Chapitre 3 D´erivabilit´e des fonctions r´eelles

1 Chapitre 3D erivabilit e des fonctions r eellesLa notion de d eriv ee est une notion fondamentale en permet d etudierles variations d une fonction, de construire des tangentes `a une courbe et de r esoudre desprobl`emes d physique, lorsqu une grandeur est fonction du temps, la d eriv ee de cette grandeurdonne la vitesse instantan ee de variation de cette grandeur, et la d eriv ee seconde donnel acc el fonctions d erivablesDans tout ce Chapitre ,Id esigne un intervalle non vide efinition :I Rune fonction, et soitx0 I. On dit quefest d erivableenx0si la limitelimh 0f(x0+h) f(x0)hexiste, et est finie. Cette limite s appelle la d eriv ee defenx0, on la notef (x0).Bien s ur, il revient au m eme de regarder la limitelimx x0f(x) f(x0)x x0 Rappelons l interpr etation g eom etrique de la d eriv ee : sifest d erivable enx0, alorsla courbe repr esentative de la fonctionfadmet une tangente au point (x0, f(x0)), decoefficient directeurf (x0).

2 En fait, la fonctionh7 f(x0+h) f(x0)hdont on consid`ere ici la limite en 0, n est pasd efinie en ce point. Dans ce cas, l existence de la limite equivaut `a l egalit e des limites `agauche et `a droite. C est pourquoi on introduit les d eriv ees `a gauche et `a efinition :I Rune fonction, et soitx0 (1) On dit quefest d erivable `a gauche enx0si la limitelimh 0h<0f(x0+h) f(x0)hexiste, et est finie. Cette limite s appelle la d eriv ee def`a gauche enx0, on la notef g(x0).(2) On d efinit de m eme la d eriv ee `a droite, que l on notef d(x0).Proposition : [a, b] Rune fonction.(1)Soitx0 ]a, b[. Alorsfest d erivable enx0si et seulement sifest d erivable `a droiteet `a gauche enx0etf g(x0) =f d(x0).(2)fest d erivable enasi et seulement sifest d erivable `a droite ena.(3)fest d erivable enbsi et seulement sifest d erivable `a gauche notions de d eriv ee `a droite et `a gauche ne sont pas tr`es importantes. Elles per-mettent cependant de v erifier qu une fonction est (ou n est pas)d erivable en un d erivable enx0, alorsfest continue erivable enx0, alors la limitelimx x0x6=x0f(x) f(x0)x x0existe, et est finie.

3 En multipliant par la fonction (x x0), qui tend vers 0, on en d eduitquelimx x0x6=x0f(x) f(x0) = 0c est-`a-direlimx x0x6=x0f(x) =f(x0)ce qui montre quefest continue r eciproque est fausse. Par exemple, la fonctionf:x7 |x|est continue en 0, maisn est pas d erivable en ce point. En effet,f g(0) = 1 etf d(0) = :I Rune fonction, et soitx0 I. Alorsfest d erivable enx0, de d eriv eef (x0), si et seulement si il existe une fonction telle quelimh 0 (h) = 0,satisfaisantf(x0+h) =f(x0) +hf (x0) +h (h)pour touthtel quex0+h emonstration.. Supposonsfd erivable enx0. Alors il suffit de d efinir (h) =f(x0+h) f(x0)h f (x0)pourh6= 0, et (0) = 0.. Supposons qu il existe une fonction telle que limh 0 (h) = 0,satisfaisantf(x0+h) =f(x0) +h +h (h)pour un certain r eel . On peut ecrire :f(x0+h) f(x0)h= + (h)Quandhtend vers 0, le membre de droite tend vers . Doncfest d erivable enx0etf (x0) = .Cons equences imm ediates de cette proposition : sifest d erivable enx0, et si est un r eel, alors fest d erivable enx0, de d eriv ee f (x0).

4 Une fonction constante est partout d erivable, de d eriv eenulle. une fonction affinef:x7 ax+best partout d erivable, etf (x0) =apour deux exemples bien ) Soitn 1 un entier, nous allons d eriver la fonctionf:x7 xn. Soitx0un r eel fix e, alors d apr`es la formule du bin ome de Newton nous avons, pour touth,f(x0+h) = (x0+h)n=n k=0(nk)hkxn k0=xn0+h(nxn 10) +h2(n k=2(nk)hk 2xn k0)et le dernier terme est une fonction de la formeh (h). Ainsi,fest d erivable enx0, etf (x0) =nxn ) Soit la fonctiong:x7 1x, et soitx06= 0. Alors, pour touthnous avonsg(x0+h) g(x0) =1x0+h 1x0= hx0(x0+h)d o`ulimh 0g(x0+h) g(x0)h= 1x20 Doncgest d erivable enx0, etg (x0) = est Blaise Pascal qui, au d ebut du 17esi`ecle, a le premier men e des etudes sur lanotion de tangente `a une `es la seconde moiti e du 17esi`ecle, le domaine math ematique de l analyse num eriqueconna t une avanc ee prodigieuse gr ace aux travaux de Newtonet de Leibniz en mati`erede calcul diff erentiel et int marquis de l H opital participe aussi, `a la fin du 17esi`ecle, `a etoffer cette nouvelleth eorie, notamment en utilisant la d eriv ee pour calculerune limite dans le cas de formesind etermin ees particuli`eres (c est la r`egle de L H opital, enonc ee `a la fin du Chapitre ).

5 Finalement, d Alembert introduit la d efinition rigoureuse dunombre d eriv e en tantque limite du taux d accroissement sous une forme semblable `a celle qui est enseign eede nos jours. Cependant, `a l epoque de d Alembert, c est la notion de limite qui poseprobl`eme. C est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du 19esi`ecle que leconcept de d eriv ee sera enti`erement formalis est Lagrange (fin du 18esi`ecle) qui a introduit la notationf (x0) pour d esigner lad eriv ee defenx0. Leibniz notaitdfdx(x0)et Newton f(x0). Ces trois notations sont encore usit ees de nos Op erations sur les d eriv eesCommen cons par les op erations alg ebriques sur les d eriv eor`eme , g:I Rdeux fonctions , et soitx0 I. On suppose quefetgsont d erivables enx0. Alors(1)f+gest d erivable enx0, et(f+g) (x0) =f (x0) +g (x0)(2)f gest d erivable enx0, et(f g) (x0) =f (x0)g(x0) +f(x0)g (x0)(3)sig(x0)6= 0, alorsfgest d erivable enx0, et(fg) (x0) =f (x0)g(x0) f(x0)g (x0)g(x0)2D emonstration.

6 (1) Il suffit d ecrire(f(x) +g(x)) (f(x0) +g(x0))x x0=f(x) f(x0)x x0+g(x) g(x0)x x030et de passer `a la limite quandx7 x0. (2) Il suffit d ecriref(x)g(x) f(x0)g(x0)x x0=f(x) f(x0)x x0 g(x) +f(x0) g(x) g(x0)x x0et de passer `a la limite quandx7 x0, en se servant de la continuit e degenx0. (3) Nousavons1g(x) 1g(x0)x x0= 1g(x)g(x0) g(x) g(x0)x x0 Par passage `a la limite, on en d eduit que la fonction1gest d erivable enx0, de d eriv ee(1g) (x0) = g (x0)g(x0)2On applique alors le point (1) qui donne(fg) (x0) =f (x0)1g(x0)+f(x0)( g (x0)g(x0)2)d o`u le r equences de ce th eor`eme : une fonction polyn ome est d erivable surR, et sa d eriv ee est un polyn ome. une fonction rationnelle (quotient de deux polyn omes) est d erivable sur son ensemblede d efinition, et sa d eriv ee est une fonction effet, nous avons vu que les fonctions de la formex7 xnsont d erivables surtoutR. On en d eduit que les mon omesx7 xnsont d erivables, puis que les sommes demon omes, c est-`a-dire les polyn omes, sont d erivables surR.

7 Le r esultat pour les fonctionsrationnelles en d ecoule, par d erivation d un `es les op erations alg ebriques, passons `a la composition des eor`eme (D erivation des fonctions compos ees).Soientf:I Retg:J Rdeux fonctions telles quef(I) J, et soitx0 I. Sifest d erivable enx0, et sigestd erivable enf(x0), alorsg fest d erivable enx0et(g f) (x0) =g (f(x0))f (x0)D existe des fonctions 1et 2telles quelimh 0 1(h) = 0 = limh 0 2(h)satisfaisant, pour touth,f(x0+h) =f(x0) +hf (x0) +h 1(h)31et, pour toutk,g(f(x0) +k) =g(f(x0)) +kg (f(x0)) +k 2(k)Prenons en particulierk=h(f (x0) + 1(h))Alors nous avonsg(f(x0+h)) =g(f(x0) +k)=g(f(x0)) +kg (f(x0)) +k 2(k)=g(f(x0)) +h(f (x0) + 1(h))g (f(x0))+h(f (x0) + 1(h)) 2(h(f (x0) + 1(h)))=g(f(x0)) +hf (x0)g (f(x0)) +h 3(h)o`u l on a pos e 3(h) = 1(h)g (f(x0)) + (f (x0) + 1(h)) 2(h(f (x0) + 1(h)))Il est clair que limh 0 3(h) = 0, d o`u le r voudrait `a pr esent calculer les d eriv ees des fonctions usuelles. Montrer que lesfonctions trigonom etriques sin et cos sont d erivables (et calculer leurs d eriv ees) n est pas evident, et d epend des d efinitions que l on donne pour ces log et exp, c est plus si on d efinit log comme l unique primitive dex7 1xsur ]0,+ [ qui s annule en 1.

8 Mais encore faut-il montrer qu une telle primitive existe :ce sera un r esultat important du Chapitre consacr e `a l int egration. La fonction exp estensuite d efinie comme la r eciproque de la fonction log, et pour la d eriver on se sert dur esultat eor`eme (D erivation des fonctions r eciproques).Soitf:I Rune fonctioncontinue strictement monotone. Alors :(1)L ensembleJ:=f(I)est un intervalle, dont les bornes sont les limites defauxbornes deI. La fonctionfr ealise une bijection entreIetJ.(2)La bijection r eciproquef 1:J Iest continue strictement monotone, de m emesens de variations quef.(3)Sifest d erivable en un pointx0 I, et sif (x0)6= 0, alorsf 1est d erivable aupointy0=f(x0)et(f 1) (y0) =1f (x0)=1f (f 1(y0))D emonstration.(1) et (2) : c est le th eor`eme de la bijection (voir le Chapitre 2). (3).Supposonsfd erivable enx0. Soity0=f(x0) et soity J, on s int eresse `a la quantit ef 1(y) f 1(y0)y y032 Posonsx=f 1(y), alors cette quantit e s ecritx x0f(x) f(x0)Commef 1est continue eny0, nous avons :limy y0f 1(y) =f 1(y0) =x0 Par composition des limites, on en d eduit quelimy y0f 1(y) f 1(y0)y y0= limx x0x x0f(x) f(x0)=1f (x0)d o`u le r que la fonctionx7 1xsur ]0,+ [ admette une primitive, not eelog, qui s annule en 1.

9 Soit exp :R ]0,+ [ l application r eciproque de log. Alors expest d erivable en tout pointy0 R, et satisfaitexp (y0) =1log (exp(y0))=11exp(y0)= exp(y0) D eriv ee et extr ema locauxSoitf:I Ret soitx0 I. On dit quefadmet unmaximum localenx0s il existeun voisinageVdex0tel que l on ait x I V, f(x) f(x0)On dit quefadmet unminimum localenx0si fadmet un maximum local , on dit quefadmet unextremum localsifadmet un maximum local ou unminimum :I Rd erivable, et soitx0un point int erieur `aI. Sifadmet un extremum local enx0, alorsf (x0) = `a remplacerfpar f, on peut supposer quefadmet un maximumlocal enx0. Il existe donc un voisinageVdex0tel que l on ait x V, f(x) f(x0) 0 Commex0est un point int erieur `aI, on peut choisirVinclus dansI, c est-`a-dire quefest d efinie surVtout entier. Commefest d erivable enx0, qui est int erieur `aV, les33d eriv ees `a droite et `a gauche defenx0existent, et sont egales. De plus, nous avons, pourtoutx V,x < x0= f(x) f(x0)x x0 0d o`u, par passage `a la limite :f g(x0) = limx x0x<x0f(x) f(x0)x x0 0Un raisonnement analogue montre quef d(x0) 0.

10 Commef (x0) =f g(x0) =f d(x0) onen d eduit quef (x0) = dit, les extr ema d une fonction `a l int erieur d un intervalle sont `a chercherparmi les points o`u la d eriv ee s , la r eciproque est fausse : il se peut que la d eriv ees annule en un point quin est pas un extremum. Par exemple, la fonctionf:x7 x3a sa d eriv ee qui s annule en0, mais n admet pas d extremum en ce m eme, la proposition devient fausse six0est au bord de l intervalle. Par exemple,la fonctionx7 x+ 1, [0,1] [0,1] admet un minimum en 0 et un maximum en 1, etpourtant sa d eriv ee ne s annule Rolle, accroissements Th eor`eme de RollePremi`ere observation : si on trace une courbe d erivable entre deux points du plan,avec m eme ordonn ee au d epart et `a l arriv ee, alors il y atoujours un point o`u la tangenteest cf(a) =f(b)34Th eor`eme (Rolle).Soitf: [a, b] Rune fonction continue sur[a, b], d erivablesur]a, b[, telle quef(a) =f(b). Alors il existec ]a, b[tel quef (c) = apr`es le th eor`eme des bornes,fadmet un minimum et un maximumglobaux sur [a, b], not esmetMrespectivement.