Sucesiones - CIMAT

1 Cap tulo Definiciones tema de este cap tulo es el estudio de las Sucesiones de n umeros sucesi on no es m as que un conjunto ordenado de n umeros. Por ejemplo,2,4,6,8,10,12, .. ,2n, ..es la sucesi on de los n umeros pares positivos. El primer elemento de esta sucesi ones 2, el segundo es 4, el quinto es 10 y el elemento que ocupa el lugarnes en este ejemplo que lo que hemos hecho es asociar a cada n umero natural1,2,3, ..un n umero par 2,4,6, ..de la siguiente manera:1 2 3 4 5 n 2 4 6 8 10 2n Por lo tanto, una sucesi on no es m as que una funci on definida sobre losn umeros naturales. Dependiendo del espacio en el cual tome valores esta fun-ci on tendremos Sucesiones de distintos tipos: de n umeros reales, de n umeroscomplejos, de vectores enRn, de funciones, etc. La definici on formal es la si-guiente:Definici on un conjunto, unasucesi onenXes una funci onf:N X. Sif(n) =xn, decimos quexnes eln- esimo t ermino de la sucesi escribiremos (xn) n=1o{xn, n 1}para denotar esta sucesi on yen algunos casos simplemente (xn).

2 En general tomaremosX=Rpero muchosde los resultados que veremos a continuaci on son v alidos en otros conjuntos. Enocasiones consideraremos Sucesiones que comienzan con el ndice cero en lugarde comenzar con el uno: (xn) n=0o{xn, n 0}. Tambi en es posible considerarsucesiones doblemente infinitas{xn, n Z}o Sucesiones que comienzan en el ndicep:{xn, n p}={xn+p, n 0}.46 CAP ITULO 3. SUCESIONESD efinici on (xn) n=1una sucesi on en un espacio m etrico (X, d) yx que la sucesi on (xn) n=1converge ax, si para todo real positivo existeun entero positivoN=N( ) tal quexn B(x; ), siempre quen (xn) n=1converge axescribimosxn xcuandon o limn xn=x, decimos quexes ell mitede la sucesi on (xn) n=1y que la sucesi on esconver-gente. Una sucesi on que no es convergente, la m etrica usual, la definici on de convergencia puede reformularsede la siguiente manera: six R, B(x, ) ={y:|y x|< }de modo quexn xcuandon , si dado >0 existe un entero positivoN=N( ) talque|x xn|< siempre quen Esta sucesi on converge a 0 enR: dado >0 escogemosN=N( )tal que1N< (esto es posible por la propiedad Arquimedeana deN).

3 Entonces tenemos que para todon N,|xn x|=|1n 0|=|1n| 1N< .Sin embargo, si consideramos esta sucesi on en el conjunto de los reales po-sitivos (0,+ ) la sucesi on no es convergente, ya que el l mite no perteneceal conjunto donde hemos definido la sucesi aficamente (ver figura ), la convergencia equivale a que, para cual-quier >0, a partir de un cierto ndiceN, todos los miembros de lasucesi on caigan dentro de una banda de ancho 2 centrada en el valor dell mite, que es cero en este ..01 123..NFigura : La sucesi on 1 Esta sucesi on es divergente ya que para cualquierx Rycualquier >0 fijo existeN Ntal queN > x+ y la condici on de ladefinici on no se DEFINICIONES la sucesi onxn= 1 +( 1)nnparan N. Hemos visto en elprimer ejemplo que la sucesi on (1n) converge a 0 y por lo tanto nuestraidea intuitiva es que la sucesi onxn= 1+( 1)nndebe converger a 1+0 = a partir de la definici on que esto es efectivamente cierto. Sea >0,queremos ver que existeN=N( ) tal que sin N,|xn 1|<.

4 |xn 1|= 1 +( 1)nn 1 = ( 1)nn = igual que en el ejemplo 1, basta escogerNde modo que1N< paratener|xn 1|=1n 1N< ,siempre quen ..011 + 1 1 2 3 NFigura : La sucesi on 1 +( 1) noci on de convergencia de una sucesi on es una de las ideas primordialesdel An alisis Matem atico y ser a fundamental para lo que estudiaremos en estetexto. Es importante que sea comprendida a cabalidad por el pr oximo teorema nos muestra que una sucesi on no puede tener m as deun l (xn)es una sucesi on en(X, d)y converge tanto axcomo ay, entoncesx= ,entoncesd(x, y) = >0 (ver figura )y existen enteros positivosN1yN2tales quen > N1 d(xn, x)< /2,n > N2 d(xn, y)< m ax(N1, N2),entonces sin > Ntenemos, usando la propiedadtriangular, que =d(x, y) d(x, xn) +d(xn, y)< ,una contradicci on. 48 CAP ITULO 3. Figura :Definici on funci onf:Y Xesacotadasi el recorridof(Y) ={x X: existey Ytal quef(y) =x}es un conjunto acotado, es decir, sipara alg unx Xy R+, f(Y) B(x; ).

5 En particular para una funci onreal (X=R) podemos tomarx= 0 y entoncesfes acotada s y s olo s existe R+tal que|f(y)|< para todoy funci on es una sucesi ony es acotada si existe >0 tal que|xn|< para todon sucesi on convergente es (xn) n=1una sucesi on convergente en (X, d) y seaxsul mite. Existe un entero positivoNtal qued(x, xn)<1, sin > = m ax{1,2d(x, x1),2d(x, x2), .. ,2d(x, xN)}entonces{xn, n 1} B(x; ) de modo que (xn) n=1es acotada..xx1x2xjxNxN+1 1 Figura : Toda sucesi on convergente es (xn) n=1una sucesi on en un espacio m etrico(X, d),(i)(xn) n=1converge ax Xs y s olo s toda vecindad dexcontiene todoslos t erminos de(xn) n=1excepto un n umero finito de ellos.(ii)SiE Xyxes un punto de acumulaci on deE, existe una sucesi on(xn) n=1enEpara la cualx= limn DEFINICIONES on.(i)SeaVuna vecindad dex, entonces exister R, r >0, tal queB(x;r) esterexisteN=N(r) tal que sin N, d(x, xn)< r; es decir, quepara todon N, xn B(x;r).

6 Supongamos ahora que toda vecindad dexcontiene a todos los elemen-tos de la sucesi on, excepto por un n umero finito de ellos. Dado >0,consideremos como vecindad aB(x; ).Entonces existeN=N( ) tal quesin N, xn B(x; ),es decird(x, xn)< y por lo tanto la sucesi onconverge ax.(ii)Comoxes punto de acumulaci on deE, para cadan Nexistexn Etal qued(xn, x)<1 que (xn) n=1converge ax: dado >0tomamosNde modo queN > , sin N, d(xn, x)<1/n 1/N < . Ejercicios la convergencia o divergencia de la sucesi on(xn)n NenRcon lam etrica usual:xn=nn+ 1;xn=( 1)nnn+ 1;xn=2n3n2+ 1;xn=2n2+ 33n2+ 1;xn= 2n2 (a) De un valor deNtal que sin > N, n2 4n >106. (b) De un valor deNtalque sin > Nentonces|xn x|<10 100, dondexn=n2+1n2yxes el l mite deesta sucesi que((xn, yn))n Nconverge a(x, y)enR2con la m etrica usual:(i)(xn, yn) = (1n,1)con(x, y) = (0,1);(ii)(xn, yn) = (1n,1 +1n)con(x, y) = (0,1)(iii)(xn, yn) = (2 +1n2,1 +( 1)nn)con(x, y) = (2,1) (X, d)un espacio m etrico discreto. Muestre que una sucesi on(xn)n Ncon-verge s y s olo s es constante a partir de alg un que(xn, yn) (x, y)enR2cuandon s y s olo s xn xeyn sucesi on(xn)n Nconverge axen(X, d)s y s olo s la sucesi on(d(xn, x))n Nconverge (xn)n Ne(yn)n Nson Sucesiones en(X, d)tales que{n N:xn6=yn}esfinito, entonces o bien ambas Sucesiones convergen al mismo l mite o bien (xn)n Nes una sucesi on en(X, d),p N, eyn=xn+pentonces o bien ambassucesiones convergen al mismo l mite o bien ambas (x2n)y(x2n+1)convergen al mismo l mitexentonces(xn)converge m etricas equivalentes en el espacioXy sea(xn)una sucesi onenX.

7 Demuestre quexnconverge ax Xen la m etricad1s y s olo s convergeal mismo punto en la m ITULO 3. Sucesiones de N umeros RealesConsideraremos ahora el caso particularX=Rcon la distancia usualddelos n umeros reales: six, y Rd(x, y) =|x y|.EnRtenemos una relaci on de orden y una serie de operaciones que hemosestudiado en cap tulos anteriores. El primer teorema de esta secci on nos indicacomo se relacionan los l mites con las operaciones de los n umeros que(xn)y(yn)son Sucesiones de n umeros reales yxn x, yn y. Entoncesi)lim(xn+yn) =x+ )Parac R,lim(cxn) = )lim(xnyn) = )lim(xn/yn) =x/ysiy6= 0, yn6= 0para todon )Dado >0, existenN1yN2enNtales quen N1 |xn x|< 2,n N2 |yn y|< m ax(N1, N2) tenemosn N |(xn+yn) (x+y)| |xn x|+|yn y|< lo que muestra i).ii)Dado >0 escogemosN Nde modo quen N |xn x|< (1 +|c|),entoncesn N |cxn cx|=|c||xn x|<|c| 1 +|c|< .iii)Tenemosxnyn=xnyn xyn xny+xy+xyn+xny xy= (x xn)(y yn) +xyn+xny Sucesiones DE N UMEROS REALES51 Usando i) y ii) vemos quelimxnyn= lim(x xn)(y yn) +xlimyn+ylimxn xy= lim(x xn)(y yn) + lo tanto basta ver que lim(x xn)(y yn) = 0.

8 Dado >0 existenN1yN2enNtales quen N1 |xn x|< n N2 |yn w|< y sin m ax(N1, N2) entonces|(xn x)(yn y)|=|xn x||yn y|< .iv)Por iii) basta ver que lim(1/yn) = 1/ysiy6= 0,yn6= 0 para todon >0 fijo. Comoy6= 0 y est a fijo, escogemosN0 Ntal que sin N0entonces|y yn|<|y|/2. Entonces, sin N0la desigualdad|y| |yn|+|yn y|implica|yn| |y| |y yn|>|y| escogemosN1 N0enNtal que sin N1|y yn|<|y|2 ambas desigualdades tenemosn N1 |1yn 1y|=|y yn||yn||y|<2|y yn||y|2< . L mites infinitosDefinici on (xn) n=1una sucesi on enR , decimos que esta sucesi ontienel mite infinitootiende a infinito, si dado cualquiera RexisteN Ntal que sin Nentoncesxn> a. Escribimosxn cuandon o limn xn= .De manera similar decimos que la sucesi ontiene l mite menos infinitootiende a menos infinitosi dado cualquiera RexisteN Ntal que sin N,entoncesxn< a. Escribimosxn cuandon o limn xn= .Ejemplos sucesi on tiende a infinito: como los t erminos de la sucesi onson positivos basta considerara >0 en la definici on.

9 En este caso bastatomarN apara obtener quen N xn> ITULO 3. (2n+ 1)1/2 (2n 1)1 que esta sucesi on tambi en tiendea (2n+ 1)1/2 (2n 1)1/2=(2n+ 1)1/2+ (2n 1)1/2(2n+ 1) (2n 1)=12((2n+ 1)1/2+ (2n 1)1/2) 12(2(2n 1)1/2)= (2n 1)1 >0 basta tomarN >a2+12para obtener quen > N 1(2n+ 1)1/2 (2n 1)1/2> la diferencia entrexn xyxn . En el primer casoxesun n umero y podemos medir la distancia entrexyxn. En cambio, no esun n umero. Sin embargo, podemos unificar las tres definiciones de l mite de lasiguiente on de enR es cualquier intervalo de la forma(a, ], dondea R. Unavecindad de es cualquier intervalo de la forma[ , b), dondeb en cuenta el Teorema podemos afirmar lo siguiente: si (xn) n=1es una sucesi on enR yx R ,limxn=xs y s olo s cada vecindad dexcontiene a todos los puntosxn, excepto, quiz as, para una cantidad finita de ndices Sucesiones que no tienen l mite en el sentido que acabamos de describir,se conocen comosucesiones ( 1)n.

10 Sines par,xn= 1 mientras que si n es impar,xn= 1; pero ni1 ni 1 pueden ser l mites de esta sucesi on: supongamos que 1 es l mite, entoncesa partir de un cierto enteroN, todos los t erminos de la sucesi on deber an estaren la vecindadB(1; 0,2) :n > N xn B(1; 0,2).Pero sin > Nes imparentoncesxn= 1/ B(1; 0,2), y la sucesi on no converge a 1. De manera similarse muestra que tampoco converge a podr a pensar que si (xn) n=1es una sucesi on convergente con l mitexybes un n umero real tal quexn< bpara todos los ndicesn N, Sucesiones DE N UMEROS ..01 1 1 2 3 Figura : La sucesi on ( 1) enx < b. Pero esto no es cierto: basta tomarxn= 1 1/npara todos losenteros positivosn, x= 1 yb= este ejemplo vemos que el resultado delpr oximo teorema es lo mejor que se puede (xn) n=1una sucesi on convergente de n umeros reales conl mitex. Sib Res tal quexn bpara todon N, entoncesx quex > b, entonces tomandoh=x b2>0 existeNh Ntal quexn B(x;h) para todon Nhy esto implicaxn> x h=x 12(x b)> b+12(x b)> blo que contradice la hip otesis.