Module : propagation sur les lignes - ta …

1 BS2EL - Physique appliqu e Module : propagation sur les lignes Diaporama : la propagation sur les lignes R sum de cours 1- Les supports de la propagation guid e : la ligne 2- Mod le lectrique d une ligne 3- Equation de propagation des t l graphistes 4- Imp dance caract ristique d une ligne 5- La ligne adapt e 6- Ondes stationnaires sur une ligne d sadapt e 7- Tension sur une ligne en circuit ouvert Exercices Tension sur une ligne adapt e Le c ble coaxial La ligne imprim e Filtres lignes imprim es Inductance de ligne et d couplage Ligne en circuit ouvert R sonateur c ramique coaxial Transformateur quart-d onde R partiteur d antenne Questionnaire : la propagation sur les lignes en questions La propagation sur les lignes 1) Les supports de la propagation guid e : La transmission d un signal d un point un autre peut se faire de deux fa ons : le signal est transform en onde lectromagn tique par une antenne et se propage dans l espace environnant : c est la propagation libre.

2 Le signal suit une piste de circuit imprim , une ligne t l phonique ou une longueur de c ble coaxial: c est la propagation guid e. Dans la propagation guid e, des charges circulant dans les conducteurs sont l origine d un champ lectrique et un champ magn tique qui accompagnent ces charges dans leur d placement. Historiquement, les lignes bifilaires ont t utilis es en premier pour le t l graphe et le t l phone. Pour ce type de ligne, l onde lectromagn tique n existe qu au voisinage de la ligne. On utilise aujourd hui essentiellement la ligne coaxiale, constitu e par un conducteur central entour d un blindage, et la ligne imprim e constitu e d une piste de cuivre sur un substrat isolant comme l poxy ou le T flon, l autre face m tallis e r alisant une quipotentielle Ces lignes sont utilis es jusqu des fr quence de l ordre de 10 GHz.

3 Au del , les pertes dans le di lectrique deviennent excessives et on pr f re utiliser un guide d onde. Figure 1. Les lignes t l phoniques bifilaires. Figure 1. Les deux types de propagation . Figure 2. Structure du c ble coaxial et allure des lignes de champ. Figure 3. Structure d une ligne imprim e et allure des lignes de champ. La propagation sur les lignes .2) Mod lisation de la ligne : Dans l tude et l utilisation des lignes , il faut tenir compte de la vitesse de propagation v du signal toujours inf rieure ou gale la vitesse de la lumi re c. Pour l tude, on d coupe la ligne en tron ons de longueur dx qui seront caract ris s par : une r sistance s rie en g n ral tr s faible ( prendra R = 0, pas de pertes) une conductance parall le en g n ral tr s faible ( prendra G = 0, isolation parfaite)) une inductance s rie , o L est l inductance lin ique (0,5 5 mH/m ) une capacit parall le , o C est la capacit lin ique (50 100 pF/m) Si le g n rateur fournit un signal sinuso dal, la tension V(x) et le courant I(x) d pendent de la position x et on montre que ces grandeurs v rifient les quations appel es quations des t l graphistes : 0)()(222= +xVLCdxxVd et 0)()(222= +xILCdxxId Ces deux quation diff rentielles du second ordre admettent les solutions sinuso dales suivantes.

4 Cos()cos(),(21kxtVkxtVtxv++ = avec vk = rcLCv ==1 )cos()cos(),(21kxtZVkxtZVtxicc+ = CLZc= c= m/s La tension sur la ligne est la somme de deux ondes progressives se propageant en sens contraire : y )cos(1kxtV est une onde progressive d amplitude V1 se propageant de la source vers la charge avec une vitesse v. On l appelle onde incidente. y )cos(2kxtV+ est une onde progressive d amplitude V2 se propageant de la charge vers la source : c est l onde r fl chie. En g n ral, le signal appliqu l entr e d un c ble coaxial va se propager vers la sortie , et une partie de ce signal va se r fl chir sur la r sistance terminale et revenir vers la source. Rg c ble d imp dance caract ristique Zc charge R0 onde incidente x onde r fl chieFigure 5.)

5 Ondes incidente et r fl chie sur une ligne. Figure 4. Mod le de la ligne. (0) V(l) Ligne de longueur l tron on dxV(x)I(x)La propagation sur les lignes 3) La ligne adapt e : On dit qu une ligne est adapt e si elle est termin e sur une r sistance gale son imp dance caract ristique. Dans ce cas, il n y a pas d onde r fl chie et on a V2 = 0 Si une ligne est adapt e, il n y a pas d onde r fl chie et on a simplement sur la ligne une onde progressive se propageant de la source vers la charge. la tension sur la ligne a pour expression : v(x,t) = ( t - kx ) = ( (t-x/v) ) l entr e de la ligne ( x = 0 ) on a : v(0,t) = ( t ).

6 Une distance x de l entr e, on a : v(x,t) = ( t - ) avec = .x/v les points en phase avec l entr e sont s par s par un intervalle tel que le d phasage soit un multiple de 2 : = .x/v = avec n entier soit x = .v/w = = n. Apr s to secondes, tous les maxima ont avanc d une distance xo = La ligne est le si ge d une onde progressive se d pla ant la vitesse v de la source vers la charge. l entr e, tension et courant sont en phase et la ligne adapt e se comporte vu de l entr e comme une simple r sistance de valeur : Re = V(0)/I(0) = Zc si une ligne d imp dance caract ristique Zc est adapt e, cette ligne a une imp dance d entr e r sistive et gale Zc par exemple si un analyseur de spectre 50 est quip d un c ble 50 , l ensemble est quivalent une r sistance de 50 Conclusion : lorsqu on applique l entr e d une ligne adapt e une tension d amplitude V1, la tension garde la m me valeur V1 en tout point de la ligne.

7 La tension en sortie est aussi gale V1. Rg c ble d imp dance caract ristique Zc charge R=Zc0 onde incidente V1 x onde r fl chie V2=0 lFigure 6. Le cas de la ligne adapt e. Figure 7. R partition de la tension sur la ligne t=0 (a) et t=to (b). La propagation sur les lignes 4) Ondes stationnaires sur une ligne d sadapt e : Pour tudier ce cas, on fait un changement de rep re en prenant un axe qui a son origine en bout de ligne et orient de la sortie vers l entr e. La tension et le courant sur la ligne s crivent alors : )cos()cos(),(21kxtVkxtVtxv ++= )cos()cos(),(21kxtZVkxtZVtxicc += L onde r fl chie a une amplitude V2 donn e par le coefficient de r flexion r : V2 = R - Zc = r coefficient de r flexion en bout de ligne V1 R + Zc A une distance x du bout de la ligne la tension s crit alors : v(x,t) = ( t + kx ) + ( t - kx ) aux points x0 o les 2 termes sont en phase, la tension est maximale (ventre) : V(xo) = V1.

8 (1 + r ) sup rieure la tension en entr e ces points sont caract ris s par : = soit x0 = n. aux points x1 o les deux termes sont en opposition de phase, la tension est minimale (noeud) : V(x1) = V1.(1 - r ) inf rieure la tension d entr e ces points sont caract ris s par : = ( 2n + 1 ). soit x1 = ( 2n + 1). /2 On d finit alors le Rapport d Ondes Stationnaires ou ROS de la mani re suivante : ROS = amplitude maximale = 1 + IrI ROS = 1 si la ligne est adapt e amplitude minimale 1 - IrI Conclusion : lorsqu on applique l entr e d une ligne d sadapt e une tension d amplitude V1, la tension n a pas la m me valeur en tout point de la ligne et sa valeur en sortie n est pas bien connue. Rg c ble d imp dance caract ristique Zc charge Rl onde incidente V1 x onde r fl chie V2 0 Figure 8.

9 La ligne d sadapt e est parcourue par deux ondes progressives. Figure 9. R partition de la tension sur la ligne d sadapt e. BS2EL - Physique appliqu e Exercices d application jean-philippe muller version janvier 2008 Les lignes LIGN1- Tension sur une ligne adapt e Comprendre comment se r partit la tension le long d une ligne On s int resse la r partition de tension sur un c ble coaxial longueur l = 5m et caract ris par une vitesse de propagation du signal v = 200 000 km/s : 1) Calculer le retard introduit par ce tron on de c ble. 2) Ecrire la transmittance H(p) du c ble puis sa transmittance complexe H(j ) et donner l expression de son Module et de son argument. 3) Sur le diagramme de Bode de ce tron on de c ble, v rifier la valeur du d phasage 10 , 20 et 40 MHz 4) Si e(t) = 5cos( t) exprimer la tension v(t) la position x en fonction de , x et.

10 5) Si f = 100 MHz, pr ciser les endroits o la tension v(t) est en phase avec e(t) et donner l expression de s(t). Rg=50 c ble Zc = 50 charge R=50 e(t) s(t) 0 l xv(t)Les lignes LIGN2- Le c ble coaxial Conna tre les caract ristiques principales d un c ble coaxial On se propose d tudier les propri t s d un c ble coaxial RG58C/U dont les caract ristiques sont les suivantes : 1) A partir de la valeur de la capacit lin ique du c ble, calculer la permittivit relative r de l isolant utilis dans ce c ble. 2) Calculer son l inductance lin ique L et v rifier la valeur de son imp dance caract ristique Zc. 3) En d duire la valeur de la vitesse de propagation rcCLv ==.1du signal sur le c ble. 4) Un tron on de L = 10m de ce c ble est utilis pour transporter un signal de fr quence f = 100 MHz.