RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS APLICANDO TRANSFORMADA …

1 A TEOR A DE CIRCUITOS I CAP TULO 12 RESOLUCI N DE CIRCUITOS APLICANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE C tedra de Teor a de CIRCUITOS I Edici n 2013 1 RESOLUCION DE CIRCUITOS APLICANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE. Introducci n El c lculo de tensiones y corrientes en una red resistiva a la cual se aplica una cierta excitaci n es un procedimiento muy sencillo. Ya no lo es tanto en redes que tambi n contienen elementos almacenadores de energ a, como C y L, cuyas caracter sticas volt-ampere est n definidas mediante derivadas (v = L di/dt, i = C dv/dt). Las ecuaciones resultantes son integro-diferenciales, y su soluci n requiere un esfuerzo mayor, pudi ndose resolverlas por el denominado m todo cl sico, o por aplicaci n de la TRANSFORMADA de Laplace, cuya utilizaci n es m s simple. En este cap tulo veremos la transformaci n de Laplace y su aplicaci n a la resoluci n de CIRCUITOS con elementos R, L y C.

2 La aplicaci n de la TRANSFORMADA de Laplace nos permitir tambi n generalizar la excitaci n de los CIRCUITOS , y hallar propiedades que son muy tiles para la soluci n de numerosos problemas de ingenier a. Veremos que la transformaci n de Laplace es una generalizaci n del concepto de fasor: el fasor es el n mero complejo asociado a la senoide A cos ( t + AA), mientras que la TRANSFORMADA de Laplace asocia una funci n compleja de la variable s, llamada F(s), con una funci n dada del tiempo, f(t), definida en el intervalo [0, }. La TRANSFORMADA de Laplace juega un papel muy importante relacionando el comportamiento temporal con el comportamiento frecuencial de los CIRCUITOS lineales invariantes en el tiempo. La TRANSFORMADA de Laplace Las variables v(t) e i(t) son "variables temporales', es decir, se miden en el dominio temporal, en un instante de tiempo particular, usando volt metros y amper metros, o pueden visualizarse en un osciloscopio.]

3 Podemos as obtener informaci n sobre las mismas a partir de un trabajo experimental. Por lo tanto, independientemente del m todo que usemos para resolver un problema, veremos o interpretaremos mejor el resultado final en funci n de lo que ocurra en el dominio temporal. Para llegar a la soluci n podremos, sin embargo, dejar el dominio temporal por un tiempo, y retornar luego a l para interpretar los resultados. La TRANSFORMADA de Laplace de la funci n f(t) definida en [0, ) esta dada por: L (1) {}F(s) = dt e f(t) = (t) f st-0- Debido a que los l mites de integraci n son t = 0 y t = , la L- TRANSFORMADA de f(t) no es una funci n del tiempo sino de s, la cual se introduce a trav s del factor e-st. La variable s se denomina variable frecuencia compleja. La funci n TRANSFORMADA , F(s), es una funci n en el dominio de la frecuencia compleja, o, m s brevemente, en el dominio frecuencial.]

4 Designaremos las funciones en el dominio temporal con min scula, f y en el dominio frecuencial con may scula F. 2 Siendo que s es una variable compleja, sus partes real e imaginaria se designar n con y , respectivamente, de donde: s = + j real y real Podemos visualizar s como un punto en el plano complejo, siendo la abscisa y la ordenada. En la integral de (1), t es la variable de integraci n, y se tom como l mite inferior 0 - de forma que, si f(t) incluye un impulso en el origen, quede dentro del intervalo de integraci n. En el caso de que f(t) fuera una funci n de variable compleja (por ejemplo, e( + j ) t ), por Euler puede reducirse a una combinaci n de funciones de variable real. Tambi n se sobreentiende que es lo suficientemente grande y positivo como para que e- t decaiga r pidamente y la integral converja, es decir, para que el rea bajo la curva f(t) e- t sea finita.

5 Para que sea transformable, una funci n debe ser seccionalmente continua y de orden exponencial. Si f(t) contiene solo un n mero finito de discontinuidades finitas aisladas, es seccionalmente continua. Si, para M constante positiva y no real, f(t) < M e t cuando t , f(t) es de orden exponencial. Si bien la mayor a de las funciones asociadas con los CIRCUITOS reales son L-transformables, podemos sin embargo, generar una funci n que no lo sea. En efecto, f(t) = e t2 no puede transformarse porque no es exponencial, dado que no existen M y tales que f(t) < M e t cuando t . Luego de la transformaci n, las dos variables el ctricas v(t) e i(t) se vuelven V(s) e I(s), y est n dadas por: dt i(t) e = I(s) dt v(t)e = (s) V ts-0 ts-0-- con lo cual resultan funciones de s, y no podemos visualizarlas en un osciloscopio. Sin embargo, podemos trabajar con ellas en el dominio frecuencia, y aprender a usarlas y aun relacionar sus propiedades en el dominio frecuencial con las del dominio temporal.

6 Una funci n excitaci n muy frecuente es est . Si s = es real, seg n su signo representar un decaimiento exponencial ( <0), una constante ( = 0) o un crecimiento ( >0). Fig. 1 3 Suponiendo que la excitaci n es , podr representarse como sigue: )()(tetvt = (a) (b) (c) Fig. 2 Si aceptamos que s sea un no complejo, es posible generar senoides amortiguadas exponencialmente, senoides puras, o senoides crecientes exponencialmente: tsen e = e j 21 - e j 21 c) t sen = e j 21 - e j 21 b) tsen e = e j 21 - e j 21 a) t t) j - ()t j + t j - t j t - t) j - (- t) j + (- las cuales se grafican en la fig. 3: Fig. 3 La TRANSFORMADA de Laplace de la funci n excitaci n se obtiene por aplicaci n de la ec.

7 (1). 4 ===000)()(skedtedteeetsktskktstkt (2) El exponente (k-s) es complejo. Sin embargo, pedimos que Re{k-s} sea < 0. Como resultado, e(k-s) t 0 cuando t . En el l mite inferior: e(k-s)t/k-s = 1 / k-s por lo que la ecuaci n (2) se simplifica a: L)3(k-s1 =] e [t k Si k = 0, la ecuaci n (3) se reduce a: L s1 = ] 1 [ (4) resultado importante y muy usado, dado que representa la TRANSFORMADA de Laplace de la funci n escal n unitario de la fig. 2b, la cual, tal como vimos en el cap tulo 6, representa la aplicaci n a un circuito de una tensi n continua de 1 Volt o de una corriente continua de 1 A en un tiempo t = 0. Consideremos la ecuaci n (2). Si vemos ambos miembros como funciones de k, podemos derivarla respecto a k para obtener sucesivamente: L []) k - s(1 =e t2t k L ) k - s(2 =] e t [3t k2 Por inducci n se puede demostrar que, para cualquier entero positivo n es: L ) k - s(!

8 N =] e t [ 1 + nt kn Otra funci n ampliamente usada es la senoide. Dado que podemos expresar tanto el seno como el coseno en funci n de exponenciales, resulta: L 22+ s =t] [sen L 22+ ss =t] [cos Otro ejemplo que podemos ver es el de la funci n f(t) = (t) (impulso en el origen) de la cual 5 queremos hallar la L- TRANSFORMADA . Aproximamos el impulso por el pulso rectangular de rea unitaria: = puntootrocualquierentt001)(p Usando p (t) en la definici n de L- TRANSFORMADA , obtenemos: se - 1 = | e s1 - = t d e 1 = t d e ) t ( p -s0t s-t s-0t s-0 Ahora hacemos 0, entonces p (t) (t) y L {p (t)} L { (t)}: L { (t)} = lim 0 (1 - e-s )/ s = lim 0 (1 - 1 +s - s2 2 + ..)/ s = 1 Otra forma de verlo es mediante la aplicaci n de la definici n: 1 = e = t d e ) t ( = t d e ) t ( = (s) F) 0 ( s - ts -+ 0- 0 t s - -0 (5) Propiedades y reglas operacionales.

9 Al usar la transformaci n definida por la ecuaci n 1 podemos desarrollar cinco reglas operativas necesarias para obtener la soluci n en el dominio frecuencial de ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes. Se supone que la funci n en estudio es L-transformable. Propiedad 1: Unicidad La L- TRANSFORMADA establece una correspondencia uno a uno entre la funci n temporal f(t) definida en el intervalo [0, ) y su L - TRANSFORMADA F(s). Esto es un teorema importante de An lisis Matem tico, el cual no probaremos, pero que es extremadamente til, ya que nos permite transformar un problema en el dominio temporal en uno en el dominio frecuencial, resolverlo en el dominio frecuencial y volver al temporal. La unicidad garantiza que el procedimiento conduce a la soluci n del problema original. Regla 1: Si f1(t) y f2(t) son funciones del tiempo, luego: L {f1(t) + f2(t)} = F1(s) + F2(s) Es decir, la L- TRANSFORMADA de la suma de dos funciones es igual a la suma de las L- 6 transformadas de cada una de ellas.]

10 Regla 2: Si a no es una funci n de t, entonces: L {a f(t)} = a L {f(t)} = a F(s) Las reglas 1 y 2 nos permiten enunciar la siguiente propiedad: Propiedad 2: Linealidad L {c1 f1(t) + c2 f2(t)} = c1 L {f1t} + c2 L {f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s) con c1, c2 constantes reales o complejas cualesquiera. Su demostraci n se basa en las propiedades de linealidad de la integral. Regla 3: L ) 0 f( - F(s) s= dtf(t) d (6) supuesto que d f(t)/ dt es L-transformable, y, en forma impl cita, que f(t) es derivable. En particular, si f(t) posee una discontinuidad en t=0, no posee derivada en t=0. Sin embargo, podemos usar la ecuaci n 6 si se toma la derivada por izquierda: 0 t |td) t ( f d en cuyo caso f(0) se toma como f(0-). Si no hay condiciones iniciales, f(0-) = 0, entonces la ecuaci n 6 se reduce a: L ) s( F s= td) t ( f d (7) con lo que la derivaci n respecto de t en el dominio temporal significa multiplicar por s en el dominio frecuencial.