Cálculo 1 - Unicamp

1 C lculo 1. S. Friedli Departamento de Matem tica Instituto de Ci ncias Exatas Universidade Federal de Minas Gerais Vers o 16 de fevereiro de 2013. Apostila em acesso livre em ~sacha. ii Vers o (16 de fevereiro de 2013). Sugest es, cr ticas e corre es: Sum rio 1 Fundamentos 3. N meros reais .. 3. Equa es do primeiro e segundo grau .. 4. Ordem e intervalos .. 6. Valor absoluto .. 7. Inequa es e sinal .. 7. O plano cartesiano .. 10. Retas .. 11. C rculos .. 14. Trigonometria .. 15. Medir ngulos no plano .. 15. Seno, cosseno e tangente .. 16. Identidades trigonom tricas .. 19. 2 Fun es 21. De ni o e Exemplos .. 21. Limita o .. 23. Gr co .. 24. Pot ncias inteiras: xp .. 27. Paridade .. 29. Fun es Trigonom tricas .. 30. Transforma es .. 32. Montar fun es .. 34. Composi o, contradom nio e imagem .. 35. Bije o, fun o inversa .. 38. Inversos das pot ncias .. 40. Fun es trigonom tricas inversas .. 40. 3 Exponencial e Logaritmo 45. Exponencial .. 46. Logaritmo.

2 51. A base e = 2; 718::: .. 54. Fun es trigonom tricas hiperb licas .. 56. iii SUM RIO. 4 Limites 59. Limites limx! 1 f (x) .. 59. A de ni o de limite .. 62. Limites in nitos .. 64. Quocientes e diferen as de n meros grandes .. 65. Limites laterais: limx!a f (x) .. 69. Limites limx!a f (x) .. 72. 0. 0. Indetermina es do tipo .. 73. O limite limh!0. (x+h)n xn .. 75. O limite limx!0. sen x h .. 75. x Limites laterais in nitos, ass ntotas verticais .. 76. Mudar de vari vel .. 78. x O limite e = limx!1 1 +. 1 .. 79. x Continuidade .. 80. O Teorema do valor intermedi rio .. 82. Limites e fun es cont nuas .. 83. Exerc cios de revis o .. 84. 5 Derivada 87. Retas e gr cos de fun es .. 87. Reta tangente e derivada .. 89. Pontos de n o-diferenciabilidade .. 91. Derivabilidade e continuidade .. 92. A derivada como fun o .. 93. Derivar as pot ncias inteiras: xp .. 94. Derivar as fun es trigonom tricas .. 94. Derivar exponenciais e logaritmos .. 95. Regras de deriva o.

3 96. Derivar as pot ncias x ; exponencia o .. 99. Derivadas logar tmicas .. 100. Derivar uma fun o inversa .. 101. O Teorema de Rolle .. 102. Derivada e Varia o .. 103. Lineariza o .. 106. Deriva o impl cita .. 108. Taxa de varia o, velocidade .. 111. Taxas relacionadas .. 114. Convexidade, concavidade .. 115. Valores extremos .. 118. Extremos globais .. 118. Extremos locais .. 120. A procura de extremos em intervalos fechados .. 122. Problemas de otimiza o .. 123. A Lei de Snell .. 126. A Regra de Bernoulli-l'H pital .. 128. Sobre o crescimento das fun es no 1 .. 133. iv Vers o (16 de fevereiro de 2013). Sugest es, cr ticas e corre es: SUM RIO. Ass ntotas obl quas .. 134. Estudos de fun es .. 137. 6 Integral 141. Introdu o .. 141. A integral de Riemann .. 145. O Teorema Fundamental do C lculo .. 147. reas de regi es do plano .. 150. Primitivas .. 152. Integra o por Substitui o .. 153. Integra o por Partes .. 156. Comprimento de arco .. 159.

4 S lidos de revolu o .. 160. Aproxima o por cilindros .. 161. Aproxima o por cascas .. 164. Exerc cios .. 168. reas de superf cies de revolu o .. 168. Integra o de fun es racionais .. 169. Integrais Impr prias .. 174. Integrais impr prias em intervalos in nitos .. 174. R1 dx As integrais a xp .. 176. O crit rio de compara o .. 178. Integrais impr prias em R .. 179. Integrais impr prias em intervalos nitos .. 180. Integrar pot ncias de fun es trigonom tricas .. 181. Primitivas das fun es senmm x cosn x .. 181. Primitivas das fun es tan x sec x .. n 183. R p Substitui es trigonom tricas .. 184. A primitiva R p 1 x2 dx .. 184. A primitiva R p 1 + x2 dx .. 187. A primitiva x2 1 dx .. 188. A Solu es dos Exerc cios 189. v Vers o (16 de fevereiro de 2013). Sugest es, cr ticas e corre es: SUM RIO. vi Vers o (16 de fevereiro de 2013). Sugest es, cr ticas e corre es: Pref cio Oriundo principalmente do estudo da mec nica e da astronomia, o C lculo, chamado tamb m C lculo in nitesimal, nasceu no m do s culo XVII, com os trabalhos de 1 2.

5 Newton e Leibniz . Hoje em dia, ele usado em todas as reas da ci ncia, e funda- mental nas reas da engenharia. A presente apostila cont m a ementa da mat ria C lculo I, como ensinada no De- partamento de Matem tica da UFMG. Ela tem como objetivo fornecer ao aluno um conhecimento b sico dos conceitos principais do C lculo que s o: limites, derivadas e integral. Ela tamb m prepara o aluno para as outras mat rias que usam C lculo I nos cursos de ci ncias exatas (f sica e matem tica) e engenharia, tais como C lculo II e III, EDA, EDB, A apostila come a com um cap tulo sobre fundamentos, fazendo uma revis o de v rios conceitos b sicos em princ pio j conhecidos pelo aluno: equa es, inequa es, plano cartesiano e trigonometria. A partir do Cap tulo 2, o conceito de fun o introduzido. A no o central de limite abordada no Cap tulo 4, e a de derivada no Cap tulo 5. O resto do texto sobre o objeto central desse curso: a no o de integral, o Teorema Fundamental do C lculo, e as suas aplica es.

6 O texto cont m bastante exerc cios, cuja compreens o fundamental para a assimi- la o dos conceitos. As solu es, s vezes detalhadas, se encontram num ap ndice. Essa apostila est em fase de elabora o. Qualquer sugest o, cr tica ou corre o bem vinda: Agrade o s seguinte pessoas pelas suas contribui es, corre es e sugest es: Euller Tergis Santos Borges, Felipe de Lima Horta Radicchi, Fernanda de Castro Maia, Marina Werneck Ragozo, Mariana Chamon Ladeira Amancio, Pedro Silveira Gomes de Paiva, Tou c Mahmed Pottier Lauar, Prof. Carlos Maria Carballo, Prof. F bio Xavier Penna (UNIRIO), Prof. Francisco Dutenhefner, Prof. Hamilton Prado Bueno, Prof. Jorge Sabatucci, Profa. Viviane Ribeiro Tomaz da Silva, Prof. Viktor Bekkert. 1 Sir Isaac Newton (Woolsthorpe-by-Colsterworth, 4 de janeiro de 1643 Londres, 31 de mar o de 1727). 2 Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julho de 1646 Han ver, 14 de novembro de 1716). 1. SUM RIO. 2. Vers o (16 de fevereiro de 2013).

7 Sugest es, cr ticas e corre es: Cap tulo 1. Fundamentos A good course is a course with many stupid questions.. Wendelin Werner, medalhista Fields 2006. Quem faz uma pergunta boba ca com vergonha 5 segundos. Quem n o pergunta nada ca bobo para . Um faxineiro do ICEx, 2008. C lculo lida com fun es de uma ou mais vari veis reais. Portanto, ele necessita de uma compreens o boa das principais propriedades dos n meros reais, e suas manipu- la es na resolu o de problemas elementares. Esse cap tulo cont m lembretes sobre a aritm tica elementar dos n meros reais, as- sim como a descri o de certos conjuntos do plano cartesiano, como retas e c rculos. N o pretendemos dar uma exposi o completa sobre esses assuntos, mas apenas lembrar alguns fatos e estabelecer nota es a respeito de coisas elementares conhecidas pelo leitor. A mat ria desse cap tulo ser usada constantemente no restante da apostila: impor- tante o leitor veri car que ele consegue fazer todos os exerc cios.

8 N meros reais O conjunto dos n meros reais, R, pode ser visto como o conjunto dos pontos da linha real, que ser o em geral denotados por letras min sculas: x; y; s; t; u, etc. R munido de quatro opera es aritm ticas b sicas: adi o ( +), subtra o ( ), multiplica o ( ou ) e divis o ( , ou simplesmente =). Lembremos a import ncia de dois n meros com papel relevante com respeito adi o e multiplica o. Primeiro, o elemento 0 ( zero ) tal que x +0 = 0+ x = x, x 0 = 0 x = 0. para todo x. Um real x diferente de zero ser s vezes chamado de n o-nulo. Por outro lado, o elemento 1 ( um ) tal que x 1 = 1 x = x para todo x 2 R.. importante lembrar que a divis o por zero n o de nida . Portanto, s mbolos do tipo 3. CAP TULO 1. FUNDAMENTOS. x=0 ou 0=0 n o fazem sentido. No entanto, 0=x = 0 para todo x 6= 0. Os subconjuntos de R ser o em geral denotados usando letras mai sculas. Por exemplo, A = f0; 1; 2g o conjunto que cont m os tr s n meros reais 0; 1 e 2, e B = (0; 2) o intervalo aberto que cont m todos os reais entre 0 e 2 (ver abaixo).

9 O conjunto dos n meros naturais 1. N :=f1; 2; 3; : : : g ;. e o conjunto dos inteiros . Z :=f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : : g : As opera es entre conjuntos s o: interse o ( \), uni o ([), diferen a (n). O con- junto vazio ser denotado por . Equa es do primeiro e segundo grau Considere a equa o do primeiro grau: 1 + 4x = 7 : ( ). x para os quais a igual- Resolver essa equa o signi ca achar o(s) valor(es) da vari vel dade em ( ) verdadeira. Esse conjunto de valores ser denotado por S e chamado conjunto de solu es. A resolu o bem conhecida: isolando x obtemos uma nica solu o x = 2. Portanto, o conjunto das solu es de ( ) S = f 2g. Considere em seguida a equa o do segundo grau: x2 = 9 : ( ). p Aqui, sabemos que existem duas solu es, x= 9 = 3, logo S = f+3; 3g. Agora, j que um n mero negativo n o possui raiz quadrada, a equa o x2 = 4. n o possui nenhuma solu o real: S = . Finalmente, x2 = 0. possui uma nica solu o: S = f0g. Um outro jeito de entender ( ) de escrev -la x2 9 = 0 e de fatorar o polin mio x2 9, obtendo um produto de dois fatores: (x 3)(x + 3) = 0 : 1 Ao longo da apostila, o s mbolo := ser usado para de nir um objeto.]

10 Por exemplo, A:=fx 2 R : x > 1g signi ca que A de nido 2. como o conjunto dos n meros reais cujo quadrado maior que 1. 4. Vers o (16 de fevereiro de 2013). Sugest es, cr ticas e corre es: CAP TULO 1. FUNDAMENTOS. Para o produto de dois fatores (aqui, 3 e x + 3) ser zero, necess rio que pelo x menos um deles seja nulo. Se for o primeiro, x 3 = 0, ent o x = 3. Se for o segundo, x + 3 = 0, logo x = 3. De modo geral, para x ser solu o de uma equa o da forma (x )(x ) = 0 ; ( ). pelo menos um dos fatores, (x ) ou (x ), deve ser igual a zero, o que implica x = ou x = . Portanto, o conjunto das solu es de ( ) dado por S = f ; g. Olhemos agora para a equa o do segundo grau da forma geral ax2 + bx + c = 0 : ( ). Se a = 0, essa equa o do primeiro grau, bx + c = 0 ;. e a sua nica solu o dada por x= c b (supondo b 6= 0). Isto , S = f cb g. Por outro lado, se a 6= 0, ent o dividindo ( ) por a, e completando o quadrado obtemos: 0 = x2 + ab x + ac = (x + 2ba )2 ( 2ba )2 + ac : Portanto, (x + 2ba )2 = ( 2ba )2 ac = b 4a4ac : 2.