Capítulo 8 Circuitos Simplificados RC e RL

1 DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos ICap tulo 8 Circuitos SimplificadosRCe RLDECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos Circuitos RCsem FontesAssocia o em s rie de um resistor e um capacitor:Capacitor carregado com tens o V0em t= em t= 0:Aplicando Lei de Kirchhoff de correntes quandot 0, temos:v(t)i(t)+ RC( )20210 CVw=0=+RvdtdvC01=+vRCdtdvDECOM-FEEC-UNIC AMPEA-513 Circuitos El tricos ISolu o da equa o diferencial de 1 ordem:01=+vRCdtdvdtRCvdv1 = =dtRCvdv1 KRCtv+ =ln()KVv==0ln0lnPara que a solu o seja v lida para t 0, a constante Kdeve ser escolhida tal que a condi o inicial dev(0) = V0seja satisfeita, Portanto, emt = 0, temos:DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos ISubstituindo o valor de Kna solu o, temos:0lnlnVRCtKRCtv+ =+ =RCtVv = 0lnlnRCtVv =0ln( ) =RCtVtvexp0 Esta a tens o sobre R, portanto, a corrente.

2 ( )() ==RCtRVRtvtiexp0 DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos IV0v(t)tObserve que a tens o inicialmente V0e que decai exponencialmente, tendendo a 0, para de decaimento da tens o determinada pelo produto a resposta caracterizada pelos elementos do circuito e n o pela atua o de uma fonte externa de tens o e corrente, a resposta denominada deresposta natural do Circuitos El tricos IPot ncia instant nea absorvida pelo resistor R:Energia absorvida pelo resistor parat :( )( )[ ]W 2exp202 ==RCtRVRtvtpR( )( )200200200212exp212expCVRCtCVdtRCtRVdttp wRR= = == energia armazenada no circuitoDECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos ISe o tempo inicial t0, isto , v(t0) = V0, ent Constante de TempoCaracteriza o da velocidade de decaimento de um circuito com elementos armazenadores.

3 ( )000 para exp tt RCttVtv =v(t)i(t)+ RC =RCtVvexp0 DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos IGr fico v(t) t:Corrente no circuito decresce como a tens o:O tempo necess rio para que a resposta natural decaia de um fator de 1/e definido como a constante de tempo do circuito .( ) =RCtRVtiexp0V0v(t)t/kRC = kRC = 2kRC = 3k0,368V0123 =nktVvexp0 DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos I()() + = = = + RCRCtVRCtVRCtRCtVeVexp1expexpexp0000 Constante de tempo: = RCUnidade de :( F) = (V/A) (C/V) =( C/A) = sTens o:A resposta ao final de 1 constante de tempo reduzida para e 1= 0,368do valor inicial.

4 Ao final de 2 constantes de tempo, ela igual a e 2= 0,135do seu valor inicial e depois de 5 constantes, ela igual a e 5= 0,0067.( ) =tVtvexp0()() + = + RCRCtVRCtVexpexp00 DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos IPropriedade das fun es exponenciais:Tangente curva emt= 0intercepta o eixo de tem t= .V0v(t)tvv10,368V0 01 Vmtv+= = =tVtVdtddtdvexpexp00 ===00 Vdtdvmt001 VtVv+ =A reta intercepta o eixo do tempo em v1= 0, o que requer que t= . DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos IA constante de tempo o tempo necess rio para que a resposta natural se torne zerose ela decrescer com uma velocidade constante igual raz o inicial de decr constante de tempo permite predizer a forma geral da resposta:mas para a solu o completa deve-se encontrar a tens o inicialv(0+) = um capacitor: v(0 ) = v(0+) = V0.

5 ( ) =tVtvexp0 DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos IExemplo: Tens o no capacitor v(t). circuito em regime permanente cc imediatamente antes da abertura da v(t)+ 2 8 15 3 v1(t)+ 1 F100 Vt= 0Em t= 0 , chave fechada capacitor um circuito 0-4 v(0-)+ 2 8 15 3 v1(t)+ 100 VDECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos I()()[] 104234238=++++=eqR()[ ]V 401001510100= += vPortanto, v(0-) = v(0+) = V0= 40 [V].Para t> 0, temos:v(t)+ Req= 10 1 FConstante de tempo:[]s 10==CReq ( )[]V 10exp40exp0 = =ttVtv ( )( )[]V 10exp88221 =+=ttvtvDECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos CircuitosRLsem FontesAssocia o em s rie de um resistor e um indutor:Indutor est conduzindo uma corrente I0em t= em t= 0:Aplicando Lei de Kirchhoff de tens es quando t 0, temos:v(t)i(t)+ RL( )20210 ILw =0=+RidtdiL0=+iLRdtdiDECOM-FEEC-UNICAMPE A-513 Circuitos El tricos ISolu o 1:Solu o da equa o diferencial de 1 ordem por separa o de vari veis.

6 DtLRidi = =dtLRidiKtLRi+ =ln()KIi==0ln0lnPara que a solu o seja v lida para t 0, a constante Kdeve ser escolhida tal que a condi o inicial dei(0) = I0seja satisfeita, Portanto, emt = 0, temos:0=+iLRdtdiDECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos ISubstituindo o valor de Kna solu o, temos:0lnlnItLRKtLRi+ =+ =tLRIi = 0lnlntLRIi =0ln( ) =tLRItiexp0 Esta a corrente sobre R, portanto, a tens o :( )( ) ==tLRRItRitvexp0 DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos ISolu o 2:Assumir uma forma geral de solu o baseada na inspe o da equa o a ser resolvida:0=+iLRdtdiVamos incluir v rias constantes desconhecidas e determinar seus valores tal que a solu o assumida satisfa a a equa o diferencial e as condi es iniciais do corrente in o muda a sua forma sendo derivada, isto , di/dt um m ltiplo de i, assim, a nica fun o que satisfaz esta condi o uma exponencial em t.

7 ()()stAtiexp=( )[]( )[]0expexp=+stALRstAdtdDECOM-FEEC-UNICAM PEA-513 Circuitos El tricos IAssim, a solu o s v lida se ou se1 caso: faz i(t) = 0para todo t, entretanto, i(0) = caso: , logoFazendo i(0) = I0, pode-se obter A:A solu o ent o fica:()()stAtiexp=()0exp=stA0=+LRs( )0exp= +stALRsLRs =( ) =tLRAtiexp()AIi==00( ) =tLRItiexp0 DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos IA constante de tempo ent o:Aumentando Laumenta-se , entretanto aumentando Rdiminui-se .[]() ()[] [ ]sV/A/s/AVH/ = = =RL I0i(t)t0,368I0 DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos I( )( ) ==tLRRItRitp2exp202 Energia absorvida pelo resistor parat :( )( )200200200212exp212expLItLRLIdttLRRI dttpw= = == energia armazenada no circuitoPot ncia instant nea entregue ao resistor:DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos IC lculo da tens o vno indutor, aplicando-se a lei de Kirchhoff de correntes, obtemos:Derivando em t:Pode ser resolvida usando um dos m todos anteriores.

8 ( )0010=++ ivdtLRvt011=+vLdtdvR0=+vLRdtdvv(t)i(t)+ RLDECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos IExemplo: Correntei(t) e tens o v(t)no circuito RL. circuito em regime permanente cc imediatamente antes da abertura da (t)75 50 v(t)+ 100 Vt= 010 H150 Em t= 0 , chave fechada indutor um curto- circuito .()[]A 2501000== ii(0-)75 50 v(0 )+ 100 Vt= 0 150 DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos IPara t> 0, temos:i(t)75 50 v(t)+ 100 Vt> 010 H150 ()()[]A 200== +iii(t)50 v(t)+ 10 HReq1[ ] =+ = 5015075150751eqRDECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos IConstante de tempo:ComoI0= i(0+) = 2 A, temosA tens o v(t) dada por:[ ]s 1,010010===eqRL ()()[]A 10exp2tti =( )()()[]V 10exp1005010tidttditv =+=[] =+= 1005050eqRi(t)50 v(t)+ 10 H50 DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos IExemplo.

9 circuito com fonte de tens o (t)Rki(t)+ L0=++kiRidtdiL0= ++iLkRdtdiResolvendo, obtemos:Constante de tempo:( ) + =tLkRItiexp0kRL+= A fonte dependente se comporta como um resistor de k .DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos Resposta a uma Fun o Excita o ConstanteCircuitos que al m de uma energia inicial armazenada, s o excitados por fontes independentes e constantes de tens o ou de corrente (fun es de excita o).Resposta deste Circuitos consiste de duas partes, onde uma delas sempre uma + RCI0ict= 0 Capacitor: v(0 ) = V0 DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos I0 IRvdtdvC=+viR+ RCI0ict= 0+Parat > 0, a chave fechada:Capacitor: v(0+) = v(0 ) = V0E a equa o nodal no n superior fica:CIvRCdtdv01=+DECOM-FEEC-UNICAMPEA-5 13 Circuitos El tricos IResolvendo pelo m todo de separa o de vari veis.

10 CIvRCdtdv01=+RCRI vdtdv0 = 0 RIvdt = dtRCdvRIv110()KRCtRIv+ = 0ln + = KRCtRIvexp00expRIRCtAv+ =()KAexp=Determinada pelas condi es iniciais do circuitodtRCdvRIv110 = DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos El tricos IA solu o geralpossui duas partes: uma fun o exponencial id ntica a da resposta natural de Circuitos RCsem fontes (resposta natural vn). uma fun o constante, dada porRI0, devida integralmente fun o de excita o (resposta for ada vf).Com o passar do