Probabilités et statistiques Travaux pratiques avec Matlab

1 Probabilit s et statistiquesTravaux pratiques avec MatlabStefan Le Coz11. Ce document est librement inspir de polycopi s dont je disposais lors de son criture (2005). l poque, je n avais pas pris la peine de faire de bibliographie et jen ai pas gard trace des document dont je me suis inspir . Malgr les apparences, iln y a donc aucune pr tention l originalit quant la pr sentation qui est faite dansce document, qui est plus une compilation des diff rentes sources dont je disposais l poque qu un travail v ritablement des mati res1 Introduction Remarques pr liminaires concernant l apprentissage de Matlab .. Matlab .. Calculs matriciels l mentaires .. Calculs matriciels plus labor s .. Graphiques .. Entr es et sorties.

2 Op rations logiques, boucles et ex cutions conditionnelles .. Fonctions et fichiers .m .. R cursivit .. Fonctions en ligne .. 112 Statistique descriptive123 Simulation de variables al Loi uniforme et simulation .. Simulation de lois discr tes .. Simulation de lois par la m thode du rejet .. Simulation des lois gaussiennes .. M thode de Box-M ller .. M thode polaire .. Quelques pr cisions .. Simulation de lois par leur fonction de r partition .. tude de la planche de Galton .. 184 Statistique inf Estimations et intervalles de confiance .. Estimations ponctuelle .. Intervalles de confiance .. Simulations .. Test du 2.. Ajustement par la loi binomiale.

3 Ajustement par la loi de Poisson .. Ajustement par la loi normale .. 231 Chapitre 1 Introduction Remarques pr liminaires concernant l appren-tissage de MatlabUn langage de programmation, tel Matlab , ne s apprend pas tout fait commeune th orie math matique. En particulier, il ne faut pas esp rer l apprendre demani re tr s lin chapitre se veut une aide pour commencer apprivoiser Matlab . Il introduit,par petites touches, ce qui est utile pour il ne faut retenir qu une seule chose de cette introduction, c remarque ( l aide !). Matlab est un logiciel commercial de calcul matriciel d velopp par la so-ci t MathWorks. Son nom est la contraction de "Matrix Laboratory". Il consisteessentiellement en un interpr teur de commandes, crites dans un langage de pro-grammation sp cifique appel langage Matlab .

4 Les commandes Matlab sont saisieset interpr t es ligne ligne dans une fen tre (console). Comme nous le verronsplus loin, elles peuvent galement tre regroup es dans un fichier dont le nom setermine variables Matlab sont toutes des tableaux, "arrays" en anglais, d finies aumoment de leur affectation. Il n y a donc pas besoin de les d clarer. Un nombrecomplexe (ou r el, ou entier) est un tableau de taille1 1, un vecteur ligne estun tableau de taille1 net un vecteur colonne est un tableau de taillen 1. Lelangage Matlab a t con u pour faciliter les op rations sur les langage Matlab permet de manipuler des donn es de diff rents types dontcertains sont imbriqu s : entiers, nombres r els, nombres complexes, caract res,bool ens. Ces donn es peuvent tre assembl es en tableaux de diff rents typesimbriqu s : vecteurs, matrices, tenseurs (matrices plus de 2 dimensions).

5 Lescha nes de caract res sont des vecteurs de caract 1. INTRODUCTION MatlabEn Matlab , les nombres r els sont repr sent s en virgule flottante avec52chiffres significatifs en base2, soit un peu moins de16en base10(regarderhelp eps). Les op rations l mentaires sur les nombres r els sont :+ /\ qui repr sentent respectivement l addition, la soustraction, la multiplication , ladivision gauche et la division droite, et enfin l l vation une op rations s appliquent galement aux matrices, et dans ce cas,\et / sontdiff nous allons le voir, Matlab diff rentie minuscules et majuscules dansles noms de variables. L affectation est not e=. Matlab effectue ses calculs dans l ensemble des tableaux plusieurs dimensions,et donc en particulier les matrices, carr es ou non, et les vecteurs ligne et entendu les op rations sur ces tableaux ne sont faites que lorsqu elles ontun sens.

6 En g n ral, Matlab donne un sens assez intuitif aux op rations entrematrices. Cela dit, son langage contient de nombreuses sp cificit s que nous allonsapprendre un exemple de code Matlab , saisir ligne par ligne dans la fen tre cr e une variable r elle nomm ea, initialis e 0. Matlab affiche sa valeur unefois que l on a appuy sur la toucheEntr\ {e}e. En suffixant par un point-virgule,on vite l affichage de la valeur ;Pour conna tre le contenu d une variable, il suffit d invoquer son diff rencie majuscules et minuscules. Ainsi, on peut cr er la variableA,diff rente pouvez rappeler les commandes pr c dement ex cut es au moyen des touchesfl ch es de votre clavier (haut et bas).Voici un calcul compliqu base des variablesaetApr c *a+cos(a)/(1+sqrt(1+A^2))CHAPITRE 1.

7 INTRODUCTION MATLAB4La fonctionsqrtdonne la racine carr e ("square root"). La variable sp cialeanscontient la derni re r ponse de Matlab qui n a pas t affect e une variable. Onpeut lister les variables actuellement d finies avec la commandewhos. On voit quepour Matlab , les variablesaetAsont des matrices1 une liste plus succincte, on peut utiliser la commandewho. On peut d truireune variable au moyen de la a % destruction de la variable aV rifions que la variablean existe peut aussi d truire toutes les variables l aide de la commandeclear. Pourobtenir de l aide (en anglais !) sur une commande, on peut utiliser la whoLa commandehelpwinpermet d obtenir une liste des commandes Matlab class epar th me. Nous pouvons tre amen rencontrer certaine valeurs particuli les commandes % Infini positif Inf-1/0 % Infini n\ {e}gatif -Inf0/0 % Not a Number (NaN)0*Inf % Not a Number (NaN)1/Inf % Donne bien z\ {e}ropi % Donne bien le nombre pihelp pi % Donne sa d\ {e}finition pour Matlabi % Racine carr\ {e}e (complexe) de i % Sa d\ {e}finition pour qu il est quand m me possible d utilisericomme [ l aide !]

8 ] La commandehelppermet d obtenir de l aide sur lescommandes Matlab ,help helpdonne de l aide sur l aide ! Enfin, la commandelookforpermet de lister les commandes Matlab par mots cl [Affichages] SiXest un tableau : la commandedisp(X)affiche son contenu sans afficher son nom. S il estvide, rien n est affich . La variableXvide est symbolis e par[ ], on peuttester siXest vide gr ce la commandeisempty(X).CHAPITRE 1. INTRODUCTION MATLAB5 la commandedisplay(X)affichera le nom de la variable (Xici) ainsi que soncontenu, m me s il est vide. Cette commande est utilis e automatiquementpar Matlab lorsque qu une expression ne se termine pas par un et interpr ter les commandes [2,4,8;3,9,27] A(2,3) b=A(2,:) c=A(:,3) B=A(1:2,1:2) A U=[l:20]V=[l:2:20] V-U(l:2:20) W=[pi/2:1:pi]Les commandes commesqrtqui prennent un ou plusieurs arguments (ou para-m tres) entre parenth ses constituent des fonctions.

9 Nous verrons plus loin com-ment en cr er de Calculs matriciels l mentairesLes tableaux suivants indiquent diff rents calculs possibles sur les [3,4;1,0]Matrice2 2B=(A>0)B = matrice tq Bij=1 si Aij>0 et 0 sinonV=[5;5]Vecteur colonne de dimension 2, s crit aussi[5,5] length (V)Renvoie la longueur du vecteur Vsize(A)La fonctionsizerenvoie la taille Quelques transpos e de AA*BMultiplication matricielle de A et BA+BAddition matricielle de A et BA^99 Puissance matricielleexpm(A)Exponentielle matricielleinv(A)Matrice inversesqrtm(A)Racine carr e matricielle ( sqrtm)logm(A)Logarithme matriciel ( logm)A*VImage du vecteur colonne V par la matrice carr e AV * \VSolution du syst me lin aire AX=V (par pivot, et pas par inv(A))help slashAide explicative sur la division matricielle pr c Op rations matricielles 1.

10 INTRODUCTION MATLAB6A=ones(n,n)Matrice de taillen ndont tous les l ments valent 1B=zeros(n,n)Matrice nulle de taillen nC=eye(n,n)Matrice identit de taillen n. Que donneeye(3,7)?[A,B,C]juxtaposition horizontale des matrices A, B et[A;B;C]juxtaposition verticale des matrices A, B et CN=0*JAstuce pour obtenir une matrice N nulle de m me taille que Jsans conna tre la taille de ation d une matrice creuse (cfhelp sparse) Cr ation de *BC(i,j)=A(i,j)*B(i,j)C= (i,j)=A(i,j)/B(i,j)C= (i,j)=A(i,j)*3C=3+AC(i,j)=3+A(i,j)C=3*AC (i,j)=3*A(i,j)C= (i,j)=A(i,j)/3C=cos(A)C(i,j)=cos(A(i,j)) C=log(A)C(i,j)=log(A(i,j)). Ne pas confondre avec logm(A) !G=sqrt (A)C(i,j)=sqrt(A(i,j)). Ne pas confondre avec sqrtm(A) !C=exp(A)C(i,j)=exp(A(i,j)). Ne pas confondre avec expm(A) !