Transcription of Exemplos - Núcleo e Imagem - Unicamp
1 Exemplos - N cleo e ImagemExemplo 1:Considere a transforma o linear:T:R2 R(x, y)7 T(x, y) = 3x+ 2yVamos determinar o n cleo da transforma o elemento deR2est no n cleo se a transforma oTo transforma no elemento neutrodeR, ou seja:T(x, y) = 3x+ 2y= 0 y= 32xAssim, a retay= 32x, subespa o vetorial, deR2, o n cleo da transforma o 1: A retay= 32x o n cleo da transforma o 2:Considere a transforma o linear:T:R3 R2(x, y, z)7 T(x, y, z) = (x y z,2z x)Vamos determinar a Imagem da transforma o elemento do contra-dom nioR2pertence a Imagem deTse for da forma:(x y z,2z x) =x(1, 1) +y( 1,0) +z( 1,2)Logo, temos queIm(T) = [(1, 1),( 1,0),( 1,2)]. Escalonando esses geradores da Imagem ,como linhas de uma matriz, para obtermos uma base, temos: 1 1 1 0 1 2 1 10 10 1 1 10 10 0 E, portanto,{(1, 1),(0, 1)} uma base paraIm(T)edim(Im(T)) = 2 =dim(R2).
2 ComoIm(T) um subespa o doR2e tem a mesma dimens o queR2, conclu mos queIm(T) = 3:Considere a transforma o linearT:R2 R3tal que:T(1,1) = (3,2,1),T(0, 2) = (0,1,0)Vamos determinar o n cleo e a Imagem , determinamos explicitamente a transforma oT. Podemos verificar que{(1,1),(0, 2)} uma base paraR2. Todo elemento doR2pode ser escrito de modo nico como:(x, y) =x(1,1) +( y+x2)(0, 2)Assim, temos:T(x, y) =T(x(1,1) +( y+x2)(0, 2))=xT(1,1) +( y+x2)T(0, 2) T(x, y) =x(3,2,1) +( y+x2)(0,1,0) T(x, y) =(3x, y+ 5x2, x)Agora, um elemento doR2pertence ao n cleo deTse ele transformado no elemento neutro doR3pela transforma oT, ou seja:T(x, y) =(3x, y+ 5x2, x)= (0,0,0) 3x= 0 y+5x2= 0x= 0 {x= 0y= 0 Logo,N(T) ={(0,0)}.Figura 2: A origem(0,0) o n cleo da transforma o determinar o conjunto Imagem deT. Um elemento do contra-dom nioR3pertencer a Imagem deTse for da forma:(3x, y+ 5x2, x)=x(3,52,1)+y(0, 12,0)Assim,Im(T) =[(3,52,1),(0, 12,0)].}
3 Podemos ver facilmente que esse conjunto de geradores e portanto,{(3,52,1),(0, 12,0)} uma base paraIm(T).Exemplo 4:Considere a transforma o linear:T:R3 R4(x, y, z)7 T(x, y, z) = (x y z, x+y+z,2x y+z, y)Vamos determinar o n cleo e a Imagem desta transforma o n cleo da transforma o est o todos os elementos doR3que s o transformados no elementoneutro doR4pela transforma oT, ou seja:T(x, y, z) = (x y z, x+y+z,2x y+z, y) = (0,0,0,0) x y z= 0x+y+z= 02x y+z= 0 y= 0 x z= 0x+z= 02x+z= 0y= 0 x= 0y= 0z= 0 Assim,N(T) ={(0,0,0)}.Um elemento do contra-dom nioR4pertence a Imagem deTse for da forma:(x y z, x+y+z,2x y+z, y) =x(1,1,2,0) +y( 1,1, 1, 1) +z( 1,1,1,0)Assim,Im(T) = [(1,1,2,0),( 1,1, 1, 1),( 1,1,1,0)]. Escalonando esses geradores para ob-termos uma base para a Imagem , temos: 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 00 2 1 10 2 3 0 1 1 2 00 2 1 10 0 2 1 Portanto,{(1,1,2,0),(0,2,1, 1),(0,0,2,1)} uma base paraIm(T).
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