C alculo I Cuarto examen parcial Ejercicios resueltos

1 C alculo ICuarto examen parcialEjercicios resueltosHora de inicio: 8:00. Hora de entrega: 11 Derivar las siguientes funciones usando la definici on:(i)f(x) =12x+1.(ii)g(x) = 2x2+ on.(i)f(x) =12x+1yf(x+h) =12(x+h)+1entonces:f(x+h) f(x)h=12(x+h)+1 12x+1h=2x+ 1 (2x+ 2h+ 1)(2x+ 2h+ 1)(2x+ 1)h= 2h(2x+ 2h+ 1)(2x+ 1)h= 2(2x+ 2h+ 1)(2x+ 1)y de esta manera obtenemos:f (x) = l mh 0f(x+h) f(x)h= l mh 0 2(2x+ 2h+ 1)(2x+ 1)= 2(2x+ 1)21(ii)g(x) = 2x2+ 1 yg(x+h) = 2(x+h)2+ 1 = 2x2+ 4xh+ 2h2+ 1entonces:g(x+h) g(x)h=(2x2+ 4xh+ 2h2+ 1) (2x2+ 1)h=4xh+ 2h2h= 4x+hy de esta manera obtenemos:g (x) = l mh 0g(x+h) g(x)h= l mh 0(4x+ 2h)= ) Hacer un dibujo de la gr afica de la funci onf:R Rdada por:f(x) ={x2si 1 x <0. x2si 0 x ) Esfuna funci on continua enx= ) Esfuna funci on derivable enx= 0. Dar razones para su ) He aqu su gr afica:2b) l mx 0 x2= 0 y l mx 0+ x2= 0 entonces l mx 0f(x) = l mx 0f(x) = 0 =f(0) se sigue que la funci on es continuaenx= ) l mx 0 f (x) = l mx 0 (2x) = 0 y l mx 0+f (x) = l mx 0+( 2x) =0 entonces l mx 0f (x) = 0.}

2 Como el l mite existe y es igual a 0,se sigue quefes derivable enx= ) Sif(x) =x2+12x 4, hay alg un punto donde la pendiente de larecta tangente afsea igual a 32?.b) Sif(x) =x 12x, encontrar un punto donde la pendiente de larecta tangente afsea igual a 32(si existe).c) Sif(x) = 2x3 3x2 12x+ 20, encontrar un punto donde lapendiente de la recta tangente afsea paralela al ) Sif(x) =x3, encontrar las intersecciones con los ejesxyyde larecta tangente afen el punto ( 2, 8).e) Sif(x) = 2x3 3x2 12x+20, encontrar los puntos donde la rectatangente afsea perpendicular a la l nea dada por la ecuaci ony= 1 x/24, encontrar los puntos donde la recta tangente seaparalela a la rectay= 2 ) Sif(x) =x2+12x 4entoncesf (x) =12 2(2x 4)2. Si la pendiente de3la recta tangente afes 32tendremos las siguientes igualdades: 32=f (x) 32=12 2(2x 4)2 2 = 2(2x 4)21 =1(2x 4)2(2x 4)2= 14x2 16x+ 16 = 14x2 16x+ 15 = 0(2x 5)(2x 3) = lo quex=52ox=32y de esta manera (52,94) y (32, 14) sonlos puntos donde la pendiente de la tangente es ) Sif(x) =x 12xentoncesf (x) = 1 +2(2x)2= 1 +12x2.

3 Como lapendiente de la tangente es 3 tenemos que:3 = 1 +12x22 =12x214= lo tantox= 12y as (12, 12)y( 12,12)son los puntos dondela pendiente de la tangente es ) Sif(x) = 2x3 3x2 12x+ 20 entoncesf (x) = 6x2 6x 12, latangente es paralela al ejexcuandof (x) = 0, tenemos entonceslas siguientes igualdades:6x2 6x 12 = 0x2 x 2 = 0(x 2)(x+ 1) = lo tantox= 2 ox= 1 y de esta manera obtenemos que (2,0)y ( 1,27) son puntos en la curva donde la tangente es paralelaal ) Sif(x) =x3entoncesf (x) = 3x2yf ( 2) = 12. La ecuaci onde la recta tangente en ( 2, 8) esy+ 8 = 12(x+ 2), es deciry= 12x+ 16; podemos encontrar las intersecciones en el ejexresolviendo la ecuaci on 0 = 12x+ 16 y obtenemosx= 43; laintersecci on en el ejeyesy= 12(0) + 16 = ) Sif(x) = 2x3 3x2 12x+ 20, la derivada defesf (x) =6x2 6x 12. Veamos los dos casos buscados:(i) La tangente es perpendicular a la l neay= 1 x24, entonces supendiente ser a igual a (1 (124))= 24, igualamos la derivadaa la pendiente buscada:6x2 6x 12 = 24x2 x 2 = 4x2 x 6 = 0(x 3)(x+ 2) = 0,de esta manera la soluci on esx= 2 ox= 3 y ( 2,16)y (3,11) son puntos donde la tangente es perpendicular ay= 1 x24.

4 (ii) La tangente es paralela a la l neay= 2 12xcuandof (x) = 12:6x2 6x 12 = 12x2 x= 0x(x 1) = 0,as x= 0 ox= 1 y los puntos donde la tangente es paralelaay= 2 12xson (0,20) y (1,7).4. Encontrar los m aximos y m nimos de las funciones cuya gr afica semuestra en las ) Figura ) Figura ) M nimo local en ( 1,0) y m aximo local en (0,1), no existenm aximo ni m ) M nimo en ( 2,0) y (2,0), m aximo en (0,2).5. Encontrar las derivadas de las siguientes funciones:(i)f(x) =x3 3(x2+ 2).(ii)f(x) =x7+ 7x 1 +1.(iii)f(x) = (x+ 1)2(x2+ 2x).(iv)f(x) = (2x 5)(4 x 1).(v)f( ) = ( 2+ sec + 1)3.(vi)f( ) = ( 1 cos 2 22)2.(vii)f(x) = x1+ x.(viii)f(x) =1 x 1.(ix)f(x) = 2 tan2x sec2x.(x)f(x) =1sen2x 2senx.(xi)f(x) = cos4(1 2x).(xii)f(x) = cot3(2x).(xiii)f(x) = (secx+ tanx)5.(xiv)f(x) = (csc5(1 x+ 3x2).

5 (xv)f(x) = 2xsenx.(xvi)f(x) = 2xcosx.(xvii)f(x) = sen 2x.(xviii)f(x) = sen (x+ x+ 1).Soluci on.(i)f(x) =x3 3(x2+ 2) f (x) = 3x2 3(2x+ 0) = 3x2 (ii)f(x) =x7+ 7x 1 +1 f (x) = 7x6+ 7.(iii)f(x) = (x+ 1)2(x2+ 2x) f (x) = (x+ 1)2(2x+ 2) + (x2+2x)(2(x+ 1)) = 2(x+ 1)[(x+ 1)2+x(x+ 2)] = 2(x+ 1)(2x2+4x+ 1) = 4x3+ 12x2+ 10x+ 2.(iv)f(x) = (2x 5)(4 x 1) f (x) = (2x 5)( 1)(4 x) 2( 1) +(4 x) 1(2) = (4 x) 2[(2x 5) + 2(4 x)] = 3(4 x) 2.(v)f( ) = ( 2+ sec + 1)3 f (x) = 3( 2+ sec + 1)2(2 +sec tan ).(vi)f( ) = ( 1 cos 2 22)2 f (x) = 2( 1 csc 2 24)(csc cot 2 2) = ( 1 csc 2 24)(csc cot ).(vii)f(x) = x1+ x f (x) =(1+ x) 12 x x(12 x)(1+ x)2=(1+ x) x2 x(1+ x)2=12 x(1+ x)2.(viii)f(x) =1 x 1 f (x) =( x 1)(0) 1(12 x)( x 1)2= 12 x( x 1)2.(ix)f(x) = 2 tan2x sec2x f (x) = (4 tanx)(sec2x) (2 secx)(secxtanx) =2 sec2xtanx.

6 (x)f(x) =1sen2x 2senx f (x) = csc2x 2 cscx.(xi)f(x) = cos4(1 2x) f (x) = 4 cos3(1 2x)( sen(1 2x))( 2) =8 cos3(1 2x) sen(1 2x).(xii)f(x) = cot3(2x) f (x) = 3 cot2(2x)( csc2(2x))( 2x2) =6x2cot2(2x) csc2(2x).(xiii)f(x) = (secx+ tanx)5 f (x) = 5(secx+ tanx)4(secxtanx+sec2x) = 5(secx)(secx+ tanx)5.(xiv)f(x) = (csc5(1 x+ 3x2) f (x) = 5 csc4(1 x+ 3x2)( csc(1 x+ 3x2) cot(1 x+ 3x2))( 1 + 6x).(xv)f(x) = 2xsenx f (x) =12(2xsenx) 1/2(2xcosx+ 2 senx) =xcosx+senx 2xsenx.(xvi)f(x) = 2xcosx f (x) = (12)(2xcosx) 1/2( 2xsenx+2 cosx) = xsenx+cosx 2xcosx(xvii)f(x) = sen 2x f (x) = cos[(2x)1/2](12(2x) 1/2(2)) =cos 2x 2x.(xviii)f(x) = sen (x+ x+ 1) f (x) = cos(x+ x+ 1)(1+12 x+1) =2 x+1+12 x+1cos(x+ x+ 1).76. Encontrary en cada uno de los siguientes Ejercicios :a)y= (1 +1x) )y= (1 x) )y=14cot(3x 1).d)y= 9 tan(x3).Soluci )y= (1 +1x)3 y = 3(1 +1x)2( 1x2) = 3x2(1 +1x)2entonces:y =( 3x2) ddx(1 +1x)2 (1 +1x)2 3x2=( 3x2)(2(1 +1x)( 1x2))+(6x3)(1 +1x)2=6x4(1 +1x)+6x3(1 +1x)=6x3(1 +1x)(1x+ 1 +1x)=6x3(1 +1x)(1 +2x)b)y= (1 x) 1 y = (1 x) 2( 12x 1/2) =12(1 x) 2x 1/2,entonces:y =12[(1 x) 2+x 1(1 x) 3]=12x 1(1 x) 3[ 12x 1/2(1 x) + 1]=12x(1 x) 3( 12 x+12+ 1)=12x(1 x) 3(32 12 x)8c)y=19cot(3x 1) y = 19csc2(3x 1)(3) = 13csc2(3x 1),entonces:y =( 23(csc(3x 1) ddxcsc(3x 1)))= 23csc(3x 1)( csc(3x 1) cot(3x 1) ddx(3x 1))= 2 csc2(3x 1) cot(3x 1)d)y= 9 tan(x3) y = 9(sec2(x3))(13) = 3 sec2(x3), entonces:y = 3 2(sec(x3)tan(x3))(13)= 2 sec2(x3)tan(x3)7.

7 Encontrar el m aximo y el m nimo de las siguientes funciones:a)f(x) = 2 |x|en [ 1,3].b)f(x) =|x 5|en [1,7].c)f(x) = 1xen [ 2, 1].d)f(x) =x2 1 en [ 1,2].Soluci )f(x) = 2 |x|= 2 x2= 2 (x2)1/2 f (x) = 12(2x) = xx2= x|x|, por lo que existe un punto cr tico enx= 0. Tenemosquef( 1) = 1,f(0) = 2 yf(3) = 1, por lo tanto el m aximo es2 enx= 0 y el m nimo es 1 enx= )f(x) =|x 5|= (x 5)2= ((x 5)2)1/2 f (x) =12((x 5)2) 1/2(2(t 5)) =x 5 (x 5)2=x 5|x 5|, por lo que existe un puntocr tico enx= 5. Tenemos quef(4) = 1,f(5) = 0 yf(7) = 2,por lo tanto el m aximo es 2 enx= 7 y el m nimo es 0 enx= )f(x) = 1x=x 1 f (x) =x 2=1x2, sin embargox= 0 noes un punto cr tico porque no est a en el dominio. Tenemos quef( 2) =12yf( 1) = 1, por lo tanto el m aximo es 1 enx= 1y el m nimo es12enx= )f(x) =x2 1 f (x) = 2x, por lo queftiene un punto cr ticoenx= 0.

8 Tenemos quef( 1) = 0,f(0) = 1 yf( 2) = 3 porlo que el m aximo es 3 enx= 2 y el m nimo es 1 enx= Para qu e valores dem(si es que hay) se tiene quef(x) ={sen 2x x 0mx x >0a) es continua enx= 0?b) es derivable enx= 0?Soluci ) l mx 0 f(x) = l mx 0 sen 2x= 0 y l mx 0+f(x) = l mx 0+mx=0 l mx 0f(x) = 0, independientemente dem; entonces paratodos los valores dem, la funci on es continua porquef(0) = 0 =l mx 0f(x).b) l mx 0 f (x) = l mx 0 (sen 2x) = l mx 0 2 cos 2x= 2 y l mx 0+f (x) =l mx 0+(mx) = l mx 0+m= derivable enx= 0 cuandose cumpla que l mx 0 f (x) = l mx 0+f (x), esto sucede cuandom= Encontrar m aximos, m nimos, m aximos locales y m nims locales decada una de las siguiente funciones en su dominio:a)f(x) = 2x2 x2en ( ,2].b)f(x) = (x+ 1)2en ( ,0].}

9 C)f(x) =x2 4x+ 4 en [1, ).d)f(x) =x3 3x2en [ 3, ).e)f(x) =x3+ 3x2+ 3x+ 1 en ( ,0].Soluci )f(x) = 2x2 x2 f (x) = 2 2x= 2(1 x) por lo que existeun punto cr tico enx= 1. La derivada es positiva six <1 ynegativa si 1< x 2, entoncesf(1) = 1 es un m aximo local y11f(2) = 0 es un m nimo local. Por lo tanto el m aximo esf(1) = 1y no existe m )f(x) = (x+ 1)2 f (x) = 2(x+ 1) por lo que existe un puntocr tico enx= 1. La derivada es negativa six < 1 y positiva si 1< x <0, entoncesf(0) = 1 es un m aximo local yf( 1) = 0es un m nimo local. Por lo tanto, no existe un m aximo y el m ni-mo esf( 1) = )f(x) =x2 4x+ 4 f (x) = 2x 4 = 2(x 2); es decir,ftiene un punto cr tico enx= 2. La derivada defes negativa si1< x <2 y positiva si 2< xpor lo quef(1) = 1 es un m aximolocal yf(2) = 0 es un m nimo local.]

10 Por lo tanto no hay m aximoy el m nimo esf(0) = )f(x) =x3 3x2 f (x) = 3x2 6x= 3x(x 2), entonces existenpuntos cr ticos enx= 0 yx= 2. Alrededor dex= 0,f (x)>0six <0 yf (x)<0 si 0< x <2; por otro ladof (x)>0 si2< x; entoncesf(0) = 0 es un m aximo local yf(2) = 4 esun m nimo local, adem asf( 3) = 108 es un m nimo local. Lafunci on tiene el m nimo enf( 3) = 108, sin embargo la fun-ci on no tiene m )f(x) =x3+ 3x2+ 3x+ 1 f (x) = 3x2+ 6x+ 3 = 3(x+ 1)2,entonces existe un punto cr tico enx= 1. La derivada defespositiva six < 1 y negativa si 1< x <0, por lo que existe unm aximo local enf(0) = 1. Por lo tanto el m aximo esf(0) = 1 yno existe m Se presenta la gr afica defen la siguiente figura, c omo podr a ser lagr afica def ?.13 Soluci