Analyse spectrale - ta-formation.com

1 Jean-philippe muller jean-philippe muller version juillet 2002 Analyse spectrale jean-philippe muller Analyse spectrale des signaux continus 1) La repr sentation temporelle d un signal 2) La repr sentation fr quentielle d un signal simple 3) Exemples de spectres de signaux r els 4) Calcul du spectre d un signal p riodique 5) D composition en s rie de Fourier de s signaux usuels 6) Spectre d un signal impulsionnel 7) Synth se de Fourier 8) Harmoniques et timbre d un son 9) Evolution des harmoniques d un son 10) Mesure de la distorsion harmonique 11) La distorsion d intermodulation 12) R duction des rayonnements parasites en logique 13) R duction des harmoniques dans les alimentations 14) M canisme d apparition d harmoniques sur le r seau 15) Les cons quences des harmoniques du 50 Hz 16) Allure du spectre d un signal non p riodique simple 17) Calcul de la transform e de Fourier d une impulsion 18) Elargissement des raies par effet de fen tre 19) Application la r ponse impulsionnelle d un syst me 20) R ponse impulsionnelle d un haut-parleur m dium 21) R ponse impulsionnelle d un tweeter Analyse spectrale des signaux continus jean-philippe muller 1) La repr sentation temporelle d un signal En lectronique, nous utilisons une grande vari t de signaux analogiques ou num rique dont le support est, le plus souvent , une tension.

2 Ce support peut aussi tre une onde lectromagn tique (radio, TV, radar), une onde lumineuse ou infrarouge (fibres optiques) ou une onde sonore L information transport e est : un message audio (parole, musique) un message vid o (image TV) un message binaire (liaison ordinateur-imprimante) un signal analogique traduisant l tat d un capteur Une fa on naturelle de conna tre un signal est d observer son allure en fonction du temps : c est la repr sentation temporelle, donn e par un oscillogramme. Les exemples d oscillogramme ci-dessous nous permettent de mettre en vidence plusieurs types de signaux : On peut donc classer les signaux en 4 cat gories : les signaux p riodiques (issus d un GBF par exemple) les signaux non p riodiques d terministes (impulsion, salve) les signaux pseudo-al atoires (signal audio-vid o) les signaux al atoires (bruit lectrique) Les oscillogrammes nous renseignent sur l amplitude, la valeur cr te, la valeur moyenne, mais pas sur les fr quences contenues dans le signal.

3 En outre, tous ces signaux part le bruit peuvent tre chantillonn s en vue d un traitement num rique ult rieur, et cette op ration modifie de fa on profonde l aspect temporel du signal ainsi que son contenu fr quentiel. Figure signaux simples : Figure du mot bonjour signal p riodique et salve Echelle: 10 mV et 100 ms par carreau Figure 3. Zoom du signal pr c dent Figure 4. Signal al atoire correspondant sur la lettre b du bruit Analyse spectrale des signaux continus jean-philippe muller 2) La repr sentation fr quentielle d un signal simple Le signal le plus simple du point de vue fr quence est le signal sinuso dal. Par exemple, x(t) = Esin( t) ne contient qu une seule fr quence : f = 2 Un signal parl ou musical est plus complexe, puisque son allure varie constamment au cours du temps.

4 Il contient des fr quences graves, moyennes et aigu s. Son spectre s tend de 20 Hz 20 kHz et varie en permanence entre ces deux fr quences extr mes. Le signal vid o est encore plus complexe et son spectre s tend du continu quelques m gahertz. Le spectre d un signal nous renseigne donc sur les diff rentes composantes fr quentielles qu il contient. Le spectre d un signal est la repr sentation en fonction de la fr quence des amplitudes des diff rentes composantes pr sentes dans le signal. Prenons quelques exemples de spectres th oriques et r els : C est un spectre form de raies d amplitudes d croissantes aux fr quences f, 3f, 5f .. Figure 5. Spectre d un signal sinuso dal Figure 6. Spectre d un signal composite pulsation 4010 amplitude x(t) = 10sin(40t) pulsation 2 3 5 6 4 3 amplitude x(t) = 3cos(5t) + 6sin(2t + /2) - 4cos(3t) Figure 7.

5 Spectre d un signal triangulaire 300 Hz X(t) tT300 Hz Echelle y fen tre Fmax Position du marqueur Niveau du fondamental 10 dBEr -10 -20 Remarque : lorsqu on trace un spectre on ne s int resse sauf exception qu l amplitude de la composante et pas sa phase. Analyse spectrale des signaux continus jean-philippe muller 3) Exemples de spectres de signaux r els Pour un signal musical, le spectre a une allure un peu diff rente. C est un spectre continu qui contient une infinit de raies entre 20 Hz et 20 kHz. De plus l amplitude de ces raies varie au cours du temps. Le spectre d un signal audio est donc une courbe qui volue constamment. On voit clairement merger du plancher de bruit 80 dBm (22 V) les spectres des diff rents metteurs de la bande FM.

6 On peut y reconna tre diff rents metteurs de la r gion de Mulhouse : France-Musique : 91,6 MHz France-Inter : 95,7 MHz Radio NRJ : 102,1 MHz France-Info : 105,5 MHz L observation du spectre permet de surveiller le bon fonctionnement des diff rents metteurs, de mesurer leur puissance. Nous allons voir dans les paragraphes suivants les diff rentes mani res, soit th oriques, soit exp rimentales, d obtenir le spectre d un signal quelconque. Figure 8. Allure temporelle d un signal audio (10 ms du groupe Dire Straits) Figure 9. Spectre du signal pr c dent -20 dBm - 60 dBm - 100 dBm Figure 10. Spectre du signal capt par une antenne (bande FM) Analyse spectrale des signaux continus jean-philippe muller 4) Calcul du spectre d un signal p riodique La d composition en s rie de Fourier est un outil simple et pratique pour trouver le spectre d un signal p riodique.

7 Soit x(t) un signal de forme quelconque, mais p riodique de p riode To. Le math maticien Fourier a d montr que la fonction x(t) peut s crire sous la forme suivante : x(t) = X0 + X1sin( 0t + 1) + X2sin(2 0t + 2) + X3sin(3 0t + 3) +.. + Xnsin(n 0t + n) .. avec X0 = valeur moyenne du signal X1 = amplitude du fondamental X2 = amplitude de l harmonique 2 .. Xn = amplitude de l harmonique n On peut remarquer qu il n existe pas d harmonique 1 (on l appelle le fondamental) et que l harmonique n est la fr quence nf0. Cette d composition peut aussi s crire de la fa on suivante : x(t) = X0 + A1cos( 0t) + B1sin( 0t) + A2cos(2 0t) + B2sin(2 0t) .. + Ancos(n 0t) + Bnsin(n 0t) .. avec : X0 = 1 TxtdtoT() An = 200 TxtntdtT().

8 Cos() et Bn = 200 TxtntdtT( ).sin() Ces d compositions sont bien s r quivalentes et on a : Xn2 = An2 + Bn2 et tg( n) = Bn / An Une fois que la d composition d un signal est faite, on trace le spectre repr sentant les amplitudes Xi en fonction de la fr quence. Nous pouvons remarquer, et c est tr s important, que le spectre d un signal p riodique est toujours un spectre de raies et que les diff rentes raies ne peuvent se trouver qu aux fr quences nf0. Cette allure particuli re du spectre caract rise les signaux p riodiques. Les fonctions paires ont un d veloppement qui ne contient que des termes en cosinus (fonction paire). Inversement, les fonctions impaires ont une d composition en sinus. C est une remarque utile qui permet souvent d acc l rer le calcul.

9 Fr quence f f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f0 7f0 Valeur moyenne X0 amplitude Fondamental X1 Harmonique 2 Harmonique 3 inexistant Figure 11. Allure g n rale du spectre d un signal p riodique Analyse spectrale des signaux continus jean-philippe muller 5) D composition en s rie de Fourier de signaux usuels t x(t) E Tf 0 f 2f 3f 4f 5f 6f amplitude ()xtEttt()sinsin()sin()..=+++ 43355 t x(t) E Tf 0 f 2f 3f 4f 5f 6f amplitude ()xtEttt()sinsin()sin()..= + 83355222 t x(t) E T/2f 0 f 2f 3f 4f 5f 6f amplitude xtEtt()cos()cos()..=+ + 212232415 t x(t) E Tf 0 f 2f 3f 4f 5f 6f amplitude ()xtEttt()sinsin()sin()..= ++ 22233 ()xtaEaatnanant()sin() ()cos() ..=++++ 122 t x(t) E Taf 0 f 2f 3f 4f 5f 6f amplitude Analyse spectrale des signaux continus jean-philippe muller 6) Spectre d un signal impulsionnel Ce dernier signal, le train d impulsion, est d une importance capitale en lectronique.

10 Son spectre, d allure compliqu e, se retrouve pourtant tr s simplement gr ce la remarque suivante : La courbe enveloppe des raies a pour quation : yaEnana=2sin() c est une courbe en sin( )XX ( appel aussi sinus cardinal) qui passe par z ro pour n tel que : n a = , 2 , 3 .. donc pour n = 1/a, 2/a, 3/a .. soit pour des fr quences fx telles que fx = 1/aT, 2/aT, 3/aT .. On en d duit une r gle tr s simple pour tracer sans calcul le spectre d un train d impulsions de fr quence et de largeur donn e : tracer l enveloppe en sin(X)/X qui passe par z ro aux fr quences multiples de l inverse de la largeur de l impulsion placer ensuite les raies f, 2f, 3f .. en les limitant par l enveloppe t x(t) E T aT Train d impulsions : largeur aT = 0,8 s fr quence f = 140 kHz Figure 12.