Curso elemental de PROBABILIDAD Y ESTAD´ISTICA

1 Curso elemental dePROBABILIDAD Y ESTAD ISTICALuis Rinc onDepartamento de Matem aticasFacultad de Ciencias UNAMC ircuito Exterior de CU04510 M exico DFVersi on: Diciembre 2007 Una versi on actualizada del presente texto se encuentra disponible en formatoelectr onico en la direcci ologoEl presente texto constituye el material completo del cursosemestral deProba-bilidad y Estad stica, impartido por el autor a alumnos de la licenciatura enciencias de la computaci on en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Contiene el te-mario b asico para un Curso elemental e introductorio a algunos temas tradicionalesde la PROBABILIDAD y la estad stica, as como una colecci on de ejercicios.

2 Algunosde estos ejercicios aparecen a lo largo del texto como parte de la lectura, y unacolecci on m as extensa aparece al final del libro incluyendo algunas soluciones osugerencias para texto est a dirigido de manera general a alumnos de las distintas carreras deingenier a, ciencias de la computaci on, y otras carrerascient ficas similares, cuyosprogramas de estudio contemplan un semestre introductorioa estos temas. Comoes natural en este tipo de cursos, no se hace enfasis en el rigor matem atico de lademostraci on de los resultados, sino en el uso, interpretaci on y aplicaci on de prerequisitos para una lectura provechosa de este material, se requiere, endeterminados momentos, tener cierta familiaridad con algunos conceptos elementa-les de algebra y del c alculo diferencial e integral.

3 El texto fue escrito en el sistemaLATEX, y la mayor a de las ilustraciones fueron elaboradas usando el autor agradece cualquier comentario, sugerencia o correcci on enviada al correoelectr onico que aparece Rinc onDiciembre 2007 Ciudad Universitaria Introducci on .. PROBABILIDAD .. An alisis combinatorio .. PROBABILIDAD condicional e independencia .. Variables aleatorias .. Funciones de densidad y de distribuci on .. Esperanza, varianza, momentos .. Distribuciones de PROBABILIDAD .. Vectores Aleatorios .. 742. ESTAD Introducci on .. Variables y tipos de datos .. Estad stica descriptiva .. Muestras aleatorias y estad sticas.

4 Estimaci on puntual .. Estimaci on por intervalos .. Pruebas de hip otesis .. 99A. Ejercicios107B. Soluciones139C. Formulario16734 ContenidoParte 1 PROBABILIDADEn esta primera mitad del Curso estudiaremos algunos conceptos elementales de lateor a matem atica de la PROBABILIDAD . Esta teor a tuvo como uno de sus primerospuntos de partida el intentar resolver un problema particular concerniente a unaapuesta de juego de dados entre dos personas. El problema al que nos referimosinvolucraba una gran cantidad de dinero y puede plantearse de la siguiente forma:Dos jugadores escogen cada uno de ellos un n umero del 1 al 6, distintouno del otro, y apuestan 32 doblones de oro a que el n umero escogido poruno de ellos aparece en tres ocasiones antes que el n umero del contrarioal lanzar sucesivamente un dado.

5 Suponga que el n umero de uno de losjugadores ha aparecido dos veces y el n umero del otro una sola vez. C omo debe dividirse el total de la apuesta si el juego se suspende?Uno de los apostadores, Antonio de Gombaud, popularmente conocido como el ca-ballero De Mere, deseando conocer la respuesta al problema plantea a Blaise Pas-cal (1623-1662) la situaci on. Pascal a su vez consulta con Pierre de Fermat (1601-1665) e inician un intercambio de cartas a prop osito del problema. Esto sucede enel a no de 1654. Con ello se inician algunos esfuerzos por darsoluci on a este y otrosproblemas similares que se plantean. Con el paso del tiempo se sientan las bases ylas experiencias necesarias para la b usqueda de una teor a matem atica que sinte-tice los conceptos y los m etodos de soluci on de los muchos problemas particularesresueltos a lo largo de varios a Introducci onBlaise Pascal(Francia, 1623 1662)Pierre de Fermat(Francia, 1601 1665)En el segundo congreso internacional de matem aticas, celebrado en la ciudad de Pa-ris en el a no 1900, el matem atico David Hilbert (1862-1943) plantea 23 problemasmatem aticos de importancia.

6 Uno de estos problemas es el deencontrar axiomaso postulados a partir de los cuales se pueda construir una teor a matem atica dela PROBABILIDAD . Aproximadamente treinta a nos despu es,en 1933, el matem aticoruso A. N. Kolmogorov (1903-1987) propone ciertos axiomas que a la postre resul-taron adecuados para la construcci on de una teor a de la PROBABILIDAD . Esta teor aprevalece hoy en d a y ha adquirido el calificativo de teor a cl asica. Actualmentela teor a cl asica de la PROBABILIDAD se ha desarrollado y extendido enormementegracias a muchos pensadores que han contribu do a su crecimiento, y es sin dudauna parte importante y bien establecida de las matem aticas.

7 Ha resultado util pa-ra resolver problemas puramente matem aticos, pero sobre todo y principalmente,para modelar situaciones reales o imaginarias, en donde el azar es Introducci onLa teor a de la PROBABILIDAD es la parte de las matem aticasque se encarga delestudio de los fen omenos o experimentos aleatorios. Porexperimento aleatorioen-tenderemos todo aquel experimento que cuando se le repite bajo las mismas condi-ciones iniciales, el resultado que se obtiene no siempre es el mismo. El ejemplo m assencillo y cotidiano de un experimento aleatorio es el de lanzar una moneda o undado, y aunque estos experimentos pueden parecer muy modestos, hay situacionesen donde se utilizan para tomar decisiones de cierta importancia.

8 En principio noParte 1. PROBABILIDAD7sabemos cu al ser a el resultado del experimento aleatorio, asi que por lo menos con-viene agrupar en un conjunto a todos los resultados posibles. Elespacio muestral(o tambi en llamadoespacio muestrade un experimento aleatorio es el conjunto detodos los posibles resultados del experimento, y se le denota generalmente por laletra griega (omega). M as adelante mostraremos que este conjunto no es nece-sariamente unico y su determinaci on depende del inter esdel observador o personaque realiza el experimento aleatorio. En algunos textos se usa tambi en la letraSpara denotar al espacio muestral. Esta letra proviene del t erminosampling spacedela lengua inglesa equivalente aespacio muestral.)

9 Por otro lado, llamaremoseventoa cualquier subconjunto del espacio muestral y denotaremosa los eventos por lasprimeras letras del alfabeto en may usculas:A,B,C,etc. Con la ayuda de algunosejemplos ilustraremos a continuaci on los conceptos de espacio muestral y Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado y observar eln umero que aparece en la cara superior, entonces claramente el espacio muestral esel conjunto ={1,2,3,4,5,6}.Como ejemplo de un evento para este experimentopodemos definir el conjuntoA={2,4,6}, que corresponde al suceso de obtenercomo resultado un n umero par. Si al lanzar el dado una vez se obtiene el n umero 4 , decimos entonces que se observ o la ocurrencia del eventoA, y si se obtienepor ejemplo el resultado 1 , decimos que no se observ o la ocurrencia del eventoA.

10 Ejemplo. Considere el experimento aleatorio de participaren un juego de loter que hay un mill on de n umeros en esta loter a y un jugador participa conun boleto. Cu al es un posible espacio muestral para este experimento? Natural-mente al jugador le interesa conocer su suerte en este juego ypuede proponer comoespacio muestral el conjunto ={ ganar , perder }. Sin embargo puede tambi entomarse como espacio muestral el conjunto que contiene a todos los posibles n ume-ros ganadores, es decir, ={1,2,..,1000000}. Este ejemplo sencillo muestra queel espacio muestral de un experimento aleatorio no es unicoy depende del inter esdel observador. Ejemplo.