Exemplos - Diagonalização de Operadores Lineares

1 Exemplos - Diagonaliza o de Operadores Lineares Exemplo 1: Considere o operador linear T : R2 R2 , dado por T (x, y) = (x, 2x + y). Vamos encontrar os autovalores e autovetores de T . A matriz que representa T com rela o a base can nica B do R2 : . 1 0. (T )B =. 2 1. O polin mio caracter stico de T o polin mio caracter stico de (T )B dado por: 1 0. p( ) = det((T )B I2 ) = = (1 )2. 2 1 . Os autovalores de T s o as ra zes do polin mio caracter stico: p( ) = 0 (1 )2 = 0 (1 )(1 ) = 0 = 1. Observe que = 1 aparece duas vezes como raiz do polin mio caracter stico de T , logo a multiplicidade alg brica de = 1 igual a 2. Para este autovalor, temos: T (x, y) = (x, y) (x, 2x + y) = 1(x, y) 2x + y = y x = 0. Assim, os autovetores associados a = 1 s o da forma v = (0, y) = y(0, 1). Uma base para o subespa o S {(0, 1)}, portanto dim(S ) = 1, logo a multiplicidade geom trica de = 1 igual a 1.

2 Observe que as multiplicidades alg brica e geom trica de um mesmo autovalor nem sempre s o iguais. Exemplo 2: Considere o operador linear T : R2 R2 dado por T (x, y) = (y, x). Os autovalores de T s o 1 = 1 e 2 = 1. Para 1 = 1, temos: T (x, y) = 1 (x, y) (y, x) = 1(x, y) x = y Os autovetores de T associados a 1 s o da forma v1 = (x, x) = x(1, 1). Para 2 = 1, temos: T (x, y) = 2 (x, y) (y, x) = 1(x, y) y = x Assim, os autovetores de T associados a 2 s o da forma v2 = (x, x) = x(1, 1). Considere dois autovetores de T , por exemplo, (1, 1) e (1, 1). Esses vetores s o linearmente independentes e como dim(R2 ) = 2, temos que B = {(1, 1), (1, 1)} uma base para o R2. formada por autovetores do operador T . Escrevendo as imagens dos elementos da base B , pela transforma o T , como combina es Lineares dos elementos de B , temos: T (1, 1) = (1, 1) = 1(1, 1) + 0(1, 1).

3 T (1, 1) = ( 1, 1) = 0(1, 1) 1(1, 1). Portanto, a matriz que representa T com rela o a base B : . 1 0. (T )B =. 0 1. que uma matriz diagonal , logo T um operador diagonaliz vel. Observe que os elementos da diagonal de (T )B s o os autovalores de T . 1. Exemplo 3: Considere o operador T : R3 R3 dado por T (x, y, z) = (x + y, y, z) e a base can nica B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} do R3 . A matriz que representa T com rela o a base B : . 1 1 0. (T )B = 0 1 0 . 0 0 1. Portanto, o polin mio caracter stico de T : 1 1 0. p( ) = det((T )B I3 ) = 0 1 0 = (1 )( 1 )(1 ). 0 0 1 . As ra zes do polin mio caracter stico de T s o: p( ) = 0 (1 )( 1 )(1 ) = 0 = 1. Assim, os autovalores de T s o 1 = 1 com multiplicidade alg brica igual a 2 e 2 = 1 com multiplicidade alg brica igual a 1. Para 1 = 1, temos.

4 X+y =x T (x, y, z) = 1 (x, y, z) (x + y, y, z) = 1(x, y, z) y=0. y = y Assim, os autovetores de T associados a 1 = 1 s o da forma v1 = (x, 0, z) = x(1, 0, 0)+z(0, 0, 1). Observe que {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} uma base para o subespa o S 1 , logo a multiplicidade geom trica de 1 igual a 2. Agora, para 2 = 1, temos: . x + y = x . y = 2x T (x, y, z) = 2 (x, y, z) (x + y, y, z) = 1(x, y, z) y = y . z=0. z = z . Assim, os autovetores de T associados ao autovalor 2 = 1 s o da forma v2 = (x, 2x, 0) =. x(1, 2, 0). Observe que {(1, 2, 0)} uma base para S 2 , logo a multiplicidade geom trica de 2 igual a 1. Considere ent o o conjunto {(1, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 2, 0)}. Esse conjunto linearmente indepen- dente, e como dim(R3 ) = 3, temos que C = {(1, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 2, 0)} uma base para o R3 , formada por autovetores de T.

5 Portanto, T um operador diagonaliz vel. Escrevendo as ima- gens dos elementos da base C , pela transforma o T , como combina es Lineares dos elementos de C , temos: T (1, 0, 0) = (1, 0, 0) = 1(1, 0, 0) + 0(0, 0, 1) + 0(1, 2, 0). T (0, 0, 1) = (0, 0, 1) = 0(1, 0, 0) + 1(0, 0, 1) + 0(1, 2, 0). T (1, 2, 0) = ( 1, 2, 0) = 0(1, 0, 0) + 0(0, 0, 1) 1(1, 2, 0). Portanto, a matriz que representa T com rela o a base C de autovetores : . 1 0 0. (T )C = 0 1 0 . 0 0 1. que uma matriz diagonal . Exemplo 4: Considere o operador linear T : R2 R2 dado por T (x, y) = (x + y, y). Tomando a base can nica B do R2 , a matriz que representa T com rela o a base B : . 1 1. (T )B =. 0 1. 2. Portanto, o polin mio caracter stico de T dado por: 1 1. p( ) = det((T )B I2 ) = = (1 )(1 ). 0 1 . Assim, a raiz do polin mio caracter stico = 1, com multiplicidade 2.

6 Logo, o operador T. possui um autovalor = 1 com multiplicidade alg brica igual a 2. Nesse caso, temos: T (x, y) = (x, y) (x + y, y) = (x, y) y = 0. Portanto, os autovetores de T associados ao autovalor = 1 s o da forma v = (x, 0) = x(1, 0). Uma base para S {(1, 0)}, e assim, o autovalor tem multiplicidade geom trica igual a 1. Como dim(R2 ) = 2, observe que para formarmos uma base para o R2 com autovetores de T. precisamos de 2 autovetores linearmente independentes, mas os nicos autovetores de T s o da forma x(1, 0) e quaisquer dois que tomarmos ser o linearmente dependentes, pois ser o m ltiplos um do outro. Logo, n o podemos obter uma base para o R2 formada apenas por autovetores do operador linear T , assim T n o diagonaliz vel. Observe que as multiplicidades alg brica e geom trica do autovalor n o s o iguais.

7 Exemplo 5: Considere uma matriz diagonal A, por exemplo: . 2 0. A=. 0 3. claro que A uma matriz diagonaliz vel, bastando tomar como matriz diagonalizante I2 , a matriz identidade de ordem 2 e como matriz diagonal a pr pria matriz A. De fato, temos que: A = IAI 1. Logo, A diagonaliz vel. Exemplo 6: Considere a matriz A dada por: . 1 2. A=. 0 2. O polin mio caracter stico de A dado por: 1 2. p( ) = det(A I2 ) = = (1 )( 2 ). 0 2 . As ra zes do polin mio caracter stico s o p( ) = 0 (1 )( 2 ) = 0 = 1 ou = 2. Portanto, A possui dois autovalores 1 = 1 e 2 = 2. Para 1 , temos que: . 1 2 x1 x1 x1 + 2x2 x1. AX = 1 X =1 = x2 = 0. 0 2 x2 x2 2x2 x2. Assim, os autovetores da matriz A associados ao autovalor 1 = 1 s o da forma: . x1 1. X1 = = x1. 0 0. Para 2 = 2, temos que: . 1 2 x1 x1 x1 + 2x2 2x1 3.

8 AX = 2 X = 2 = x2 = x1. 0 2 x2 x2 2x2 2x2 2. 3. Assim, os autovetores de A associados ao autovalor 2 = 2 s o da forma: . x1 1. X2 = = x1. 3x21 32. Observe que (1, 0) e (1, 32 ) s o linearmente independentes, portanto A possui 2 autovetores linearmente independentes, o que implica que a matriz A diagonaliz vel. De fato, basta tomar a matriz diagonalizante U e a matriz diagonal D dadas por: . 1 1 1 0. U= e D=. 0 32 0 2. Observe que as colunas de U s o os autovetores de A e a matriz diagonal D foi constru da com os autovalores de A. Temos que A semelhante a matriz D, ou seja, A = U DU 1 , de fato, podemos veri car que: 2.. 1 1 1 1 0 1 3 1 2. A = U DU = =. 0 32 0 2 2. 0 3 0 2. Assim, A uma matriz diagonaliz vel. Exemplo 7: Considere a matriz A dada por: . 0 2. A=. 1 1. O polin mio caracter stico de A dado por: 0 2.

9 P( ) = det(A I2 ) = = (1 ) 2 = 2 2. 1 1 . As ra zes do polin mio caracter stico s o: p( ) = 0 2 2 = 0 = 1 ou = 2. Assim, 1 = 1 e 2 = 2 s o autovalores de A. Para o autovalor 1 , temos que: . 0 2 x1 x1 2x2 x1. AX = 1 X = 1 = x1 = 2x2. 1 1 x2 x2 x1 + x2 x2.. 2. Portanto, os autovetores de A associados ao autovalor 1 s o da forma X1 = x2 . Para o 1. autovalor 2 = 2, temos que: . 0 2 x1 x1 2x2 2x1. AX = 2 X =2 = x1 = x2. 1 1 x2 x2 x1 + x2 2x2.. 1. Portanto, os autovetores de A associados ao autovalor 2 = 2 s o da forma X2 = x1 . 1. Como os autovetores ( 2, 1) e (1, 1) s o linearmente independentes, temos que A uma matriz diagonaliz vel, basta tomar U a matriz diagonalizante cujas colunas s o os autovetores de A. linearmente independentes e a matriz diagonal D cujos elementos da diagonal s o os autovalores de A.

10 2 1 1 0. U= e D=. 1 1 0 2. De fato, podemos ver que: . 1 2 1 1 0 1 1 1 0 2. A = U DU = =. 1 1 0 2 3 1 2 1 1. Logo, A uma matriz diagonaliz vel. 4.