Exercices corrig´es Alg`ebre lin´eaire 1

1 Exercices corrig esAlg`ebre lin eaire 11 Enonc esExercice 1On rappelle que (E,+, ) est unK-espace vectoriel si(I) (E,+) est un groupe commutatif ;(II-1) x,y E, K, (x+y) = x+ y;(II-2) x E, , K, ( + ) x= x+ x;(II-3) x E, , K, ( x) = ( ) x;(II-4) 1 x= (E,+, ) unK-espace vectoriel. On note 0El el ement neutre de (E,+) (que l on appelle aussil originede (E,+, )) et 0 Kle nombre z ero (dansK). Pour toutxdansE, le sym etrique dexest not e x.(1) Montrer que, pour toutx E,x+x= 2 x.(2) Montrer que, pour toutx E, 0K x= 0E.(3) Montrer que, pour toutx E, ( 1) x= 2 SoientF1,..,Fmdes sous-espaces vectoriels d unR-espace vectoriel (E,+, ).

2 MontrerqueF:=F1 .. Fmest un sous-espace vectoriel 3 Soient (E,+, ) unR-espace vectoriel,{x1,..,xm}une famille de vecteurs deE. MontrerqueF:= vect{x1,..,xm}est un sous-espace vectoriel 4 Soient (E,+, ) unR-espace vectoriel,Fun sous-espace vectoriel deEetA,Bdeuxsous-ensembles deE.(1) Montrer que, siA B, alors vectA vectB.(2) Montrer queAest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si vectA=A.(3) Montrer que, siA B FetAengendreF, 5 Consid erons les vecteurs deR4suivants :e1= 1111 ,e2= 012 1 ,e3= 10 23 ,e4= 210 1 .La famille{e1,e2,e3,e4}est-elle libre ? Est-ce une base deR4?Exercice 6 Consid erons les vecteurs deR4suivants :e1= 1111 ,e2= 0121 ,e3= 10 23 ,e4= 112 2.

3 1(1) La famille{e1,e2,e3,e4}est-elle libre ?(2) Quel est le rang de la famille{e1,e2,e3,e4}?(3) D eterminer une relation entre les nombres r eels et pour que le vecteuru= (1,1, , )tappartienne au sous-espace vectoriel engendr e par la famille{e1,e2,e3,e4}.Exercice 7 SoitE=RR, l espace des fonctions deRdansR.(1) Soientcetsles fonctions d efinies par x R, c(x) = cosxets(x) = que{c,s}est une famille libre deE. Quelle est la dimension du sous-espace vectorielTengendr e par la famille{c,s}?(2) Soient , , trois r eels fix es. Soientf,g,hles fonctions d efinies par x R, f(x) = cos(x+ ), g(x) = cos(x+ ) eth(x) = cos(x+ ).

4 Montrer quef,g,happartiennent `aT, et expliciter leurs coordonn ees dans la base{c,s} famille{f,g,h}est-elle libre ? Quel est son rang ?(3) Soienta1,a2,a3trois r eels distincts. Pour tout entierk {1,2,3}on notefkla fonction d efiniesurRpar x R, fk(x) =|x ak|.Montrer que{f1,f2,f3}est une famille libre 8(1) On rappelle queC0(R) d esigne l espace des fonctions continues deRdansR. MontrerqueA:={f C0(R)| x R, f(x) =f( x)}etB:={f C0(R)| x R, f(x) = f( x)}sontdes sous-espaces vectoriels deC0(R). Sont-ils en somme directe ?(2) Montrer queA:={(x,y,z) R3|x+y+z= 0}etB:={(x,y,z) R3|x y+z= 0}sont dessous-espaces vectoriels deR3.

5 Sont-ils en somme directe ?Exercice 9(1) SoientF:={(x,x,x) R3|x R}etG:={(0,y,z) R3|y,z R}. Montrer queFetGsont deux sous-espaces vectoriels deR3. Pr eciser leurs bases et leurs dimensions. Sont-ilsen somme directe ?(2) SoitH:={(x,y,z,t) R4|x= 2y z, t=x+y+z}. V erifier queHest un sous-espace vectorieldeR4. En donner une base et la 10 Soient (E,+, ) unR-espace vectoriel etA,B,Ctrois sous-espaces vectoriels deE.(1) Montrer que (A C)+(B C) (A+B) C. Donner un exemple dansR2pour lequel l inclusionest stricte.(2) Montrer que, siA+B=A+C,A B=A CetB C, alorsB= 11On consid`ere l application donn ee par :R3 R3 xyz 7 x+ 2y+ 2z 8x+ 7y+ 4z 13x+ 5y+ 8z.

6 (1) Montrer que est une application lin eaire. D eterminer l image par des vecteurs de la basecanonique{e1,e2,e3}deR3. Calculer (2e1+e2 e3).(2) D eterminer le noyau de . En donner une base et pr eciser sa (3) L application est-elle injective ? surjective ? bijective ?(4) Soit l application lin eaire donn ee par :R2 R3(xy)7 x yx+yx+ 2y .D eterminer .Exercice 12On consid`ere l application donn ee par :R3 R2 xyz 7 (y+zx)ainsi que les vecteursu:= (1,2,3)tetv:= (1,1,1)t.(1) Montrer que est lin eaire. D eterminer (u), (v) et (u 2v).(2) D eterminer le noyau de . En donner une base et pr eciser sa dimension.

7 (3) D eterminer l image de . En donner une base et pr eciser sa 13 SoientEetFdeuxR-espaces vectoriels et une application lin eaire deEdansF. SoitA:={x1,..,xm}une famille de vecteurs deE.(1) Montrer que, siAest li ee, alorsf(A) ={ (x1),.., (xm)}est li ee.(2) Montrer que, si (A) est libre, alorsAest libre.(3) Montrer que, siAest libre et est injective, alors (A) est SolutionsSolution de l exercice 1(1) Pour toutx E, 2 x= (1 + 1) x= 1 x+ 1 x=x+x, o`u l on a utilis e successivement lesaxiomes (II-2) et (II-4).(2) On a :0K x= (0K2) x= 0K (2 x)[d apr`es l axiome (II-3)]= 0K (x+x)[d apr`es la question (1)]= 0K x+ 0K simplifiant (c est-`a-dire, en ajoutant (0K x) des deux c ot es), on obtient l egalit e 0E= 0K x.

8 (3) D apr`es la question (2), 0E= 0K x= (1 + ( 1)) x= (1 x) + (( 1) x) =x+ (( 1) x), o`ula troisi`eme egalit e r esulte de l axiome (II-2) et o`u la derni`ere egalit e r esulte de l axiome (II-4).On en d eduit que ( 1) xest le sym etrique dex, c est-`a-dire, de l exercice 2: Nous devons montrer que pour tousx,y Fet pour tout R,x+ y F. Soient doncx,y Fet Rquelconques. Par d efinition de l intersection, pour toutk {1,..,m},x,y Fk. CommeFkest un sous-espace vectoriel deEnous d eduisons quex+ y Fk,3et ce pour toutk {1,..,m}. Doncx+ yappartient `a l intersection desFk, c est-`a-dire, ` de l exercice 3: Remarquons tout d abord queFest non vide, puisque que0E= 0 x1+ + 0 xm ,y Fet Rquelconques.

9 Alorsxetys ecriventx= 1x1+ + mxmety= 1x1+ + mxm,avec 1,.., m, 1,.., m R. Donc,x+ y= ( 1x1+ + mxm) + ( 1x1+ + mxm)= ( 1+ 1)x1+ + ( m+ m) cons equent,x+ yest une combinaison lin eaire des vecteursx1,..,xm, c est-`a-dire, un el de l exercice 4:(1) Supposons queA B, et montrons que tout el ement de vectAappartient `a vectB. Soit doncxquelconque dans vectA. SiA= , alors vectA={0}et doncxest forc ement le vecteur vectBest un sous-espace vectoriel, vectB30 et l on a bien vectA vectB. SiAestnon vide, alors p N , x1,..,xp A, 1,.., p R:x= 1x1+ + B, lesxksont aussi dansB, de sorte quexest une combinaison lin eaire de vecteursdeB, c est-`a-dire, un el ement de vectB.

10 On a donc encore vectA vectB.(2) Supposons queA= vectA. Puisque vectAest un sous-espace vectoriel, il en est de m eme eciproquement, supposons queAsoit un sous-espace vectoriel, et montrons queA= que tout el ement deAest une combinaison lin eaire particuli`ere d el ements deA(prendrep= 1, 1= 1 etx1=x). Donc on a clairement l inclusionA vectA. De plus, siAest un sous-espace vectoriel, alorsAest non vide. Soit alorsx vectA: p N , x1,..,xp A, 1,.., p R:x= 1x1+ + stable par combinaison lin eaire,x A. On a donc aussi l inclusion vectA A.(3) D apr`es le point (1), vectA vectB vectF. Or, vectF=FpuisqueFest un sous-espacevectoriel.