + Y (X + Y ) Z Z= ((X Y) Z) (X YZ)FX Z = ((X + Y ) Z) + (X Y Z )X Y Z EjemploEjemploFormas est ndar de las expresiones booleanas Suma de productos (SOP)Ejemplo:X=AB+BCD+AC Producto de sumas (POS)Ejemplo: X = (A+B)(B+C+D)(A+C)Ejemplo.

7 X AB + BCD + AC ParaParacualquiercualquierexpresi nexpresi nl gical gicaexisteexisteunaunaformaformaest ndarest ndarSOPyPOSSOPyPOSPara Para cualquiercualquierexpresi nexpresi nl gical gicaexisteexisteunaunaforma forma est ndarest ndarSOP y POS SOP y POS equivalenteequivalente Se Se denominandenominanformasformas can nicacan nica o o est ndarest ndara a laslas SOP y POS en SOP y POS en laslas quequetodastodas laslas variables variables aparecenaparecen en en cadacada unouno de los de los terminosterminos::EjemploEjemplo: : DCABCDBADCBA Conversi n SOPs y POS Tablas de VerdadSdPdPdd Suma de ProductosABCXP roducto Producto de sumasA B C X SumaA B C X Producto0 0 0 0 0 0 1 1 A B C0 1 0 00 0 0 0 (A+B+C)0 0 1 10 1 0 0 (A+B +C)0110(A+B +C )0 1 1 01 0 0 1 AB C 1 0 1 00 1 1 0 (A+B +C )1 0 0 11 0 1 0 (A +B+C )1 1 0 0 (A +B +C)1 1 0 01 1 1 1 ABC()1 1 1 1X = (A+B+C) (A+B +C) (A+B +C ) (A +B+C )(A +B +C)X = A B C + AB C + ABC(A +B+C ) (A +B +C)

8 Formaest ndarocan nicaForma est ndar o can nica Cualquierfunci nBooleanasepuedeexpresarcomosumademinite rminos Cualquierfunci nBooleanasepuedeexpresarcomosumademinite rminos(minterms) o como producto de maxiterminos (maxterms) y a estas formas se les diceque est n en formaest ndar o can nica (el conjunto completo de variables deldominio est representado en cada t rmino ).F= A,B,C(1, 4, 7) = A B C + AB C + ABCF= A,B,C(0, 2, 3, 5, 6) = (A+B+C)(A+B +C)(A+B +C )(A +B+C )(A +B +C)Formacan nicaynormalizadaForma can nica y normalizada Se llama t rmino can nico de una funci n l gica a todo producto o suma de literales en los cuales aparecen todas la variables en su forma directa o complementada.

9 Los t rminos can nicos producto reciben el nombre de minit rminos Los t rminos can nicos suma reciben el nombre de maxit rminos Una funci n de Boole est en forma can nica cuando se expresa como suma de minit rminos o producto de maxot rminos. Dos funciones l gicas son equivalentes si, y solo si, sus formas can nicas son id nticas. La expresi n algebraica en suma de productos o productos de sumas en la que no todos los t rminos son pgppqcan nicos recibe el nombre de normalizadaForma can nica de la suma de dproductos La metodolog a empleada en la transformaci nde una suma de productos a su forma can nicasebasaenlaregla6,queestablecequeunav ariablesumadaconsucan nica se basa en la regla 6, que establece que una variable sumada con su complemento es siempre igual a 1; A + A' = 1.

10 Los pasos son los siguientes: Los t rminos producto que no contengan la(s) variable(s) del dominio, multiplicarlos por un t rmino formado por dicha variable m s el complemento de la misma (regla 6). Repetirelpaso1paratodoslost rminosdelaexpresi nquenocontengantodaslasvariablesRepetir el paso 1 para todos los t rminos de la expresi n que no contengan todas las variables (o sus complementos) del dominio. Resolver los t rminos intervenidos. Ejemplo Convertir la expresi n booleana ABC' + BC + A'a su forma can nica. Eldominiodelaexpresi neselconjuntodevariablesAByCSeobservalaf altadeformatoest ndarEl dominio de la expresi n es el conjunto de variables A, B y C.